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分数阶微积分及其应用随着科学技术的不断发展，分数阶微积分作为新兴的数学分支，越来越受到人们的关注。
相比于传统微积分，分数阶微积分所考虑的对象不仅可以是整数次可导函数，还包括分数次可导函数，具有更广泛的适用范围。
因此，许多领域的问题都可以用分数阶微积分进行分析和求解。
一、分数阶微积分的基础分数阶微积分所考虑的是分数阶导数（或称为Caputo导数或Riemann-Liouville导数）。
其中，Caputo导数是一种介于Riemann-Liouville导数和整数次导数之间的导数定义方法。
具体而言，设函数f(x)的Caputo导数为D^αf(x)，其中0<α≤1，那么D^αf(x)定义为：D^αf(x)=I^(m-α)f^(m)(x)，其中m-1<α≤m，m为最小的整数，使得m>α，I为积分算子。
这里，I^(k)f(x)表示对f(x)积分k次。
经过推导，可以得到分数阶导数的一些基本性质，如线性性、Leibniz法则等。
二、分数阶微积分的应用分数阶微积分在科学和工程中有着广泛的应用。
下面就来介绍一些例子。
1、分数阶控制系统理论传统的控制系统理论以整数阶微积分为基础，但是对于某些具有记忆性的系统（如液压缸、三通阀等），整数阶微积分往往难以描述其动态行为。
这时，分数阶微积分便可以发挥作用。
具体而言，通过分数阶微积分可以描述出系统存在的内存效应，并根据分数阶微积分的特殊性质设计控制器，从而获得更优秀的控制性能。
2、分数阶扩散方程扩散方程是描述物质扩散行为的基本方程，其形式一般为：u_t=Du_xx，其中u表示扩散物质的浓度，在时间t和空间位置x 处的值，D表示扩散系数。
然而，在某些情况下，扩散物质的扩散行为可能存在分数阶效应。
这时，就需要使用分数阶扩散方程对其进行描述。
分数阶扩散方程不仅具有更广泛的适用范围，还可以更准确地刻画扩散物质的长程相互作用行为。
3、分数阶量子力学量子力学是理论物理学的重要分支之一，其描述的是微观领域中的物质运动行为。
Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程在数学领域中，微积分和微分方程是基础且广泛应用的概念。
而随着科学技术的不断发展，分数阶微积分和分数阶微分方程也逐渐引起了人们的关注。
Matlab作为一个功能强大的计算工具，可以方便地进行分数阶微积分与分数阶微分方程的研究和计算。
一、分数阶微积分传统的微积分是指整数阶的微分和积分运算，而分数阶微积分则是对于非整数阶的微分和积分运算的研究。
与整数阶微分相比，分数阶微分具有非局部性和非线性等特点。
在Matlab中，有多种方法可以实现分数阶微积分的计算。
其中之一是使用分数阶积分算子进行计算，该算子可以通过Matlab的Symbolic Math Toolbox进行定义和操作。
另一种方法是使用分数阶微分和积分的数值逼近方法，例如Riemann-Liouville和Caputo等方法。
这些方法的选择取决于具体问题的要求和计算的精度。
二、分数阶微分方程分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的方程。
与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域和更复杂的数学性质。
解析求解分数阶微分方程往往困难，因此数值方法成为研究和求解的重要手段。
在Matlab中，可以使用多种数值方法求解分数阶微分方程。
例如，可以使用分步法（如Euler方法和Runge-Kutta方法）进行数值求解，也可以使用有限差分法和有限元法等传统的数值方法进行近似计算。
此外，还可以使用Matlab的Fractional Calculus Toolbox等工具箱进行计算和分析。
分数阶微分方程的求解不仅仅包括初值问题，还包括边值问题和参数估计问题。
初值问题是指在一定的初始条件下，求解微分方程的解；边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程的解；参数估计问题是指在给定部分信息的情况下，估计微分方程中的未知参数。
对于不同类型的问题，需要选择合适的数值方法和工具进行求解。
三、应用案例分数阶微积分与分数阶微分方程在许多领域都具有广泛的应用。
信号处理的分数阶微积分原理一、分数阶微积分的基本概念与性质分数阶微积分是传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了非整数阶。
分数阶导数和分数阶积分是分数阶微积分的两个核心概念。
与整数阶微积分不同的是，分数阶微积分中的导数和积分可以是非整数阶的。
二、分数阶微积分在信号处理中的应用1. 分数阶微分滤波分数阶微分具有更好的边缘保持能力和频率选择性，因此在信号处理中常用于边缘检测、图像增强等方面。
通过对信号进行分数阶微分操作，可以提取信号的高频细节信息，从而实现对信号的增强和滤波。
2. 分数阶积分变换分数阶积分变换可以对信号进行平滑和去噪处理。
分数阶积分可以使信号的低频部分得到增强，同时抑制高频噪声。
因此，在信号处理中常用于信号去噪、信号平滑等方面。
分数阶积分变换还可以用于信号的特征提取，如边缘检测、纹理分析等。
3. 分数阶微分方程建模分数阶微分方程是描述分数阶导数的数学模型。
在信号处理中，分数阶微分方程可以用于对信号的生成、建模和预测。
通过建立适当的分数阶微分方程模型，可以更准确地描述信号的动态特性，并对信号进行预测和控制。
4. 分数阶小波变换小波变换是一种时频分析方法，可以将信号分解为不同尺度和频率的成分。
分数阶小波变换是对传统小波变换的改进，通过引入分数阶微分的概念，可以更好地捕捉信号的局部特征。
在信号处理中，分数阶小波变换可以用于信号的压缩、特征提取等方面。
三、分数阶微积分在实际应用中的例子1. 分数阶微分在图像处理中的应用分数阶微分可以对图像进行边缘检测和纹理分析。
通过对图像进行分数阶微分操作，可以提取图像的边缘和纹理信息，从而实现对图像的分割和识别。
2. 分数阶积分在语音信号处理中的应用语音信号中包含丰富的频谱和时域信息。
通过对语音信号进行分数阶积分变换，可以提取语音信号的频谱特征和时域特征，从而实现语音信号的识别和分析。
3. 分数阶微分方程在金融数据分析中的应用金融数据中包含着丰富的时间序列信息。
分数阶微积分理论2.1 引言一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。
虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分理论方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald -Letnikov 定义，Caputo 定义，Riemann -Liouville 定义[64]。
2.2 分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。
首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：[()/]()lim ()t a h at i h i D f t hf t ih αααω--→==-∑（2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭是多项式系数，(1)(2)(1)=!i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，我们可以用以下递推公式直接求出该系数：01+11,1,1,2,...,i i i n i ααααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭（2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：0,0()lim()()()1()()(1)(1)a t h nh t ai i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i αααααξξξαα-→=--+-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。
南京理工大学学报Journal of Nanjing Un—
ewity of Science and
Technology
VoU45 NoC
Aug2021第
45卷第
4期
202%年8月
基于神经网络优化算法的分数阶PI!
D
"控制
谢玲玲，秦龙
(广西大学电气工程学院，广西南宁
530004)
摘要:针对传统的PID控制器控制效果欠佳以及分数阶PLD控制器参数复杂难以整定的问
题，设计了一种基于误差反向传播(Back propagation, BP )神
经网络算法的分数阶PLD控
制
器。首先，将分数阶PLD"
控制器数字化
，
然后通过BP
神经网络算法调节突触权值，经调整后
的输出量作为分数阶PLD控
制器的参数值，最后分别采用分数阶和整数阶作为被控对象进行
实验仿真，仿真结果证明了神经网络分数阶PLD控制器比传统PID
控制器的具有超调量小
、
上升时间快、稳定性好的优
3
。
关键词：分数阶PLD;自适应；
误差反向传播神经网络;参数整定
中图分类号:TP273 文章编号
：
％005-9830(
202%)
04-0515-06
DOI： 10.1417^^/.cnki.C2-%397n.2021.45.04.017
Fractional order PI!
D
control
based
on
neerai network
optimization algorithm
Xic Lingling，Qin Long(School of
EWctUcal
Engineecng
，Guangoi Un—wsity，Nanning 530004，China)
Abstract: To solve the problems of poor control eWect of tradiUonal PID controller and the complex
paameters of —actional order PI%D conWoller，a —actional order PI%D" conWoller based on back
基于分数阶微积分的模糊分数阶控制器研究
曹军义，梁晋，曹秉刚
（西安交通大学机械工程学院，７１００４９，西安）
摘要：在分析分数阶微积分的基础上，提出了一种新型模糊分数阶比例积分微分控制器．分数阶微积分将传
统控制器中的积分和微分的阶数扩展到任意实数，为控制器的设计提供了比传统整数阶更好的性能扩展．结
合分数阶比例积分微分控制器和模糊控制逻辑，用分数阶比例积分微分单元代替传统的模糊比例积分微分
控制器中的比例积分微分单元，构建了模糊分数阶比例积分微分控制器的结构，采用模糊逻辑推理和Ｔｕｓ—
ｔｉｎ离散方法实现了模糊分数阶比例积分微分控制器的计算．最后，用数字仿真方法和不同条件下的对比分
析验证了新型模糊分数阶比例积分微分控制器的优良控制特性．研究结果表明，设计的新型模糊分数阶比例
积分微分控制器对非线性和参数不确定性具有较强的鲁棒性．
关键词：分数阶控制器；模糊比例积分微分控制器；分数阶微积分
中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：０２５３－９８７Ｘ（２００５）１１－１２４６－０４
Ｆｕｚｚｙ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｏｒｄｅｒ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ
Ｃａｏ Ｊｕｎｙｉ， Ｌｉａｎｇ Ｊｉｎ， Ｃａｏ Ｂｉｎｇｇａｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｘｉ＇ａｎ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ＇ａｎ ７１００４９， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｎｏｖｅｌ ｆｕｚｚｙ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ （ＦＦＰＩＤ） ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｒａｃ－
ｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｍｏｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｔｈａｎ ｉｎ－
ｔｅｇｅｒ ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｗｉｔｈ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ． Ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ
ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｗｉｔｈ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｌｏｇｉｃ， ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅ－
ｇｒａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｒｅｐｌａｃｅｓ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｉｎ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｆｕｚｚｙ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｔｏ
ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ＦＦＰＩＤ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ＦＦＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｉｓ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ
ｏｆ Ｔｕｓｔｉｎ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｌｏｇｉｃ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ． Ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ＦＦ－
Ｐ］Ｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ， ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕｎｄｅｒ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｓ
ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｆｉｎｅ ｒｏｂｕｓｔ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ； ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ； ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ
