不等式证明的方法技巧(三元型)

不等式证明的一些方法与技巧

我之前折腾不等式证明这事儿，真的是费了好大的劲儿，总算摸到点门道，今天就跟你好好唠唠。

我试过的第一个方法就是作差法。就好比两个人比高矮，你站在同一个平面上，直接比较头顶到地面的距离差就知道谁高谁矮了。做不等式证明的时候，把不等式两边相减，然后判断差的正负性。我一开始的时候总是算错这个差，有一次做一道题，式子看起来特别复杂，我在化简差的时候，那个粗心劲儿就上来了，符号都弄错了，结果就完全错了。后来我就学会了一步一步仔细地算，能合并的同类项一定先合并，别心急。比如说证明a² + 3 > 2a这个不等式，用做差法就是 (a² + 3) - 2a，然后化简成(a - 1)²+ 2，因为任何数的平方都大于等于0，所以(a - 1)²+ 2一定大于0，这样不等式就证出来了。

还有作商法，这个就像是比较两个东西的性价比。比如说你有两个商品，一个价格是a，能得到的效益是b，另一个价格是c，效益是d，那你就比较b/a和d/c的大小。在不等式证明里，就是将不等式两边相除，然后看商和1的大小关系。不过作商法有个前提得保证两边的数都是正的，有一次我就忘记这个了，直接拿两个正负不确定的数就作商，结果肯定是错得一塌糊涂。从那以后我就特别牢记这个前提条件。

分析法也很有用。这个就像是走迷宫，从要证明的结果出发，一点点反推需要的条件。比如说要证明a + 1/a≥2 (a > 0)，我们就想，如果a +

1/a≥2成立，那么a² - 2a + 1≥0应该成立，再往前推就是(a - 1)²≥0，这个很显然成立。不过分析法有时候会很绕，我常常绕着绕着就把自己绕糊涂了，后来我就一边分析一边把每一步都写清楚，这样就不容易出错了。

说到这个不等式的证明还有放缩法，这个方法我感觉就像那种伸缩自如的弹簧。有时候我们不能直接证明不等式成立，就把式子放大或者缩小一下，让它变成我们能够证明的形式。但是这个放缩的尺度很难把握啊，我有一次就把式子放得太大了，直接越过了我要证明的范围，就失败了。后来慢慢地多做些题就有点感觉了，像是有一次证明1 + 1/2² + 1/3²

高中数学均值不等式知识点

一、均值不等式的形式。

1. 基本形式。

- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。

- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。

2. 推广形式（三元均值不等式）

- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。

- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。

二、均值不等式的证明。

1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。

- 方法一：作差法。

- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a -

b)^2)/(4)≥slant0。

- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 方法二：分析法。

- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2

+ 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。 三、均值不等式的应用。

1. 求最值。

- 类型一：和定积最大。

- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +

b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab取得最大值(m^2)/(4)。

- 1 - 不等式恒成立问题3种基本方法

不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。

1.不等式化简为等式

最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。

例1:y+2除以3大于9，则y大于17

令y+2=3x

得3x除以3大于9

化简得 x大于9

代入y+2=3x，y大于17

所以y+2除以3大于9时，y大于17。

2.纳法或组合法

归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。

归纳法或组合法的步骤是：

1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；

2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。 - 2 - 例 2:y>8，则9-y<1

第一步： y>8明 y>8成立的

第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0

第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1

第四步： 以上四步推出，若y>8，则9-y<1

3.解法

图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。

例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5

由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。

高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些

在高考数学中，不等式的证明是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的问题。不等式的证明方法多种多样，需要我们灵活运用数学知识和思维方法。下面，我们就来详细探讨一下高考数学中不等式的证明的一些常见方法和技巧。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法之一，分为作差比较法和作商比较法。

作差比较法的基本步骤是：将两个式子作差，然后对差进行变形，判断差的正负性。如果差大于零，则被减数大于减数；如果差小于零，则被减数小于减数。

例如，要证明 a ＞ b ，我们可以计算 a b ，然后通过因式分解、配方等方法将其变形为易于判断正负的形式。

作商比较法适用于两个正数比较大小。将两个正数作商，然后与 1

比较大小。如果商大于 1，则被除数大于除数；如果商小于 1，则被除数小于除数。

比如，要证明 a ＞ b （a、b 均为正数），计算 a/b ，若 a/b ＞ 1 ，则 a ＞ b 。

二、综合法 综合法是从已知条件出发，利用已知的定理、公式、性质等，经过逐步的逻辑推理，最后推导出所要证明的不等式。

例如，已知 a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，且 a ＋ b ＝ 1 ，要证明 a^2 ＋ b^2 ≥

1/2 。

因为 a ＋ b ＝ 1 ，所以 （a ＋ b)＾2 ＝ 1 ，即 a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＝

1 。

又因为 2ab ≤ a^2 ＋ b^2 ，所以 a^2 ＋ b^2 ＋ 2ab ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，即 1 ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，从而得出 a^2 ＋ b^2 ≥ 1/2 。

三、分析法

分析法是从要证明的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或明显成立的事实。

比如，要证明 √a ＋ √b ＜ √（a ＋ b) （a ＞ 0 ，b ＞ 0 ）。

先将不等式移项得到 √a ＋ √b √（a ＋ b) ＜ 0 ，然后对其进行分析，逐步转化为易于证明的形式。