2015届广州二模文科数学试题及答案

数学（文科）试题A 第 1 页 共 13 页 试卷类型：A

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）

2015.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

锥体的体积公式ShV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

台体的体积公式11223hVSSSS，其中1S，2S分别是台体的上，下底面积，h是台体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．sin240的值为

A．32 B．12 C．12 D．32

2．已知函数3xfxxR的反函数为gx，则12g

A．3log2 B．3log2 C．2log3 D．2log3

3．已知双曲线C：22214xyb经过点4,3，则双曲线C的离心率为

A．12 B．32 C．72 D．132

数学（文科）试题A 第 2 页 共 13 页 4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z的值是

A．21 B．32 C．34 D．64

5．已知命题p：xR，20x，命题q：,R，使tantantan，则下列命

题为真命题的是

A．pq B．pq C．pq D．pq

6．设集合22Axaxa，2450Bxxx，若AB，则实数a的取值范围为

A．1,3 B．1,3 C．3,1 D．3,1

7．已知数列na满足13a，且143nnaa*nN，则数列na的通项公式为

A．2121n B．2121n C．221n D．221n

8．已知函数223fxxx，若在区间4,4上任取一个实数0x，则使00fx成立的概率为

A．425 B．12 C．23 D．1

9．如图2，圆锥的底面直径2AB，母线长3VA，点C在母线VB上，且1VC，

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A．13 B．7

C．433 D．332

10．设函数3233fxxaxbx有两个极值点12xx、，且11,0x，21,2x，则点,ab在aOb

平面上所构成区域的面积为

A．14 B．12 C．34 D．1

A V

C

B

图2 x=1, y=2 z=xy 是 z<20? x=y y=z

输出z 结束 否 开始

图1

数学（文科）试题A 第 3 页 共 13 页 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知i为虚数单位，复数1iiz，则z ．

12．已知向量,1xa，2,yb，若1,1a+b，则xy ．

13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离ykm与刹车时的速度xkm/h的关系可以用2yax来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为bkm．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3bkm，则这辆车的行驶速度为 km/h．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图3，在平行四边形ABCD中，4AB，点E为边DC的中点，

AE与BC的延长线交于点F，且AE平分BAD，作DGAE，

垂足为G，若1DG，则AF的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在在平面直角坐标系中，已知曲线1C和2C的方程分别为32,12xtyt（t为参数）和24,2xtyt（t 为参数），则曲线1C和2C的交点有 个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且::7:5:3abc．

（1）求cosA的值；

（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．

17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．

年龄

分组 抽取份数 答对全卷

的人数 答对全卷的人数

占本组的概率

[20,30) 40 28 0.7

[30,40) n 27 0.9

[40,50) 10 4 b

[50,60] 20 a 0.1

（1）分别求出n，a，b，c的值；

（2）从年龄在40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． B A C D E F

G

图3

年龄 频率/组距

20 30 40 50 60 0.01 c 0.04

0.03

0

数学（文科）试题A 第 4 页 共 13 页 18．（本小题满分14分）

如图4，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为3，M，N分别是

棱1AA，AB上的点，且1AMAN．

（1）证明：M，N，C，1D四点共面；

（2）平面1MNCD将此正方体分为两部分，求这两部分的体积

之比．

19．（本小题满分14分）

已知点,nnnPabn*N在直线l：31yx上，1P是直线l与y轴的交点，数列na是公差为1的等差数列．

（1）求数列na，nb的通项公式；

（2）若,,nnanfnbn为奇数为偶数，，是否存在k*N，使34fkfk成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数2lnfxxaxxaR．

（1）若函数fx在1x处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数fx的极值；

（2）求函数fx的单调区间．

21．（本小题满分14分）

已知圆心在x轴上的圆C过点0,0和1,1，圆D的方程为2244xy．

（1）求圆C的方程；

（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求AB的取值范围．

C1

A B A1 B1 D1

C D M

N

图4

数学（文科）试题A 第 5 页 共 13 页 2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D A C B C A D B B

D

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

题号 11 12 13 14

15

答案 2 3 603 43 1

16．（本小题满分12分）

解：（1）因为::7:5:3abc，

所以可设7ak，5bk，3ck0k，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

由余弦定理得，

222cos2bcaAbc222537253kkkkk„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

12．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）由（1）知，1cos2A，

因为A是△ABC的内角，所以23sin1cos2AA．„„„„„„„„„„„„„„„„6分

由正弦定理2sinaRA，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分