第二讲：函数的单调性
、定义:
1.设函数y f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量的值X i,X2，当X i X2时，都有f(X i) f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D叫y f (X)的单调增区间.
注意：增函数的等价式子：(为X2)[f(xJ f (X2)] 0 f(Xl) f(X2) 0；
X! X2
难点突破：(1)所有函数都具有单调性吗？
(2)函数单调性的定义中有三个核心①X i X2②f (X i) f(X2)③ 函数f (x)为
增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2.设函数y f (x)的定义域为I ,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量的值X i,X2，当X i X2时，都有f(X i) f(X2),那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D叫y f (x)的单调减区间.
注意：⑴减函数的等价式子：(X i X2)[f(X i) f (X2)] 0 丄^―0 ；
x i x2
(2) 若函数f (x)为增函数，且X i X2,则f (X i) f (X2).
题型一：函数单调性的判断与证明
例1.已知函数f(x)的定义域为R ，如果对于属于定义域某个区间I 上的任意两
个不同的自变量x 「X 2都有
f(Xl) f(X2)
0.则() X-I x 2
变式训练：定义在R 上的函数f(x)对任意0 X 2 x -都有f(Xl) f(X2) 1，且函 X 1 X 2
数y f(x)的图象关于原点对称，若f(2) 2,则不等式f(x) x 0的解集为___.
例3.证明：函数f(x) x 3 x 在R 上是增函数.
易错点: ① ② ③
a
变式训练：讨论f (x) x (a 0)的单调性.并作出当a 1时函数的图象.
x
A. f(x)在这个区间上为增函数
B. f(x)在这个区间上为减函数
C. f(x)在这个区间上的增减性不变
D. f (x)在这个区间上为常函数
变式训练：已知f(x 1) x22x,判断函数g(x)丄凶在(0,1)上的单调性，并用定
x
义证明.
题型二：函数的单调区间
难点突破：(1)函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？
1
(2)函数f(x)丄的单调减区间是(,0) (0,)上吗?
x
例1.(图像法)求下列函数的单调区间
(1) f(x) |x 1| |x 2|. f (x) x2 2 | x | 3.
(3) f(x) | x2 4x 5| .
1 x
例2.（直接法）求函数f（x）—的单调区间.
1 x
例3.（复合函数）（2017全国二）函数 f (x) In(x2 2x 8)的单调递增区间是()
A.(,2)
B. ( ,1)
C.(1,)
D. (4,)
易错点：
变式训
练：求下列函数的单调区间
(1)y -1
2 _(2)y J x25x 6
2
x x 3
1
题型三：抽象函数的单调性问题
例1.设函数f(x)是实数集R 上的增函数，令F(x) f(x) (1) 证明：F(x)是R 上的增函数；
⑵若 F(xJ F (X 2)0,求证：％ X 2
2.
例2定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件: ① 对任意正数a,b ，都有f(a) f(b) f(ab)； ② 当x 1时，f(x) 0 ；
(3) y 1
.3 2x x 2
f(2 x).
③ f (2) 1.
(1)求 f (1)的值；
(2)使用单调性的定义证明：函数 f (x) 在(0, )上是减函数；
(3)求满足f (3x 1) 2的x的取值集合.
题型四：函数单调性的应用
( 1)利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
①正向应用：
变式训练：已知函数f(x)满足f(1 X) f (1 X ),且对任意的X i ,X 2 1(X 1
f(Xl) f(x
2
)0.设 a f( 2),b f(2),c
f(3),则 a,b,c 的大小关系 _
X 1 X 2
2
(2) 利用函数的单调性解不等式
例2.设f(x)是定义在［1,1］上的增函数，且f(x 2) f(1 x)成立，求
易错点:
变式训练.①设f(x)是定义在［3,3］上的偶函数，当0 x 3时，f(x)单调递减,
②逆向应用:
例1. f x 在0,
上单调递减，那么f a 2
a 1
与
f 3
的大小关系是
X 2)，有
X 的取值
A.（ 1,2）
B. （0，2）
C.
(0,1)
D.
2,
若f （1 2m ） f （m ）成立，求m 的取值围.
（3）根据函数的单调性求参数的取值围
例1.如果函数f （x ） 2x 2 4（1 a ）x 1在区间［3,）上是增函数，则实数a 的取值 围是（
）
购（2015全国二）设函数f （x ）
ln(1 x)
的取值围是（ ）
1 A. (3,1) B.
3
1 (書)(1,
3
)
C.
③（2018全国
一）
设函数f x
2 x , 1 ,
x < 0 x 0
是（
）
A. ， 1
B . 0,
C
1 r ,则使得f (x)
f (2x 1）成立的
x
1 x
1 1 1 1 (--)D. ( ,
)(―,) 3 3
3 3
，则满足f x 1 f 2x 的x 的取值围
1，0 D.
