当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时

高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理2.5.1椭圆的标准方程学习目标：1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，实现月球软着陆进行部分关键技术试验，入太空轨道绕月球运转时，1．椭圆的定义(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a 的动点P 的轨迹称为椭圆．(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a ＞|F 1F 2|动点的轨迹是椭圆2a ＝|F 1F 2|动点的轨迹是线段F 1F 22a ＜|F 1F 2|动点不存在，因此轨迹不存在2．椭圆的标准方程焦点位置在x 轴上在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(±c,0)(0，±c )：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a ，b 的值及焦点所在的位置．思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？[提示]把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)．()(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×需2a ＞|F 1F 2|．(2)×(0，±3)．(3)×a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．2．以下方程表示椭圆的是()A ．x 2＋y 2＝1B ．2x 2＋3y 2＝6C ．x 2－y 2＝1D ．2x 2－3y 2＝6B[只有B 可化为x 23＋y 22＝]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()A ．x 25＋y 24＝1B ．x 23＋y 24＝1C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1．]4．椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝．2[由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 2|＝6－|PF 1|＝6－4＝2．]求椭圆的标准方程【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26．(2)经过点2，焦点在x 轴上．(3)过(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同的焦点．[解](1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144．∴所求椭圆的标准方程为：y 2169＋x 2144＝1．(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，又椭圆经过点∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．(3)由方程x 29＋y 24＝1可知，其焦点的坐标为(±5，0)，即c ＝5．设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝b 2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为9a 2＋4a 2－5＝1(a ＞b ＞0)，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)，b 2＝10，故椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．[跟进训练]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2；(2)经过点[解](1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1．(2)法一：①当椭圆的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有1，1，2＝15，2＝14，因为a ＞b ＞0，所以方程组无解．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以所求方程为y 214＋x 215＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n＞0，且m ≠n )，＋19n ＝1，＝1，＝5，＝4，故所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1．椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示]P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示]判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示]椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】设P 是椭圆x 225＋y2754＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．①由椭圆的定义，得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534．1．将本例中的“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠F 1PF 2＝30°”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|．①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝754(2－3)．2．将椭圆的方程改为“x 2100＋y 264＝1”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．[解]|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，又|F 1F 2|＝2c ＝12．由余弦定理知：(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即：144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝2563，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a ．(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．[解]由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |．∴|CM |＋|MA |＝5．∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1．求解与椭圆相关的轨迹问题的方法[跟进训练]2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解]如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r ．圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r ．∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1．(1)平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 2a ＜|F 1F 2|，不存在．(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为()A ．5B ．6C ．7D ．8D [由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8．]2．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对B[|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，∴点M 的轨迹为线段F 1F 2．]3．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为．8[由方程得a 2＝32，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝16．∴c ＝4,2c ＝8．]4．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是．16[由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，又△ABF 2的周长等于|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝16．]5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是．x 24＋y 23＝1[|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1．]2.5.2椭圆的几何性质学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，有另外一个乐队存在(其实什么都没有椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)图形对称性对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)范围x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长短轴|B 1B 2|＝2b ，长轴|A 1A 2|＝2a焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c[提示]最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c ．思考2：椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义是什么？[提示]在方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a ．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a －c ．()(3)椭圆上的离心率e 越小，椭圆越圆．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)×椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a ．(2)√椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ．(3)√离心率e ＝ca越小，c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆．2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为()A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为()A ．32B ．34C ．22D ．23A [化椭圆方程为标准形式得x 24＋y 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝3．所以e ＝c a ＝32．]4．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点坐标是，顶点坐标是．(0，±7)(±3,0)，(0，±4)[由方程x 29＋y 216＝1知焦点在y 轴上，所以a 2＝16，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝7．因此焦点坐标为(0，±7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]椭圆的几何性质【例1】求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a ，b ，c 的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x 252＋y 242＝1，可知a ＝5，b ＝4，所以c ＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，两个焦点分别是F 1(－3,0)和F 2(3,0)，椭圆的四个顶点是A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－4)和B 2(0,4)．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[跟进训练]1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53．利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．[解](1)将方程4x2＋9y2＝36化为x29＋y24＝1，可得椭圆焦距为2c＝25．又因为离心率e＝5 5，即55＝5a，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x225＋y220＝1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为y225＋x220＝1．(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，2b，＋16b2＝1.2＝68，2＝17，所以标准方程为x268＋y217＝1．若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，2b，＋4b2＝1，2＝32，2＝8.所以标准方程为x28＋y232＝1．利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项1 用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.2 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.3 在求解a 2、b 2时常用方程 组 思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca 等构造方程 组加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.[跟进训练]2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解](1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5，e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b,2c ＝6，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．求椭圆的离心率[探究问题]1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示]根据e ＝ca ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示]【例3】已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路探究]由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABF 2是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设A c则B c ∴|AB |＝2b 2a．由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2＋2ca －3＝0，解得e ＝c a ＝33．1．(变换条件)本例中将条件“过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形”改为“A 为y 轴上一点，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，若△AF 1F 2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，则B －c 2，∵B点在椭圆上，∴c24a2＋y204b2＝1，解得y20＝4b2－b2c2 a2，由△AF1F2为正三角形得4b2－b2c2a2＝3c2，即c4－8a2c2＋4a4＝0，两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝3－1．2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的23”，求椭圆的离心率．[解]设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由题意知A c，23b∴c2a2＋49＝1，解得e＝53．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e＝ca，也可利用e＝1－b2a2求解．(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成ca的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．3．求离心率e 时，注意方程思想的运用．1．椭圆x 29＋y 216＝1的离心率()A ．74B ．916C ．13D ．14A [a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，从而e ＝c a ＝74．]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由已知得a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72．又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1．]3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为()A ．12B ．2C ．14D ．4C [椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为：x 2＋y 21m＝1．因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以1m ＝4，所以m ＝14．]4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．35[由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]5．已知椭圆的标准方程为x24＋y29＝1．(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．[解](1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．(2)c＝a2－b2＝5，所以椭圆的离心率e＝ca＝53．(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为x2a′2＋y29＝1，又椭圆过点P(－4,1)，将点P(－4,1)代入得16a′2＋19＝1，解得a′2＝18．故所求椭圆方程为x218＋y29＝1．。

椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。

另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。

这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。

需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。

这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。

需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。

如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。

如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。

在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。

例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。

又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。

椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。

(-a,0)。

(0,b)。

(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.