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(新课程)高中数学1.1.2导数的概念教案 新人教A版选修2-2

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§1.1.2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，

所以)/(004965)0()4965(mshhv，

虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况： h

t o

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的瞬时速度是13.1/ms

为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt

表示“当2t，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

0000()()limlimxxfxxfxfxx

我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即

0000()()()limxfxxfxfxx

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx

三．典例分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2

再求6fxx再求0lim6xfx

解：法一（略）

法二：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx

（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：xxxxxy32)1()1(2

200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f

根据导数定义，0(2)()fxfxfxx

22(2)7(2)15(27215)3xxxx

所以00(2)limlim(3)3xxffxx

同理可得:(6)5f

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．

注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为32ts，求质点在3t的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在1x时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．布置作业

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新课标人教A版高中数学选修2-2

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新课标人教A版高中数学选修2-2

新课标人教A版高中数学选修2-2是高中数学课程中的一个重要组成部分，它旨在帮助学生深化对数学知识的理解，培养他们的数学思维和解决问题的能力。本课程内容涵盖了概率论与数理统计、导数及其应用、积分及其应用等几个重要领域，为学生提供了进一步学习数学的基础。

首先，概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支，它在科学研究、工程设计、经济管理等领域都有着广泛的应用。在这部分内容中，学生将学习到随机事件的概率计算、概率分布、期望值和方差等基本概念，并通过实例学习如何运用这些知识来解决实际问题。例如，通过掷骰子、抽卡片等简单实验，学生可以直观地理解概率的概念，并通过计算来预测事件发生的可能性。

其次，导数及其应用是微积分的核心内容之一。导数描述了函数在某一点处的变化率，是研究函数性质的重要工具。在这部分内容中，学生将学习到导数的定义、求导法则、导数的应用等。通过学习导数，学生能够更好地理解函数的增减性、极值点等性质，这对于解决物理、工程等领域的问题具有重要意义。

最后，积分及其应用是微积分的另一重要部分。积分是导数的逆运算，它可以用来计算曲线下的面积、物体的重心位置等。在这部分内容中，学生将学习到不定积分、定积分、积分的应用等。通过学习积分，学生能够掌握求解面积、体积、质量等问题的方法，这对于理解自然界和工程问题具有重要作用。

总之，新课标人教A版高中数学选修2-2不仅为学生提供了丰富的数学知识，还培养了他们的数学思维和应用能力。通过学习本课程，学生将能够更好地理解数学在现实生活中的应用，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

新课标人教A版高中数学选修2-2课程纲要

新课标人教A版高中数学选修2-2课程纲要

高中数学选修2-2课程纲要

课程名称：高中数学选修2-2 课程类型：理科选修

教学材料：人民教育出版社 高中数学选修2-2

授课时间：30—40课时 授课教师：高二理科数学组

授课对象：郑州市第二中学高二（1）~（10）班

课程目标：

1． 导数及其应用

（1）主要内容：导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数及基本导数公式。利

用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。微积分建立的

时代背景和历史意义。

（2）教学目标

○1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切

线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导

函数的概念。

○2熟记基本导数公式（c，xa （a 为有理数），sinx, cosx……lnx,

的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导

法则，会求某些简单函数的导数。

○3会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函

数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求

一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

○4通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、

文化价值和基本思想。 2．推理和证明

⑴合情推理与演绎推理

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利

用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作

用。

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌

握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

⑵直接证明与间接证明

①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和

综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法：反证法；

了解反证法的思考过程、特点。

高中数学人教A版(新)选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用 教学设计 导数的概念及其几何意义

高中数学人教A版(新)选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用 教学设计 导数的概念及其几何意义

5.1.2 导数的概念及其几何意义

一、教学目标

1. 理解导数的概念及其几何意义；

2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.

二、教学重难点

1. 教学重点

导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.

2. 教学难点

导数的概念及其几何意义的理解.

三、教学过程

（一）新课导入

上节课研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

（二）探索新知

1. 导数的概念

对于函数()yfx，设自变量x从0x变化到0xx，相应地，函数值y就从0()fx变化到0(Δ)fxx.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为00Δ(Δ)()yfxxfx.我们把比值ΔΔyx，即00(Δ)()ΔΔΔfxxfxyxx叫做函数()yfx从0x到0xx的平均变化率.

如果当Δ0x时，平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个确定的值，即ΔΔyx有极限，则称()yfx在0xx处可导，并把这个确定的值叫做()yfx在0xx处的导数（也称为瞬时变化率），记作0()fx或0xxy，即000Δ0Δ0Δ()Δ()limlim()ΔΔxxfxxfxyfxxx.

例1 设1()fxx，求(1)f.

解：Δ0Δ0Δ011(1Δ)(1)11Δ(1)limlimlim1ΔΔ1Δxxxfxfxfxxx.

例2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设st时汽车的速度（单位：m/s）为

2()660yvttt，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是(2)v和(6)v.