北京市朝阳区2018届高三3月综合练习(一模)数学(文)试卷及答案

2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）考试

第I卷 （选择题共40分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集为实数集R,集合22{|30},{|log0}AxxxBxx,

则()ABRIð

（A）(,0](1,)U （B）(0,1]

（C）[3,) （D）

【答案】C

【解析】本题考查集合的运算.

集合2{|30}{|(3)0}{|03}Axxxxxxxx,

集合222{|log0}{|loglog1}{|1}Bxxxxxx.

所以{|0AxxRð或3}x,所以(){|3}ABxxRIð,故选C.

2. 在复平面内,复数i1iz所对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

【答案】A

【解析】本题考查复数的运算与坐标表示. ii(1i)1i1i(1i)(1i)2z,在复平面内对应的点为11(,)22,在第一象限,故选A.

3. 已知平面向量(,1),(2,1)xxab,且//ab,则实数x的值是

（A）1 （B）1 （C）2 （D）1或2

【答案】D

【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.

由(,1),(2,1)xxab,且//ab,可以得到(1)2xx,

即22(2)(1)0xxxx,所以1x或2x,故选D.

4. 已知直线m平面,则“直线nm”是“//n”的

（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.

（充分性）当m且nm时,我们可以得到//n或n（因为直线n与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;

（必要性）当//n时,过直线n可做平面与平面交于直线a,则有//na.又有m,则有ma,即mn.所以必要性成立,故选B.

5. 已知F为抛物线2:4Cyx的焦点,过点F的直线l交抛物线C于,AB两点,若||8AB,则线段AB的中点M到直线10x的距离为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16

【答案】B

【解析】本题考查抛物线的定义.

如图,抛物线24yx的焦点为(1,0)F,准线为1x,即10x.

分别过,AB作准线的垂线,垂足为,CD,

则有||||||||||8ABAFBFACBD.

过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,

则MN为直角梯形ABDC中位线,

则1||(||||)42MNACBD,即M到准线1x的距离为4.故选B.

6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于

（A）13

（B）23

（C）12

（D）34

【答案】A

【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算 抠点法:在长方体1111ABCDABCD中抠点,

1.由正视图可知:11CD上没有点;

2.由侧视图可知:11BC上没有点;

3.由俯视图可知:1CC上没有点;

4.由正（俯）视图可知:,DE处有点,由虚线可知,BF处有点,A点排除.

由上述可还原出四棱锥1ABEDF,如右图所示,

111BEDFS四边形,1111133ABEDFV.

故选A.

7. 函数2πsin12()12xfxxx的零点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

【答案】C

【解析】本题考查函数零点.

2πsin12(),12xfxxx定义域为(,0)(0,)U,

通分得:22π2sin122(1)xxxfxxx,

设1π2sin2fxxx,221fxx,

12fxfx时,0fx, 画出大致图象如下.

易发现12112ff,即1fx与2fx交于点1,2A,

又1πππcos2sin22fxxxxQ,22fxx,

12112ff即点A为公切点,

点A为0,内唯一交点,

又12,fxfxQ均为偶函数,

点1,2B也为公切点,

,AB为交点,fx有两个零点.

故选C

8. 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:

小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;

小王说:“丁团队获得一等奖”;

小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;

小赵说:“甲团队获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是

（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 【答案】D

【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.

1. 若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;

2. 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;

3. 若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;

4. 若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.

故选D.

第Ⅱ卷 （非选择题共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 执行如图所示的程序框图,若输入5,m则输出k的值为______.

【答案】4

【解析】本题考查程序框图.

m k

初始 5 0

第一次 9 1

第二次 17 2

第三次 33 3

第四次 65 4 第四次时,6550,所以4k.

10. 双曲线2214xy的焦距为______;渐近线方程为.

【答案】125,2yx

【解析】本题考查双曲线的基本量.

由题知224,1,ab故2225cab,焦距:225c,渐近线:12byxxa.

11. 已知圆22:2410Cxyxy内有一点(2,1),P经过点P的直线l与圆C交于,AB两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为______.

【答案】1yx

【解析】本题考查直线与圆的位置关系.

圆22:(1)(2)4Cxy,

弦AB被P平分,故PCAB,

由(2,1),(1,2)PC得1pclkk即1lk,所以直线方程为1yx.

12. 已知实数,xy满足1010,1xyxyy若(0)zmxym取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为______.

【答案】1 【解析】本题考查线性规划.

:lymxz,0mQ,z取得最小值,则直线l的截距最小,最优解有无数个,即l与边界重合,故1m.

13. 函数()sin()fxAxπ(0,0,)2A的部分图象如图所示,则______;______.

【答案】4;63

【解析】本题考查三角函数的图象与性质.

由图可知,0,6,22xxxx解得4,63.

14. 许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有k块砖板拼在一起,则k的所有可能取值为______.

【答案】3,4,5,6

【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质.

由题意知只需这k块砖板的角度之和为360即可.

显然3k,因为任意正多边形内角小于180;

且6k,因为角度最小的正多边形为正三角形,360660.

当3k时,3个正六边形满足题意; 当4k时,4个正方形满足题意;

当5k时,3个正三角形与2个正方形满足题意;

当6k时,6个正三角形满足题意.

综上,所以k可能为3,4,5,6.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分）

已知数列{}na的前n项和nS满足21nnSa*()nN.

（Ⅰ）求123,,aaa的值;

（Ⅱ）若数列{}nb满足112,nnnbbab,求数列{}nb的通项公式.

【解析】（Ⅰ）由题知11121,Saa得11a,

221221,Saaa得2112,aa

3312321,Saaaa得31214aaa,

（Ⅱ）当2n时,1121,21,nnnnSaSa

所以1121(21)nnnnnaSSaa,

得122nnnaaa,即12nnaa,

{}na是以11a为首项,2为公比的等比数列,则12nna. 当2n时,1211()()nnnbbbbbbL

1212naaaL,

111(12)22112nna,

经验证:111221b,

综上:121nnb.

16. （本小题满分13分）

在ABC!中,已知5sin5A,2cosbaA.

（Ⅰ）若5ac,求ABC!的面积;

（Ⅱ）若B为锐角,求sinC的值.

解:（Ⅰ）由正弦定理得sinsinAaBb,因为2cosbaA,

所以sin2sincosBAA,cos=02bAa,

因为5sin5A,所以25cos5A,

所以5254sin2555B,

114sin52225ABCSacB!.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知4sin5B,