基于分数阶微积分的Kelvin_Voigt流变模型_郭佳奇

!第"#卷第#期郑州大学学报!理学版"$%&’"#(%’#!)*#+年,月-./012340%56278.!(9:.;<7.=>."?9@.)*#+收稿日期!)*#AB*#B *C 基金项目!国家自然科学基金项目!##ED#)C)".作者简介!聂玉峰!#+CA %"#男#陕西西安人#教授#主要从事高性能数值计算方法’计算材料学’并行计算研究#=B I 97&&M \271N 2[L5.1>5.<2$通信作者&胡嘉卉!#+A*%"#女#河南郑州人#博士研究生#主要从事偏微分方程数值解研究#=B I 97&&05R 0NI 97&.2[L5.1>5.<2.求解三维空间分数阶对流扩散方程的!9D )?4>=U D ::格式聂玉峰#!!胡嘉卉#!)!!王俊刚#!#.西北工业大学计算科学研究中心!陕西西安D#*#)+$).河南工业大学理学院!河南郑州E"***#"摘要!由于分数阶导数的非局部性特征#在模拟反常扩散现象时使用分数阶偏微分方程具有更好的效果#但是分数阶导数的非局部性也给数值分析和计算带来了很大困难#尤其在多维空间情形下.通过对经典d%53&9S B V 522格式的推广#提出一种求解三维空间分数阶对流扩散方程!SL9<1\@9<:7%29&9>81<:7%2>7\\5S 7%21O59:7%2#;F G d ="的交替方向隐!9&:1@29:723>7@1<:7%27I L&7<7:#G d ^"差分格式#并用矩阵法证明了其稳定性和收敛性.用数值算例进一步验证了该格式在空间和时间方向均具有较高的二阶收敛精度#可以高效地求解三维;FG d =.关键词!三维;F G d =$G d ^格式$Y @92JB (7<%&S %2格式$d %53&9S B V 522格式$稳定性$收敛性中图分类号!e)E#文献标志码!G 文章编号!#CD#B CAE#!)*#+"*#B **EEB *D !"#!#*’#,D*"Q R .7S S 2.#CD#B CAE#’)*#A*##$%引言近年来#自然界中的反常扩散现象受到科研人员的广泛关注#为研究其独特的物理过程#常常用分数阶偏微分方程建立相应的数学模型.其中#在包含对流和超扩散两个物理过程的散布现象中#粒子束的传播与经典的布朗运动模型不再一致#此时把经典对流扩散方程中的空间二阶导数替换成分数阶导数构建的空间分数阶对流扩散方程!;FG d ="能更准确地模拟这一现象.分数阶导数或积分具有非局部性#这给相应方程的求解带来了很大困难#在大多数情况下很难得到解析解#因此研究可靠而有效的数值方法就显得尤为重要.目前常用的数值解法包括有限差分法(#X ))’有限元法(,X E )’有限体积法(")’配点法(C )以及谱方法(D )等.由于三维模型在科学研究中有广泛应用#本文考虑有限区域上带有零d 7@7<0&1:边界条件的三维;F G d =的数值求解.分数阶导数是一个非局部算子#这就使得离散;FG d =得到的线性系统的刚度矩阵不再是稀疏矩阵#导致计算工作量和存储量都非常大#尤其在多维空间情形下.目前求解三维;FG d =的数值方法还比较少.文献(A )采用了一种交替方向稳定法!9&:1@29:723>7@1<:7%27I L&7<7:I 1:0%>#G d ^"差分格式求解三维;F G d =#并提高了精度.文献(+)提出了一种求解三维分数阶扩散方程的G d ^差分格式.文献(#*)研究了一种求解三维空间分数阶扩散方程的快速迭代G d ^有限差分方法.在本文中#我们将提出一种求解三维;F G d =的有效的G d ^有限差分格式#这种方法是将经典的d %53&9S B V 522格式中的二阶中心差分算子推广为包含左’右分数阶导数离散算子及一阶中心差分算子在内的复杂算子得到的#同时给出了该格式的稳定性和收敛性的必要证明.最后用数值实验验证了理论分析的结果.&%三维F ’7!L 及其!9D )?4>=U D ::格式本文考虑三维;FG d =及它的初边值条件为-@!I #C #J #""-"-:#I Q R "I @!I #C #J #""#:)I R "I +@!I #C #J #""#P #C Q R !C@!I #C #J #""# Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第#期聂玉峰#等$求解三维空间分数阶对流扩散方程的d%53&9S B V 522格式P )C R !C +@!I #C #J #""#2#J QR %J @!I #C #J #""#2)J R %J +@!I #C #J #""#X #-@!I#C #J #""-I#X )-@!I #C #J #""-C #X ,-@!I#C #J #""-J#!!I #C #J #""#!I #C #J #""(*/!*#Z )#!#"@!I #C #J #""-*#!!I #C #J #""(-*/(*#Z )#!)"@!I #C #J #*"-@*!I #C #J "#!!I #C #J "(*#!,"其中&#K "#!#%K )$*-!I Q #I +"/!C Q #C +"/!J Q #J +"4S ,$:##:)#P ##P )#2##2)!*是,个空间方向的左’右扩散系数$X #’X )’X ,分别是,个空间方向的对流系数$!!I #C #J #""是源项.方程!#"中的分数阶导数是_71I 922B ]7%587&&1型的#即函数A!I "的"!#K "K )"阶_71I 922B ]7%587&&1左导数和右导数分别定义为I Q R "IA !I "-#’!).""-)-I ),I I Q!I.4"#."A !4">4和I R "I +A !I "-#’!).""-)-I ),I +I!4.I "#."A !4">41&,&%S (<@4::=V (9D Q(??<分数阶导数的离散设*#’*)’*,和,为正整数#3#-!I +.I Q "L *##3)-!C +.C Q "L *)#3,-!J +.J Q "L *,#.-Z L ,分别是一致的空间步长和时间步长#由此定义的空间和时间的剖分为I ;-I Q #;3#;-*###-#*##C G -C Q #G 3#G -*###-#*)#J 9-J Q #93#9-*###-#*,#"7-7.#7-*###-#,1设@7;#G #9表示@!I ;#C G #J 9#"7"的近似值#!7;#G #9-!!I ;#C G #J 9#"7"1采用文献(##)中的方法离散方程!#"中的分数阶导数1以I方向为例#有IQR "I@!I #C G #J 9#"7"I -I ;-#’!E .""3"##;##5-*?"5@!I ;.5###C G #J 9#"7"#_!3)#"#IR "I +@!I #C G #J 9#"7"I -I ;-#’!E .""3"##*#.;##5-*?"5@!I ;#5.##C G #J 9#"7"#_!3)#"#其中系数为"5-##5-*#.E #),."#5-##C .)"."#,,."#5-)#!5##",.".E 5,."#C !5.#",.".E !5.)",."#!5.,",."#5!,1记)#"#I @7;#G #9-#’!E .""3"##;##5-*?"5@7;.5###G #9#!E ")."#I @7;#G #9-#’!E .""3"##*#.;##5-*?"5@7;#5.##G #91!""同时#用中心差分近似对流项的一阶导数#记R "#I @7;#G #9-!@7;###G #9.@7;.##G #9"L )3#1!C "为了便于表示#进一步引入记号R ^"#I @7;#G #9-X #R "#I @7;#G #9#)^#"#I @7;#G #9-:#)#"#I @7;#G #9#)^."#I @7;#G #9-:))."#I @7;#G #91C 和J 方向的记号可以类似表示.&,+%三维F ’7!L 的有限差分近似用公式!E "i !C "离散空间导数#时间方向采用Y@92JB (7<%&S %2格式.记)"#I o -)^#"#I #)^."#I #R ^"#I #)!#C o -)^#!#C #)^.!#C #R ^!#C #)%#J o -)^#%#J #)^.%#J #R ^%#J #然后方程!#"就可以表示为!#..))"#I ..))!#C ..))%#J "@!I ;#C G #J 9#"7##"-!##.))"#I #.))!#C #.))%#J "@!I ;#C G #J 9#"7"#.!!I ;#C G #J 9#"7##L )"#+7##;#G #91!D "存在正常数$^#使得+7##;#G #9’$^.!.)#3)##3))#3),"1接下来#在方程!D "中用近似值@7;#G #9代替函数值@!I ;#C G #J 9#"7"#并去掉高阶项#得到方程!#"的全离散格式#"E Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷!#..))"#I ..))!#C ..))%#J "@7##;#G #9-!##.))"#I #.))!#C #.))%#J "@7;#G #9#.!7##L );#G #91!A "!!为便于计算#下面构造G d ^差分格式.将方程!A "左边加上高阶项!.)E )"#I )!#C #.)E )"#I )%#J #.)E )!#C )%#J ",!@7##;#G #9.@7;#G #9"..,A)"#I )!#C )%#J !@7##;#G #9#@7;#G #9"#再把适当的部分移项到方程的右边并分解因式#得!#..))"#I "!#..))!#C "!#..))%#J "@7##;#G #9-!##.))"#I "!##.))!#C "!##.))%#J "@7;#G #9#.!7##L );#G #91!+"采用经典的d %53&9S B V 522格式分解式!+"得到G d ^格式#即!#..))"#I "!@+-!.)"#I #.)!#C #.)%#J "@7;#G #9#.!7##L );#G #9$!#*"!#..))!#C"!@++-!@+$!##"!#..))%#J "!@-!@++$!#)"!@-@7##;#G #9.@7;#G #91!#,"与经典的d %53&9S B V 522格式不同#,个方向的二阶中心差分算子在此处分别被替换为)"#I ’)!#C ’)%#J #它们是包含了左’右分数阶导数离散算子等在内的复杂算子#可以认为是经典d %53&9S B V 522格式在求解分数阶方程中的推广.接下来#我们将给出收敛性和稳定性的必要证明.+%收敛性和稳定性分析显然#如果在格式!#*"i !#,"中消去中间解变量#则得到格式!+"#即格式!#*"i !#,"和!+"是等价的.下面用矩阵法证明格式!+"是无条件稳定和收敛的.首先把方程!+"表示成矩阵形式#令"7-(@7######@7)#####-#@7*#.######@7##)###@7)#)###-#@7*#.##)###-#@7##*).####@7)#*).####-#@7*#.##*).####@7####)#@7)###)#-#@7*#.####)#-#@7##*).##)#@7)#*).##)#-#@7*#.##*).##)#-#@7##*).##*,.##@7)#*).##*,.##-#@7*#.##*).##*,.#)P #!#E "为了书写简单起见#我们用记号"7-!!(@7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.#表示式!#E "#类似的表示还有87-!!(!7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.#1记0^I -:#.)’!E .""3"#71710"#:).)’!E .""3"#71710P"#X #.E 3#71711#!#""0^C -P #.)’!E .!"3!)710!17#P ).)’!E .!"3!)710P!17#X ).E 3)71117#!#C "0^J -2#.)’!E .%"3%,0%1717#2).)’!E .%"3%,0P%1717#X ,.E 3,11717#!#D "其中0"#0!#0%是P %1L&7:4矩阵#0"和1分别表示为0"-"#?"**-**")?"#?"**-*",?")?"#?"*-*222222"*#.)---?"#?"*"*#.#?"*#.)?"*#.,-?")?"##1-*#*-**.#*#*-**.#*#-*222222***-*#***-.#*#其中&7是单位矩阵$符号1表示b @%21<J1@积(#)).0!’0%与0"类似.利用上述记号#式!+"可以写为!7.0^I "!7.0^C "!7.0^J""7##-!7#0^I "!7#0^C "!7#0^J""7#.87##L )1!#A "!!为了证明式!#A "的稳定性和收敛性#下面列出一些相关的引理和定理.CE Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第#期聂玉峰#等$求解三维空间分数阶对流扩散方程的d%53&9S B V 522格式引理&(#,)!一个7阶实矩阵0是正定的#当且仅当矩阵,-!0#0P"L )是正定的$,是正定的#当且仅当,的特征值都是正的.引理+(#,)!设0是一个7阶复矩阵#0T 表示H 的共轭转置#记,-!0#0T "L)#则对于0的任意特征值(#它的实部满足不等式(I 72!,"’+!(!0""’(I 9‘!,"#这里(I 72!,"和(I 9‘!,"分别表示,的最小和最大特征值.定理&(A )!设0"是式!#""中的P %1L&7:4矩阵#则对于0"的任意特征值(#有+!(!0"""K *#并且0"是负定矩阵1同时#+!(!=#0"#=)0P """K *#=##=)!*#=)##=))8*1引理-!设0(S 9/7#1(S 8/B #2(S T /[#则!011"12-01!112"1证明!此结论可以由b @%21<J1@积的定义直接得到.引理.!设0#1(S 9/7#2(S B /"#则有!0#1"12-012#112#21!0#1"-210#2111证明!此结论可以由b @%21<J1@积的定义直接得到.引理/(#))!设0(S 9/7#1(S 8/B #2(S 7/T #3(S B /"#则!011"!213"-02113!(S 98/T ""1引理0(#))!对于任意的矩阵0和1#有!011"P -0P 11P .引理1(#))!设矩阵0(S 7/7有特征值0(;17;-##矩阵1(S 9/9有特征值01G 19G -#1则矩阵011的97个特征值为(#1##-#(#19#()1##-#()19#-#(71##-#(7191为了叙述并证明下述引理和定理#记%,%表示矩阵的)B 范数.引理2%设0(S 7/7是正定矩阵#则对任意的+(S 且+]*#有%!7#+0".#%K #1证明!由矩阵)B 范数的定义#有%!7#+0".#%)-I 9‘I 8*!!7#+0".#I #!7#+0".#I "!I#I "1设C -!7#+0".#I #则有%!7#+0".#%)-I9‘C 8*!C #C "!!7#+0"C #!7#+0"C "-#I 72C 8*(##)+!0C #C "!C #C "#+)!0C #0C "!C#C ")K #1引理6%设0(S 7/7是正定矩阵#则对任意的+(S 且+]*#有%!7#+0".#!7.+0"%K #1证明!由矩阵)B 范数的定义并记C-!7#+0".#I #可得%!7.+0"!7#+0".#%)-I 9‘I 8*!!7.+0"!7#+0".#I #!7.+0"!7#+0".#I "!I #I "-I 9‘C 8*!!7.+0"C #!7.+0"C "!!7#+0"C #!7#+0"C "-I 9‘C 8*!C #C ".)+!0C #C "#+)!0C #0C "!C #C "#)+!0C #C "#+)!0C #0C "K #1!!引理&$%设0#1#7(S 7/7#0和1乘积可交换#且!7.0".#’!7.1".#存在#则!7#0"与!7.1".##!7.0".#与!7.1".#也是乘积可交换的.证明!首先#由01-10#不难验证!7a 0"!7.1"-!7.1"!7a 0"1所以有!7#0"!7.1".#-!7.1".#!7.1"!7#0"!7.1".#-!7.1".#!7#0"!7.1"!7.1".#-!7.1".#!7#0"#!7.0".#!7.1".#-!!7.1"!7.0"".#-!!7.0"!7.1"".#-!7.1".#!7.0".#1定理+%由式!#""i !#D "定义的矩阵0^I ’0^C ’0^J 是负定的.证明!记0I -:#.)’!E .""3"#0"#:).)’!E .""3"#0P"#X #.E 3#1#则有0PI-:#.)’!E .""3"#0P"#:).)’!E .""3"#0"#X #.E 3#1P #0I #0P I )-!:##:)".)’!E .""3"#0"#0P")#由定理##可得+!(!0I #0P I )""K *#也就是(!0I #0P I )"K *#而且由引理,#E 和C #有0^I #0^PI)-7171!0I #0PI)"#再根据引理D #可以得到(!0^I #0^PI)"K *1最后由引理)和引理#可得+!(!0^I""K *#且0^I 是负定的1类似地#可以证明0^C 和0^J 是负定的.定理-%差分格式!+"是无条件稳定的.DE Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷证明!我们利用差分格式!+"的矩阵形式!#A "证明.设"7和#7分别是格式!#A "对应于初值"*和#*的解#记’7o -"7.#7-!!(’7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.#1由式!#A "可得’7满足方程!7.0^I "!7.0^C "!7.0^J"’7##-!7#0^I "!7#0^C "!7#0^J"’71!#+"!!矩阵0^I ’0^C ’0^J 是乘积可交换的.事实上#只需验证!#""i !#D "中b @%21<J1@积形式的矩阵都是乘积可交换的.由引理,和"#可得!71710""!710!17"-!71!710"""!71!0!17""-71!!710""!0!17""-71!0!10""#同时!710!17"!71710""-!71!0!17""!71!710"""-71!!0!17"!710"""-71!0!10""#等等1由0^I ’0^C ’0^J 乘积可交换并利用引理#*#方程!#+"可以写为’7-!!7.0^J".#!7#0^J ""7!!7.0^C".#!7#0^C ""7!!7.0^I".#!7#0^I""7’*1由定理)和引理+可知%!7.0^I ".#!7#0^I "%K ##所以!7.0^I ".#!7#0^I "的谱半径小于##因此当7)q 时#!!7.0^)".#!7#0^I ""7收敛到零矩阵#也就是对任意的7!*#!!7.0^I ".#!7#0^I ""7有界1同理可证!!7.0^C ".#!7#0^C ""7和!!7.0^J".#!7#0^J""7对任意的7!*有界.这就证明了差分格式!+"是无条件稳定的.定理.%设@!I ;#C G #J 9#"7"是问题!#"^!,"的解#@7;#G #9是差分格式!+"的解1记<7;#G #9-@!I ;#C G #J 9#"7".@7;#G #9#<7-!!(<7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.##那么存在一个正常数$#使得%<7%K$!.)#3)##3))#3),"1证明!记*7-!!(+7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.##那么方程!D "减去!+"的矩阵形式为!7.0^I "!7.0^C "!7.0^J "<7##-!7#0^I "!7#0^C "!7#0^J"<7#*7##1!)*"因为0^I ’0^C ’0^J 乘积可交换#根据引理#*#方程!)*"可以写为<7##-!7.0^J ".#!7#0^J "!7.0^C ".#!7#0^C ",!7.0^I ".#!7#0^I "<7#!7.0^J ".#!7.0^C ".#!7.0^I".#*7##1用矩阵的)B 范数作用上式两端#并利用引理A 和+#可得%<7%K %<*%##7.#X -*%*X ##%1因<*-$#所以存在正常数$#使得%<7%K$!.)#3)##3))#3),"1-%数值结果下面#我们通过两个数值算例验证本文所提出的数值格式的稳定性和收敛阶#也就是说格式是有效的#并在时间和空间方向都具有较高的二阶收敛精度.设"和"3分别表示问题!#"i !,"的解析解和采用格式!#*"i !#,"得到的数值解#用离散的Q q 和Q )范数计算全局截断误差#即%"3."%Q q o -I 9‘#’9’*,.##’G ’*).##’;’*#.#@,;#G #9.@!I ;#C G #J 9#Z"#%"3."%Q )o -!#*,.#9-##*).#G -##*#.#;-#@,;#G #9.@!I ;#C G #J 9#Z ")3#3)3,"#L )1!!算例&%在问题!#"i !,"中#取*-!*##"/!*##"/!*##"#Z-#$对流和扩散系数分别为X #-X )-X ,-.##:#-:)j P #-P )-2#-2)-#$初值取@*!I #C #J "-I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,!#.J ",1已知的解析解为@!I#C #J #""-1."I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,!#.J ",#由以上条件容易算出!!I #C #J #""1对常系数算例#取优化的步长比例,-*#-*)-*,进行测试.表#列出的数值结果表明#用格式!#*"i !#,"计算常系数问题!#"i !,"时#算法是无条件稳定的#而且在时间及空间方向都是二阶收敛的#这和理论分析的结果一致.算例+%在问题!#"i !,"中#取*-!*##"/!*##"/!*##"#Z -#$对流和扩散系数分别为X #-*’)"I #X )-*’)"C #X ,-*’)"J #:#-I "#:)-!#.I ""#P #-C !#P )-!#.C "!#2#-J %#2)-!#.J "%$初值取@*!I #C #J "-I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,!#.J ",1已知的解析解为@!I#C #J #""-1."I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,,!#.J ",#由以上条件!!I #C #J #""容易算出.表)列出了变系数算例)的数值结果#这里也取优化的步长比例,-*#-*)-*,进行测试#数值结果表明用格式!#*"i !#,"计算变系数问题!#"i !,"时#算法是无条件稳定的#而且在时间及空间方向也都具AE Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第#期聂玉峰#等$求解三维空间分数阶对流扩散方程的d%53&9S B V522格式!!表&!算例#在时刻"-##取,-*#-*)-*,的数值误差和收敛阶345*&!P011@@%@S92><%281@312<1%@>1@S\%@1‘9I L&1#9:"j#[7:0,-*#-*)-*,.%"3."%Q q+:"<%"3."%Q)+:"<"-#’) !-#’) %-#’)#Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*#’#*)D1X**D)’CD*#1X**AC’C,+"1X**+#’CCC,1X**+E’#D*"1X*#*X)’*EC#)’**D D#’++E E#’++A E#’+,C E1X**AE’D)E)1X**+#’#DA E1X**+)’+"))1X*#*D’,+C E1X*##X)’*,"))’**,)#’++D*#’++C+"-#’E !-#’" %-#’C #Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*#’)",E1X**D,’*#C+1X**AD’"*,)1X**+#’AAC E1X**+E’DE)"1X*#*X)’*"E D)’**D"#’++#+#’++#+)’*A+*1X**A"’*D+,1X**+#’)D*D1X**+,’)**C1X*#*A’*CE+1X*##X)’*E*##’+++*#’+A+)#’+AA C"-#’+ !-#’+ %-#’+#Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*)’,*"A1X**DE’D,+A1X**A#’*A""1X**A)’C)A"1X**+C’"#,D1X*#*X)’)A)E)’#)C")’*EC*)’*#)D,’"*"E1X**AD’,E,A1X**+#’D*,D1X**+E’#"A E1X*#*#’*,E"1X*#*X)’)""*)’#*D+)’*,E C)’**D#表+!算例)在时刻"-##取,-*#-*)-*,的数值误差和收敛阶345*+!P011@@%@S92><%281@312<1%@>1@S\%@1‘9I L&1)9:"j#[7:0,-*#-*)-*, .%"3."%Q q+:"<%"3."%Q)+:"<"-#’) !-#’) %-#’)#Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*#’*+)+1X**D)’C#E"1X**AC’EAE A1X**+#’C)#)1X**+E’*"A,1X*#*X)’*C,C)’*##E)’****#’++A#)’#*A C1X**AE’+C*C1X**+#’)),D1X**+,’*")*1X*#*D’C,**1X*##X)’*AD D)’*#+,)’**,E)’****"-#’E !-#’" %-#’C #Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*#’*A#D1X**D)’C#"E1X**AC’"#E+1X**+#’C,"D1X**+E’##*+1X*#*X)’*EA))’**")#’++,A#’++)E)’*,"A1X**AE’AE*+1X**+#’)**"1X**+,’**A D1X*#*D’"",C1X*##X)’*D)))’*##C#’++C E#’++,+"-#’+ !-#’+ %-#’+#Q#*#Q)*#Q E*#Q A*#Q#C*+’AE,"1X**A)’,C#,1X**A"’ADC E1X**+#’EA*D1X**+,’DEC#1X*#*X)’*"+C)’**C C#’+AA D#’+A)A#’C+*C1X**AE’*C#"1X**+#’*#,)1X**+)’""A,1X*#*C’EA,"1X*##X)’*"D")’**,##’+A"D#’+A*,有二阶收敛率#这和理论分析的结果是非常吻合的..%结论本文将求解三维整数阶抛物方程的经典d%53&9S B V522格式推广到分数阶#提出了一种求解三维;F G d=的有效的数值方法#并证明该格式具有无条件稳定性和较高的二阶收敛精度#必要而充足的数值实验验证了理论结果.最后#由于分数阶导数是非局部算子#对于多维空间问题的求解需要耗费较大的计算工作量和空间存储量#在今后的工作中#我们将考虑开展适当的快速算法#以减少计算花费和加快计算速度.参考文献!(#)!;e6;G=.G21‘L&7<7:0730%@>1@I1:0%>\%@\@9<:7%29&9>81<:7%2>7\\5S7%21O59:7%2S(-).-%5@29&%\<%I L5:9:7%29&L0M S7<S# )*#E#)DA&)"D X)DE.())!/T G(VT#]^6F#/T6G(V U#1:9&.(5I1@7<9&929&M S7S%\921[S L9<1B:7I189@79Z&1\@9<:7%29&%@>1@9>81<:7%2B>7S L1@S7%2 1O59:7%2(-).G LL&71>I9:01I9:7<S92><%I L5:9:7%2#)*#E#)E)&"E#X""*.+E Copyright©博看网 . All Rights Reserved.*"郑州大学学报!理学版"第"#卷(,)!=_$^($-#T=6=_(#_e e U-U.(5I1@7<9&9LL@%‘7I9:7%2%\9:7I1>1L12>12:#2%2&7219@#S L9<1B\@9<:7%29&>7\\5S7%21O59:7%2 (-).;^G?R%5@29&%225I1@7<9&929&M S7S#)**D#E"!)"&"D)X"+#.(E)!/T=(Vff#]^YU#/T G e/V.G2%:1%2:01\727:11&1I12:I1:0%>\%@:01S L9<1\@9<:7%29&9>81<:7%2>7\\5S7%21O59:7%2(-).Y%I L5:1@S92>I9:01I9:7<S[7:09LL&7<9:7%2S#)*#*#"+&#D#A X#D)C.(")!T=-G/^T#?e_e(=fP#]^6F.;:9Z7&7:M92><%281@312<1%\9\727:18%&5I1I1:0%>\%@:01S L9<1\@9<:7%29&9>81<:7%2B>7S L1@B S7%21O59:7%2(-).-%5@29&%\<%I L5:9:7%29&92>9LL&71>I9:01I9:7<S#)*#E#)""&CAE X C+D.(C)!虎晓燕#韩惠丽.重心插值配点法求解分数阶F@1>0%&I积分方程(-).郑州大学学报!理学版"#)*#D#E+!#"&#D X),.(D)!/T=(V?#]^6F#G(T$#1:9&.G0730B%@>1@S L1<:@9&I1:0%>\%@:01I5&:7B:1@I:7I1B\@9<:7%29&>7\\5S7%21O59:7%2S(-).G LBL&71>I9:01I9:7<9&I%>1&&723#)*#C#E*!D Q A"&E+D*X E+A".(A)!d=(Va T#Y T=(?T.=\\7<712:25I1@7<9&9&3%@7:0I S\%@:0@11B>7I12S7%29&\@9<:7%29&L9@:79&>7\\1@12:79&1O59:7%2S(-).-%5@29&%\<%I L5:9:7%29&I9:01I9:7<S#)*#E#,)!E"&,D#X,+#.(+)!Y T=(-#]^6F#]^6h#1:9&.(5I1@7<9&S7I5&9:7%2\%@:01:0@11B>7I12S7%2\@9<:7%29&S5ZB>7\\5S7%21O59:7%2(-).G LL&71> I9:01I9:7<9&I%>1&&723#)*#E#,A!#""&,C+"X,D*".(#*)aG(VT#d6(.F9S:9&:1@29:723B>7@1<:7%2\727:1>7\\1@12<1I1:0%>S\%@:0@11B>7I12S7%29&S L9<1B\@9<:7%29&>7\\5S7%21O59:7%2S (-).-%5@29&%\<%I L5:9:7%29&L0M S7<S#)*#E#)"A&,*"X,#A.(##)Y T=(?T#d=(Va T.GS1<%2>B%@>1@25I1@7<9&I1:0%>\%@:[%B>7I12S7%29&:[%B S7>1>S L9<1\@9<:7%29&<%281<:7%2>7\\5S7%2 1O59:7%2(-).G LL&71>I9:01I9:7<9&I%>1&&723#)*#E#,A!#,"&,)EE X,)"+.(#))]G6HG-.?9:@7‘929&M S7S\%@S<712:7S:S92>1237211@S(?).U07&9>1&L079&;^G?#)**".(#,)h6G_P=_e(^G#;G Y Y e_#;G]=_^F.(5I1@7<9&I9:01I9:7<S(?).H1@&72&;L@7231@B$1@&93#)**D.!9D)?4>=U D::’(:(;<!(H H<B<:E<F E N<@<H9B3N B<<=C(@<:>(9:4?F T4E<’B4E;(9:4?7C Q<E;(9:!(H H D>(9:L X D4;(9:(^=f5\123##T6-79057##)#aG(V-523923#!#’+<B<:823$<7"<8!48$49T@":";47:5)2;<72<#*48"3E<B"<87(45C"<237;2:5&7;A<8B;"C#M;N:7D#*#)+#$3;7:$ )’$455<?<4!)2;<72<#\<7:7&7;A<8B;"C4!Z<237454?C#O3<7?J34@E"***##$3;7:"75>;B4E;&d51:%:012%2B&%<9&7:M%\\@9<:7%29&>1@789:781S#\@9<:7%29&L9@:79&>7\\1@12:79&1O59:7%2S[1@1Z1::1@:%>1S<@7Z192%I9&%5S>7\\5S7%2L012%I129:092%:01@I1:0%>S.T%[181@#[07&112R%M723:01<%2B 812712<1\@%II9:01I9:7<9&I%>1&723#7:9&S%<95S1>&%:S%\:@%5Z&11S L1<79&&M72S%&8723I5&:7>7I12S7%29& <9S1S.G21\\7<712:25I1@7<9&9&3%@7:0I[9S L@%L%S1>\%@S%&8723:01:0@11B>7I12S7%29&S L9<1\@9<:7%29&9>81<:7%2>7\\5S7%21O59:7%2!;F G d="ZM3121@9&74723:01d%53&9S B V522S<01I1.;:9Z7&7:M92><%281@B312<1%\:01I1:0%>[1@1L@%81>ZM:01I9:@7‘I1:0%>.P01>1@781>9&:1@29:723>7@1<:7%27I L&7<7:!G d^"\727:1>7\\1@12<1S<01I109>:01S1<%2>%@>1@9<<5@9<M72Z%:0:7I192>S L9<1>7@1<:7%2S#@1S L1<:781&M.P011\\7<712<M92><%281@312<1%@>1@S[1@1\729&&M>1I%2S:@9:1>ZM S%I125I1@7<9&1‘9I L&1S.J<G K9B C>&:0@11B>7I12S7%29&;F G d=$G d^S<01I1$Y@92JB(7<%&S%2S<01I1$d%53&9S B V522S<01I1$ S:9Z7&7:M$<%281@312<1!责任编辑&方惠敏"Copyright©博看网 . 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基于分数阶导数的岩石非线性蠕变损伤模型王晴;仇晶晶;朱其志;刘思利;余健【摘要】利用Riemann-Liouville分数阶理论,给出一种分数阶软体元件及其本构方程,阶数取值不同,可分别模拟蠕变的三个阶段.采用两个分数阶软体元件与虎克体进行组合,引入岩石硬化函数、损伤变量,提出一种新的含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型,并推导出该模型的本构方程.利用砂岩的蠕变试验数据进行验证,发现该模型能有效描述砂岩的蠕变特性.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2019(037)003【总页数】5页(P406-410)【关键词】分数阶;软体元件;非线性蠕变【作者】王晴;仇晶晶;朱其志;刘思利;余健【作者单位】河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;江苏纬信工程咨询有限公司,南京 210014;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098;河海大学岩土力学与堤坝工程工程教育部重点实验室,南京 210098;河海大学江苏省岩土工程技术工程研究中心,南京 210098【正文语种】中文【中图分类】TU45在工程实际中，岩石蠕变特性是岩石材料重要力学性质之一，与岩体工程的安全性、稳定性密切相关，因此，岩石蠕变研究越来越被人们重视［1］.国内外研究者多采用元件模型来研究蠕变本构关系，代表性的有Burgers模型、Maxwell模型等，其中的胡克元件仅可描述纯弹性行为，可模拟蠕变线弹性阶段；牛顿体元件仅可描述材料的黏滞性，用以模拟蠕变稳定阶段.基于此，国内外很多学者引进非线性元件来模拟蠕变加速阶段，并适当组合非线性元件和线性元件，从而能更好地模拟蠕变的三个阶段［2-11］.为更好地模拟，必须使用多个元件，导致了模型参数增加.由此，一些学者提出了含参数少、方程简洁的分数阶软体元件.殷德顺等［12］基于分数阶微积分理论，提出一种介于理想固体和流体之间的分数阶软体元件，将该软体元件与弹簧元件分别进行串联和并联得到两种模型，推导出本构方程，与土的试验数据进行比较，发现模型能有效描述蠕变特性；何志磊等［13］改进了西原模型，将西原模型中的牛顿黏壶替换为分数阶Abel黏壶，克服了西元模型不能描述蠕变加速阶段的缺点，得到分数阶非定常蠕变模型；吴斐等［14］引入了分数阶非线性黏壶元件，提出了参数少且可描述蠕变三个阶段的新的岩石蠕变模型；郭佳奇［15］等将Kelvin-Voigt蠕变模型中的牛顿体元件替换为分数阶软体元件，得到分数阶Kelvin-Voigt蠕变模型，与实验数据拟合后，比较发现分数阶Kelvin-Voigt蠕变模型不仅参数更少，且拟合效果比整数阶5参数开尔文蠕变模型和整数解Kelvin-Voigt蠕变模型好.在上述研究基础上，本文讨论了阶数取值对分数阶软体元件的影响，提出了一种新的含有分数阶导数的非线性蠕变损伤模型，利用两个不同阶数的分数阶软体元件，同时引入岩石硬化函数和损伤变量，最后结合砂岩蠕变试验进行验证.1 分数阶非线性蠕变损伤模型建立1.1 含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型分数阶微积分定义有多种，本文采用Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，Riemann-Liouville积分形式为式中：为Gamma函数［15-16］.Riemann-Liouville微分形式为函数 f(t)的r阶Riemann-Liouville分数阶微分［15-16］.将应力-应变关系用分数阶微分形式进行表示，如式（3）：式中：ξ和β均为材料常数.可知，当β=0，式（3）可表示理想固体的应力-应变关系：σ(t)-ε(t)，满足胡克定律；当β=1，式（3）可表示理想流体的应力-应变关系：σ(t)-d1ε(t)/dt1，满足牛顿黏性定律.当σ(t)=const应力恒定时，可描述蠕变现象.对式（3）两边进行积分，可得软体元件的蠕变方程为［17-18］：如图1和图2所示，应力水平保持恒定，当β采用不同值时，由式（4）表示的一系列蠕变曲线.可知，随着β取值的增大，软体元件应力-应变的非线性增加，这与理想固体保持不变的状态和理想流体线性增加的状态不同.从图1可以看出，当0＜β＜1时，随着β增加，软体元件的应力应变关系线性特征逾明显，可以用来描述蠕变的线性、稳态阶段；从图2可以看出，当β＞1时，随着β增加，软体元件的应力应变曲线的斜率越来越大，可以描述蠕变加速阶段.图1 分数阶软体元件的蠕变曲线图（0＜β＜1）Fig.1 Creep curves of fractionalsoftware components（0＜β＜1）由此发现，可以通过调整分数阶的阶数来模拟蠕变的不同阶段，故提出如图3所示模型：第I部分为引入硬化函数的虎克体元件；第II部分为黏弹性分数阶软体元件，其阶数小于1；第III部分为引入损伤变量、阶数大于1的黏塑性分数阶软体元件和应力阈值开关元件并联组成.图2 分数阶软体元件的蠕变曲线图（β＞1）Fig.2 Creep curves of fractional software components（β＞1）图3 含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型Fig.3 Nonlinear creep damage model with fractional derivatives1.2 蠕变本构方程对于第I部分，引入硬化函数，由陈化理论［19］可知，材料强度H(σ,t)可表示为式中：H(σ ,t)为材料强度；σ、t分别为应力、时间；H0为初始强度；λ、n为材料常数.本文为方便计算，取n=0.则第I部分的本构方程为对于第II部分，使用黏弹性分数阶软体元件，其阶数小于1，本构方程为式中：γ1,α分别为材料常数和分数阶阶数，且0＜α＜1.对式（7）两边积分，可得第II部分本构方程为对于第III部分，引入损伤变量.根据能量损伤的方法，定义损伤变量为：式中：D(σ,t)表示t时刻材料的损伤变量；E(σ,t)表示任意t时刻的弹性模量，其值与t时刻对应的应力水平有关；E0表示材料初始弹性模量.由经典蠕变损伤模型可定义E(σ,t)为式中：e为自然常数；θ表示材料常数.将式（10）代入式（9），可得由式（11）可知：t→∞时，D=1，表示材料已经完全损伤.易知，随时间t和应力σ增长，试样弹性模量逐渐减小，损伤慢慢变大.Kachanov定义有效应力为式中：为有效应力；σ为名义应力.将式（11）带入式（12），得当σ＞σs（长期强度）时，进入蠕变损伤阶段，则本构方程为式中：γ2,β分别为软体元件的材料常数和阶数，且β＞1.对式（14）积分，并将式（13）代入，得第III部分本构方程为综上，当σ＜σs时，蠕变无加速阶段，模型中仅存在第I、II部分，此时本构方程为当σ＞σs时，蠕变会进入加速阶段，此时模型包含第I、II、III部分，本构方程为2 蠕变实验及模型验证2.1 实验准备及实验结果试验采用全自动岩石三轴伺服仪，如图4所示.试样为砂岩（如图5所示），标准圆柱形，尺寸为50 mm×100 mm（直径×高度）.图4 全自动岩石三轴伺服仪Fig.4 Automatic three-axis rock servo试验室温度控制在（21±0.5）℃内，以减小温度对试验数据的影响.试验期间，先将围压加载至目标值10 MPa，并保持恒定，加载速率3 MPa/min.待围压、温度稳定后，采用轴向应力控制方法加载偏压至目标值（分别为：118、119 MPa），加载速率为0.3 MPa/min.保持温度、偏压稳定，直到试样破坏.蠕变试验曲线如图6所示.图5 砂岩试样Fig.5 Sandstone sample2.2 模型验证及参数识别利用以上蠕变试验数据验证模型，对实验数据进行非线性拟合，得模型参数见表1.由于试样之间的差异性，所得参数存在一定差异.如图7所示，根据拟合结果可知，本文提出的非线性蠕变损伤模型能较好地模拟蠕变试验的全过程.图6 不同强度下的蠕变试验应力-应变曲线Fig.6 Stress-strain curve of creep test under different strength图7 非线性蠕变损伤模型的拟合曲线Fig.7 Fitting curve of nonlinear creep damage model表1 模型参数Tab.1 Parameters of model应力水平/MPa 118 119 λ α β θ0.484 0.456 γ1/（h·MPa-1）0.726×103 0.789×103 0.245 0.286 γ2/（h·MPa-1）3.967×1011 2.177×1011 8.121 9.152 0.301 0.6713 结论1）基于Riemann-Liouville分数阶微积分理论，给出了分数阶软体元件及其本构关系，并发现当分数阶阶数取值小于1时，软体元件可模拟瞬时弹性和稳定蠕变阶段，当阶数取值大于1时，软体元件可以模拟加速蠕变阶段.2）通过两个软体元件与虎克体进行组合，引入硬化函数和损伤变量，增加应力阈值开关，提出含分数阶导数的非线性蠕变损伤模型，并推导出该模型的本构方程.由砂岩试验数据进行验证，提出的非线性蠕变损伤模型能较好地描述蠕变全过程.【相关文献】［1］徐平，杨挺青.岩石流变试验与本构模型辨识［J］.岩石力学与工程学报，2001，20（S1）：1739-1744.［2］徐卫亚，杨圣奇，杨松林，等.绿片岩三轴流变力学特性的研究（I）：试验结果［J］.岩土力学，2005，26（4）：531-537.［3］徐卫亚，杨圣奇，谢守益，等.绿片岩三轴流变力学特性的研究（II）：模型分析［J］.岩土力学，2005，26（5）：23-28.［4］杨广雨，王伟，熊德发，等.岩石非线性黏弹塑性蠕变模型研究［J］.河北工程大学学报（自然科学版），2017，34（4）：23-26.［5］蒋昱州，张明鸣，李良权.岩石非线性黏弹塑性蠕变模型研究及其参数识别［J］.岩石力学与工程学报，2008，27（4）：832-839.［6］赵延林，曹平，文有道，等.岩石弹黏塑性流变试验和非线性流变模型研究［J］.岩石力学与工程学报，2008，27（3）：477-486.［7］张英.岩石流变的一种非线性黏弹塑性流变模型研究［J］.湖南工业大学学报，2015，29（3）：10-14.［8］蒋海飞，胡斌，刘强，等.一种新的岩石黏弹塑性流变模型［J］.长江科学院院报，2014，31（7）：44-48.［9］马明军，钟时猷.一个软弱岩石的粘弹塑性流变力学模型［J］.中南矿冶学院学报，1990，21（3）：236-241.［10］ LIU L，WANG G，CHEN J，et al.Creep experiment and rheological model of deep saturated rock［J］.Transactions of Nonferrous Metals Society of China，2013，23（2）：478-483.［11］ MARANINI E，YAMAGUCHI T.A non-associated viscoplastic model for the behaviour of granite in triaxial compression［J］.Mechanics of Materials，2001，33（5）：283-293.［12］殷德顺，任俊娟，和成亮，等.一种新的岩土流变模型元件［J］.岩石力学与工程学报，2007，26（9）：1899-1903.［13］何志磊，朱珍德，朱明礼，等.基于分数阶导数的非定常蠕变本构模型研究［J］.岩土力学，2016，37（3）：737-744.［14］吴斐，刘建锋，武志德，等.盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型［J］.岩土力学，2014，35（S2）：162-167.［15］郭佳奇，乔春生，徐冲，等.基于分数阶微积分的Kelvin-Voigt流变模型［J］.中国铁道科学，2009，30（4）：1-6.［16］何明明，李宁，陈蕴生，等.基于分数阶微积分岩石的动态变形行为研究［J］.岩土工程学报，2015，37（S1）：178-184.［17］宋勇军，雷胜友.基于分数阶微积分的岩石非线性蠕变损伤力学模型［J］.地下空间与工程学报，2013，9（1）：91-95.［18］王学彬.拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2016，41（7）：7-12.［19］穆霞英.蠕变力学［M］.西安：西安交通大学出版社，1990.。

化学动力学的分数阶微积分学化学动力学是研究化学反应速率与反应机理的学科。

分数阶微积分学是在传统微积分学的基础上，引入了分数阶概念，并将其应用到不同的学科领域中，包括化学动力学。

本文将探讨分数阶微积分学在化学动力学中的应用。

1. 分数阶微积分学的基本概念传统的微积分学是基于整数阶的概念，例如导数和积分。

分数阶微积分学则是引入了分数阶的概念，根据分数阶的不同，可以得到不同的导数和积分。

例如，分数阶求导可以用分数阶微分方程表示，而分数阶积分可以用分数阶积分方程表示。

分数阶微积分学的应用十分广泛，包括物理学、生物学、金融学、信号处理等领域。

在化学动力学中，分数阶微积分学的应用也得到了广泛关注。

2. 分数阶动力学方程化学反应的速率通常用速率常数表示，速率常数可以在实验中通过测量反应物消耗的速度来确定。

然而，有些反应速率并不是简单的一阶动力学反应，而是更复杂的分数阶动力学反应。

分数阶动力学反应通常由下列方程描述：$$\frac{d^{\alpha} [A]}{dt^{\alpha}} = k [A]^{\beta}$$其中，$[A]$为反应物的浓度，$k$为速率常数，$\alpha$和$\beta$为实验中测定的反应动力学指数。

当$\alpha=1$，$\beta=1$时，上述方程即为经典的一阶反应动力学方程。

然而，当$\alpha$和$\beta$分别等于$0.5$时，方程的积分形式为：$$[A](t) = A_0 \left(1 + k_1t^{0.5}\right)^{-2}$$其中，$A_0$为初始浓度，$k_1=\frac{k}{\sqrt{\pi}}\Gamma \left(\frac{3}{2}-\alpha\right)$为分数阶速率常数，$\Gamma$为伽玛函数。

3. 分数阶反应的动力学模型分数阶反应通常具有不同于一阶反应的反应动力学特征。

因此，为了更好地描述分数阶反应的动力学模型，需要引入新的数学工具。

利用分数阶(G′G)展式法构造分数阶KdV-Burger方程方程的精确行波解尹伟石;李琰;徐飞【摘要】(G′G)展式法是一种行之有效的求解分数阶偏微分方程的方法.利用行波变化与齐次平衡技巧可以对该方法进行拓展,拓展后的方法能够处理更一般的分数阶偏微分方程.最后将拓展后的方法应用到基于黎曼-刘维尔积分意义下的时间空间分数阶KdV-Burger方程中,通过符号计算可以得到方程的精确行波解.与其他方法相比,拓展的(G′G)展式法不需要进行变换和数值逼近,计算更加的简洁.%(G′ G) expansionmethod is an effective method for solving fractional partial differentialequations.The method can be extended by using the traveling wave variation andthe homogeneous balance technique,and the extended method can be used to dealwith the more general fractional partial differential equations.Finally, theextended method is applied to the time space fractional KdV-Burger equationbased on the Liu Weier Riemann integral, and the exact traveling wave solutionsof the equations can be obtained by the symbo lic computation. Compared withother methods, (G′ G) ex-pansionmethod don't need to doing transform and numerical approximation,so thecalculation is more simple.【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)006【总页数】4页(P125-128)【关键词】分数阶(G′G)展式法;分数阶KdV-Burger方程;精确行波解【作者】尹伟石;李琰;徐飞【作者单位】长春理工大学理学院,长春 130022;长春理工大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春 130024【正文语种】中文【中图分类】O241.82近年来，分数阶偏微分方程（FPDEs）频繁地出现于物理、生物、工程、信号处理、系统识别、控制理论、金融和分子动力学等领域，已经成为偏微分方程领域关注的焦点问题。

基于局部特征的分数阶微分图像增强方法吴瑞芳;宣士斌;荆奇【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)003【摘要】一般情况下分数阶微分模板一经确定，再用其进行滤波时并不随图像的局部信息而变化，它不具有灵活性。

针对分数阶微分模板滤波的这种局限性，提出了一种基于局部特征的分数阶微分图像增强的方法。

在3×3对称分数阶微分模板的基础上找出与拉普拉斯模板的关系，从而得到加权的拉普拉斯模板表示的分数阶微分模板；根据图像的局部均值与标准差的关系对加权的拉普拉斯模板进一步改进，得到基于局部特征的分数阶微分图像增强的方法，它使分数阶图像增强模板能够根据局部特征灵活地进行滤波。

将其与其他的图像增强算法比较，实验证明基于局部特征的分数阶微分图像增强算法能获得更好效果。

%Generally, fractional differential mask doesn’t have flexibility, because it is not filtered with the changes of images’local information, once it is decided. To remedy the limitations of fractional differential mask, this paper puts forward one way of the enhancement of fractional differential image based on the local feature. The relation between Laplace mask and fractional differential mask based on the 3×3 symmetric fractional differential masks is found out. The fractional differential mask is obtained using the weighted Laplace mask. Based on the relation between local mean and standard deviation, a new method of image enhancement is obtained by improving weighted Laplace mask. This method can execute filter according to the local imagefeature. It is called as the local feature based image enhancement of frac-tional differential. Compared with other image enhancement algorithms, the experiments show that the visual results of the way of the enhancement of fractional differential image based on the local feature are the best.【总页数】5页(P160-164)【作者】吴瑞芳;宣士斌;荆奇【作者单位】广西民族大学信息科学与工程学院，南宁 530006; 广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室，南宁530006;广西民族大学信息科学与工程学院，南宁 530006; 广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室，南宁 530006;广西民族大学信息科学与工程学院，南宁 530006; 广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室，南宁 530006【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.数字图像的Riemann-Liouville分数阶微分增强方法 [J], 牛为华;李宝树;梁贵书2.基于图像特征分块的分数阶微分图像增强算法 [J], 陈昌龙;孙克辉3.基于改进型分数阶微分的HIFU治疗区域增强方法 [J], 盛祎;丁亚军;钱盛友;胡强;颜佩;邹孝4.基于分数阶微分的流线增强方法 [J], 李宝强;范茵;李骞5.自适应分数阶微分小波图像增强方法的研究 [J], 李雅梅;任婷婷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

在我们熟悉的经典微积分里，导数都是整数阶的，我们说函数的一阶导数、二阶导数、十阶导数，而不会说函数的1/2阶导数或者阶导数；同样，对于积分，我们有一重积分、二重积分、或者五重积分等，但没有2/3重积分或者重积分等概念。

其实，早在1695年9月30日，法国数学家L ’Hospital 在给德国数学家Leibniz 的信件中就提出这样一个问题: 如果采用通常使用的导数记号那么当时，这个表达式的结果是什么？Leibniz 的回复是“an apparent paradox from which ，one day ，useful consequences will be drawn ”。

这大概就是分数阶导数概念最早的源头。

经过数学家与其它领域的专家300多年不懈的努力，分数阶微积分终于受到科技工作者越来越多的注意，并逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具[1-5]。

本文将对分数阶微积分作一简要介绍，主要回答什么是分数阶导数？为什么要引入分数阶导数与分数阶积分?它们有什么特点和应用?一 分数阶导数的定义与计算分数阶导数是一个泛称,表示阶数取非整数(不仅仅为分数)的导数,它既表示阶数大于零时对应的分数阶导数,在不需要强调积分特有性质时也可表示阶数小于零时对应的分数阶积分。

分数阶导数的定义有多种，最常用有Riemann-Liouville 导数和Caputo 导数。

在经典微积分里，我们可以定义求导运算和求积运算如下它们满足如下关系式这表明，求导运算是求积运算的左逆运算，且这两种运算一般说来不具有交换性。

进一步，对任何自然数有即求导运算是求积运算的左逆运算。

现在，对连续函数，反复应用分部积分法可得因此，对非正整数，我们可以定义分数阶积分进一步，对实数，记为不超过的最大整数，取，利用导数与积分的运算公式，非整数阶的Riemann-Liouville 导数定义为如果利用, 则得到非整数阶导数的Caputo 定义:由定义可知, 分数阶导数值与起始点的取值有关。

kelvin模型蠕变方程推导
Kelvin模型是一种经典的线性弹性模型，常用于描述聚合物蠕变行为。

蠕变是指材料在一定应力下，随着时间的推移产生的变形。

Kelvin模型中，材料被看作由一个弹簧和一个粘滞元素组成的串联结构。

弹簧代表材料的弹性，粘滞元素代表材料的粘性，两者共同作用使得材料在受到外力时呈现出蠕变行为。

根据Kelvin模型，材料的蠕变方程可以表示为：
ε(t) = σ/E + ησ/η0 * (1 - e^(-t/τ))
其中，ε(t)表示时间t内的应变，σ表示施加的应力，E表示材料的弹性模量，η表示材料的粘滞阻尼系数，η0表示材料的初始粘滞阻尼系数，τ表示材料的松弛时间。

该蠕变方程的含义是，随着时间的推移，材料的应变将由施加应力和其粘滞元素的贡献共同决定。

当时间趋于无穷大时，材料的应变将趋近于一个稳定值，这反映了材料的稳态蠕变行为。

Kelvin模型蠕变方程的推导，需要引入弹性与粘性的概念，并运用线性微积分和微积分方程的知识进行推导。

通过这种方法，我们可以深入理解材料的蠕变行为，为工程应用提供参考依据。

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基于分数阶导数下kelvin模型改进吴明颖【摘要】通过Riemann－Liouville分数阶导数分析经典Kelvin模型,利用蚁群优化算法,结合温度对冻土蠕变的影响,进而改进经典kelvin模型.根据采集及分析不同温度下的人工冻结砂土试验数据及结果发现改进后的Kelvin模型不仅可以较准确地描述冻土蠕变过程中温度、应变及时间的关系,也可以更精准地描述出蠕变过程的三个阶段(初始蠕变、匀速蠕变及加速蠕变),使理论公式与实际工程更加贴近,为实际工程中冻结施工过程提供更准确地理论基础.【期刊名称】《四川建材》【年(卷),期】2018(044)012【总页数】2页(P116-117)【关键词】kelvin模型;R－L分数阶导数;温度;蠕变【作者】吴明颖【作者单位】安徽理工大学土木建筑学院,安徽淮南 232001【正文语种】中文【中图分类】TU450 前言蠕变是冻土的重要性质之一，由其发展过程可将冻土蠕变分为：衰减蠕变及非衰减蠕变两类。

应力水平较低时应变率逐渐减小至零，为衰减蠕变；应力水平较高时，衰减蠕变应变率为常数后保持不变，随时间的发展，应变率逐渐增大及加速蠕变，这一总过程为非衰减蠕变。

目前研究土体蠕变特性的理论包括理论模型、遗传流变理论、老化理论、流动理论等，而结合实际问题，冻土的蠕变模型建立方法大致分为两类：一类是基于经典模型给出的某种土的实用形式和参数；另一类则是基于某种土的试验结果给出相应的拟合形式和参数。

但考虑到实际工程中冻土的复杂性，温度对冻土蠕变有较大影响。

本文采用蚁群算法优化分数阶导数Kelvin模型及冻结砂土在不同温度下试验样本，得到关于温度影响下分数阶导数Kelvin模型。

1 分数阶导数知识简介分数阶导数是研究任意阶导数的有效工具，其有较多种形式，本文取Riemann-Liouville分数阶微积分算子理论。

设α>0是任意正实数，n是大于α的最小正整数，即n-1<α<n，则Riemman-Liouville分数阶导数定义为：其中Gamma函数Γ(z)=e-ttz-1dt2 人工冻土基本性质试验2.1 试验仪器本文使用安徽理工大学自行研制的WDT-100冻土性能试验机。

基于分数阶微积分的Kelvin-Voigt流变模型郭佳奇;乔春生;徐冲;黄山秀【期刊名称】《中国铁道科学》【年(卷),期】2009(030)004【摘要】为研究岩土材料的应力、应变和时间的关系,基于分数阶微积分理论,定义含分数阶导数的力学元件(FC元件),推导FC元件的蠕变柔量和松弛模量.与牛顿体元件相比,FC元件能更好地反映流变问题的非线性渐变过程.借鉴经典元件组合模型的建模思路,用FC元件取代整数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型中的牛顿体元件,形成基于分数阶微积分的Kelvin-Voigt流变模型.应用离散化求Laplace逆变换的方法以及H-Fox函数,得出分数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型的本构方程、蠕变方程、松弛方程、蠕变柔量及松弛模量的解析表达式.采用整数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型、整数阶5参数开尔文流变模型和分数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型对试验数据拟合的结果表明,分数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型不但拟合精度高,能够克服整数阶微积分Kelvin-Voigt流变模型在蠕变初期及蠕变曲线拐点附近与试验数据不能很好吻合的弊端,而且能够在保证拟合精度的条件下,减少本构模型中的参数.【总页数】6页(P1-6)【作者】郭佳奇;乔春生;徐冲;黄山秀【作者单位】北京交通大学隧道与岩土工程研究所,北京100044;北京交通大学隧道与岩土工程研究所,北京100044;北京交通大学隧道与岩土工程研究所,北京100044;河南理工大学材料学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】TU470【相关文献】1.分数阶微积分流变模型在岩体结构加速流变破坏分析中的应用 [J], 黄耀英;郑宏2.基于分数阶微积分的岩石非定常蠕变本构模型 [J], 李娜;于晓要3.基于双含水率变量的分数阶微积分膨胀力计算模型 [J], 王鹏4.基于Kelvin-Voigt黏弹性骨架的含非饱和流体孔隙介质BISQ模型(英文) [J], 聂建新;巴晶;杨顶辉;晏信飞;袁振宇;乔海鹏5.基于Kelvin-Voigt模型的粘弹性波动力学的本征化理论 [J], 郭少华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于分数阶偏微分方程的图像放大模型高冉;顾聪;李胜宏【摘要】将分数阶微分理论引入图像放大模型中，利用全变分思想，提出了基于分数阶偏微分方程的图像放大模型。

仿真实验结果表明：新模型能较好地保持图像边缘特征，以及更多的图像纹理信息，优于整数阶微分方程放大算法，是一种有效、可行的图像放大模型。

%A new image zooming model based on the fractional‐order partial differential equation is proposed ,which adopts the idea of total variation .Simulation results show that the new model is capable of preserving the character‐istics of image edge ,and it can retain more texture details than the integer order partial differential equation model . The model is therefore effective and practical for image zooming .【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(043)005【总页数】4页(P550-553)【关键词】分数阶;偏微分方程;变分;图像放大【作者】高冉;顾聪;李胜宏【作者单位】中原工学院理学院，河南郑州450007;中原工学院理学院，河南郑州450007;浙江大学数学系，浙江杭州310027【正文语种】中文【中图分类】TP391近年来，国内外专家都热衷于研究图像处理中的偏微分方程模型，并将其广泛应用于图像的增强、重建、分割和放大[1-4].图像分辨率是衡量图像视觉效果的重要因素.一些特殊的领域(如医学、通讯、航天等)以及某些图像处理软件应用时，常常需要对获得的图像进行再处理(如对图像进行缩放或旋转)，旨在增加图像分辨率的同时保持高质量的图像视觉效果.对一幅图像进行放大是由低分辨率获得高分辨率图像的一种图像处理技术.通常理解为灰度级插值，仅针对图像的像素点进行处理，导致放大后的图像出现锯齿状条纹和块状效应，对带噪图像的放大效果更差；而基于偏微分方程(PDE)的图像放大方法可以有效抑制块状效应和噪声的影响[5-6].目前基于PDE的图像放大算法分为两类：直接法和间接法[7].本文采用的是间接法，即以传统的插值结果作为放大图像的初始值，应用PDE对其进行后处理，在Rudin, Osher, Fatemi(ROF)[8]和Lysaker, Lundervold, Tai(LLT)[9]模型的基础上，提出了整数阶的图像放大模型[10]：，为了解决图像模糊和细节特征丢失的问题，本文提出了一种基于分数阶PDE[11-13]的图像放大算法.分数阶微分具有大幅提升图像高频成分、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性，更多地保留了图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息，使得放大后的图像清晰，能够较好地保持原图像的边缘特征.分数阶导数是整数阶导数的推广和延伸，虽然分数阶导数已广泛应用于物理、化学、生物、流体等领域，且在图像处理领域也取得了初步研究成果，但其定义并不统一.主要有3种经典的定义，包括Riemann-Liouville(R-L)、Capotu和Grumwald-Letnikov(G-L).本模型基于G-L分数阶导数定义[14]：固定p，则=0，因此，取h=1时，G-L型分数阶导数可以用有限项(取前K项)的分数阶差分近似表示：将上述定义推广到二维情形，可得u(x,y)的分数阶偏导数定义：,).先利用线性插值处理图像，将图像放大到所需倍数，然后应用分数阶PDE技术对插值放大后的图像进行后处理，实现图像放大的目的.首先给出本模型的能量泛函式：利用变分法推得的该泛函欧拉-拉格朗日方程如下：利用梯度下降法得到相应的扩散方程：第1步假设初始图像矩阵为m×n的T0，首先将T0通过采样缩小k(k为正整数)倍得到T′，将T′赋给T，然后对T进行线性插值(本文采用3次立方插值),得到放大k倍后的矩阵u0；第2步利用式(10)对u0进行修正，找到一个u，既保持图像原有的特性，又保持了图像灰度级之间的连续性.对式(10)进行离散，时间步长为Δt，得到离散化求解中用到的参数，在实验中按如下方式选取：式(11)中λ=0.5，h=1，Δt=0.05，p=1.7，迭代40次.为了测试本文算法的有效性，把256×256的Lena 图像先采样缩小2倍，然后再放大.由效果图图1可见，基于分数阶偏微分方程的图像放大算法，对图像进行放大时都有较好的效果，保留了图像的原有特征.为了进一步说明基于分数阶偏微分程和基于4阶整数阶偏微分方程的图像放大算法的区别，分别对描绘原始图像、分数阶放大后图像及4阶方程放大后图像的150行所有列的灰度曲线分布进行比较，如图2所示.从图2(b)和(c)可看出分别基于整数阶和分数阶的图像放大算法的差异:使用整数阶模型放大时，虽然获得了较好的整体效果，但由于过度平滑，使得边缘模糊，细节部分不够清晰；而分数阶偏微分方程插值模型较忠实地反映了图像的原始面貌，保留了边缘的锐度和纹理特性.数值实验表明，本文提出的基于分数阶偏微分方程的图像放大算法，较好地保留了图像的边缘特征和细节信息，获得清晰的放大图像，并且运算时间短于整数阶偏微方程，是一种有效、可行的图像放大算法.但本文仅尝试使用了最简单的分数阶微分，如何确定更佳的微分阶数以便得到更好的放大效果有待进一步研究.。

分数阶微积分的一种物理解释和定域长分数阶微积分张旭秀;邱天爽;盛虎【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2013(041)003【摘要】In this paper the order-range applied by fractional calculus R-L definition,G-L definition and Caputo definition a-long with the connections between above three definitions are discussed.The differences of fractional-order derivatives and integer-order derivatives are pointed out. An uniform formula of fractional-order integrals and derivatives along with a physical interpretation of fractional calculus are given. The definition of fractional calculus with constant extent of integral and its direct numerical value arithmetic are put forward,and its application is anticipated.%本文讨论了现有的三种分数阶微积分基本定义(R-L(Riemann-Liouville)定义、G-L(Grumwald-Letnkov)定义和Caputo定义)对阶数的适用范围,以及三者之间的关系；强调指出分数阶导数与整数阶导数之间的区别.通过对分数阶微积分一个统一公式的讨论,以及给出分数阶微积分一个简单的物理解释,加深对分数阶微积分本质的认识；提出定域长分数阶微积分定义,给出它的直接数值算法,预期它可能在实践中得到应用.【总页数】5页(P508-512)【作者】张旭秀;邱天爽;盛虎【作者单位】大连交通大学电气信息学院,辽宁大连116028;大连理工大学电子信息与电气工程学部,辽宁大连116024;大连理工大学电子信息与电气工程学部,辽宁大连116024;大连交通大学电气信息学院,辽宁大连116028【正文语种】中文【中图分类】TP14【相关文献】1.一种分数阶微积分算子的有理函数逼近阶数最小化方法 [J], 张旭秀;李卫东;盛虎;丁鸣艳2.一种分数阶微积分算子的有理函数逼近方法 [J], 李文;赵慧敏3.基于非定常分数阶微积分的岩石蠕变模型研究 [J], 王豫宛;王伟;周倩瑶;梅胜尧4.面向小波域的加权分数阶微积分图像数字水印新算法 [J], 刘磊;苗启广;石程5.基于分数阶微积分的岩石非定常蠕变本构模型 [J], 李娜;于晓要因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。