2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座八_4

2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座八

操作与探究

【知识纵横】

操作型探究题作为考查学生分析、解决问题以及创新意识的良好载体，是近年中考的热点题型之一。操作型探究题以几何图形为背景,通过平移、旋转构造出新图形,从图形的形状和位置的变化中去探求函数、方程、全等、相似、解直角三角形等知识间的关系。探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动。探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。

【选择填空】

1. （浙江丽水、金华）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，„称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，„称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】

A．2010 B．2012 C．2014 D．2016

2. （浙江绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；„；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】

A．512532 B．69352 C．614532 D．711352

【典型试题】

1. （浙江宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；„依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

（2）操作、探究与计算：

①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出ABCD是几阶准菱形．

【考点】新定义理解，图形的剪拼，平行四边形、菱形的判定和性质，归纳（图形的变化类）。

【分析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。

②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，从而得出AE=BF，即可得出答案。

（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案。

②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，从而利用图形得出ABCD是几阶准菱形。

2. （浙江衢州）课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：

（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：

第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；

第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．

请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．

（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，矩形的性质，图形的剪拼，分类归纳（图形的变化类）。

【分析】（1）根据ABAB=21AFBC2，得出矩形纸片ABEF也是标准纸。

（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出AD2a==2ABa，即可得出答案。

（3）分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得第n次对开后所得标准纸的周长。

3. （山东烟台）（1）问题探究

如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C

作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．

（2）拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在

图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，三角形的内角和定理。

【分析】（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证。

（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证。

②结论仍然成立，与①的证明方法相同。

4. （山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

（Ⅰ)探究新知：

如图① ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..

（1）求证内切圆的半径r1=1;

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）结论应用

（1）如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；

（2）如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、„、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、„、⊙On均与AB相切，求rn的值.

【考点】分类归纳（图形的变化类），切线的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。

（2）根据锐角三角函数定义直接求得。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O1AD=12，同理可推得tan∠O2BE=2OE1BE3，从而由AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2和AD＋DE＋BE=5可求得r2的值。

（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O1AD=12，tan∠OnBF=13,从而由AD=2rn，DE=2rn，„,FB=3rn和AD+DE+„+FB=5，2rn+2rn+„+3rn=5可求得rn的值。

5. （江苏苏州）如图，已知抛物线211by=xb+1x+444（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴

分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

⑴点B的坐标为

▲ ，点C的坐标为

▲ （用含b的代数式表示）；

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角

顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

xyPOCBA

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形

均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）令y=0，即211by=xb+1x+=0444，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标。

（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PB

是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。

（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个

三角形均相似，由条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。

【自主训练】

1. （四川绵阳）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。

（1）求证：AF⊥BE；

（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；

（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。

2. （山东青岛）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．

探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：

一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；

另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA上，如图③．