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分数阶微积分

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Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程

Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程

Matlab中的分数阶微积分与分数阶微分方程在数学领域中，微积分和微分方程是基础且广泛应用的概念。

而随着科学技术的不断发展，分数阶微积分和分数阶微分方程也逐渐引起了人们的关注。

Matlab作为一个功能强大的计算工具，可以方便地进行分数阶微积分与分数阶微分方程的研究和计算。

一、分数阶微积分传统的微积分是指整数阶的微分和积分运算，而分数阶微积分则是对于非整数阶的微分和积分运算的研究。

与整数阶微分相比，分数阶微分具有非局部性和非线性等特点。

在Matlab中，有多种方法可以实现分数阶微积分的计算。

其中之一是使用分数阶积分算子进行计算，该算子可以通过Matlab的Symbolic Math Toolbox进行定义和操作。

另一种方法是使用分数阶微分和积分的数值逼近方法，例如Riemann-Liouville和Caputo等方法。

这些方法的选择取决于具体问题的要求和计算的精度。

二、分数阶微分方程分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的方程。

与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域和更复杂的数学性质。

解析求解分数阶微分方程往往困难，因此数值方法成为研究和求解的重要手段。

在Matlab中，可以使用多种数值方法求解分数阶微分方程。

例如，可以使用分步法（如Euler方法和Runge-Kutta方法）进行数值求解，也可以使用有限差分法和有限元法等传统的数值方法进行近似计算。

此外，还可以使用Matlab的Fractional Calculus Toolbox等工具箱进行计算和分析。

分数阶微分方程的求解不仅仅包括初值问题，还包括边值问题和参数估计问题。

初值问题是指在一定的初始条件下，求解微分方程的解；边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程的解；参数估计问题是指在给定部分信息的情况下，估计微分方程中的未知参数。

对于不同类型的问题，需要选择合适的数值方法和工具进行求解。

三、应用案例分数阶微积分与分数阶微分方程在许多领域都具有广泛的应用。

分数阶微积分及其应用

分数阶微积分及其应用

分数阶微积分及其应用分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，在过去的几十年中，其应用在物理、工程、生物、经济等多个领域取得了显著的进展。

在分数阶微积分中，函数的导数和积分的阶数可以是非整数，这使得分数阶微积分能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。

分数阶微积分的基本概念包括幂级数、勒让德符号等。

幂级数是一种用无穷级数表示函数的方法，通过幂级数，我们可以将一个函数表示成无限多个因子的乘积。

而勒让德符号则是一种表示分数阶导数和积分的符号，它能够简洁地描述分数阶微积分中的运算。

分数阶微积分在实际生活中的应用非常广泛。

例如，在信用卡计息中，分数阶微积分可以描述复利计息的规律，更好地拟合实际数据。

在股票投资中，分数阶微积分可以用于描述股票价格的动态变化，从而帮助投资者更好地预测股票价格的走势。

此外，分数阶微积分在科学研究和工程实践中也有广泛的应用，例如在电磁学、流体动力学、控制理论等领域都有重要的应用。

学习分数阶微积分需要掌握一些基本的技巧。

首先，需要熟悉函数的导数和不定积分的概念，这是学习分数阶微积分的基础。

其次，需要学会使用幂级数和勒让德符号进行运算，这可以帮助我们更准确地描述复杂的函数。

最后，需要掌握分数阶微积分的算法和计算方法，例如通过数值方法和软件包进行分数阶微积分的计算。

总之，分数阶微积分是一种具有重要应用价值的数学工具，它能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。

随着科学技术的不断发展，分数阶微积分的应用前景将更加广阔。

未来，分数阶微积分的研究和应用可能会涉及更多的领域，例如、大数据分析、化学反应动力学等。

随着分数阶微积分理论的不断完善，其应用也将越来越成熟和广泛。

因此，我们应该积极学习和掌握分数阶微积分这一重要的数学技能，为未来的科学研究和工程实践打下坚实的基础。

引言分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，它允许我们处理具有非整数阶导数的函数。

在过去的几十年里，分数阶微积分在物理学、工程学、生物学等许多领域发现了广泛的应用。

分数阶微积分的产生及演变

分数阶微积分的产生及演变

四 Caputo分数阶微积分
五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。

数学物理学中的分数阶微积分

数学物理学中的分数阶微积分

数学物理学中的分数阶微积分分数阶微积分是数学物理学中的一个重要分支，它在描述动力学系统、复杂网络、信号处理等领域具有广泛的应用。

相比于传统的整数阶微积分，分数阶微积分更适用于揭示非局域性、非马尔可夫性以及非线性特征等复杂现象。

本文将介绍分数阶微积分的基本概念和应用，并探讨其在数学物理学中的重要性。

一、分数阶微积分的基本概念分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了分数阶导数和分数阶积分。

分数阶导数可以理解为连续导数的分数次幂，而分数阶积分则是对函数进行分数次积分。

分数阶微积分的基本概念源自于Riemann-Liouville和Caputo定义，这两种定义在具体应用中有不同的适用范围和数学性质。

Riemann-Liouville定义适用于初始条件为连续的情况，而Caputo定义适用于初始条件为非连续的情况。

二、分数阶微积分的应用领域1. 动力学系统：分数阶微积分在描述动力学系统中的复杂行为方面有着重要的应用。

通过引入分数阶导数，可以更准确地描述系统的长时记忆效应和非局域性以及其对系统稳定性的影响。

2. 复杂网络：复杂网络中的节点和边往往具有非线性和非局域的特性，传统的整数阶微积分无法很好地描述网络的演化行为。

而分数阶微积分可以刻画网络的非局域耦合和长尾分布等特性，从而更好地理解和研究复杂网络的性质和动力学行为。

3. 信号处理：在信号处理领域，分数阶微积分可以用于对非平稳信号进行精确建模和分析。

通过引入分数阶导数，可以捕捉到信号的长记忆性、非马尔可夫性以及多尺度特性，从而提高信号处理的效果。

三、分数阶微积分的重要性分数阶微积分在数学物理学研究中具有重要的地位和作用。

首先，它能够更好地刻画和解释自然界和人工系统中的复杂现象，能够提供更精确和准确的描述。

其次，分数阶微积分能够揭示传统整数阶微积分无法涵盖的非局域性、非线性特性等重要特征，从而推动了相关领域的研究和应用发展。

此外，分数阶微积分的理论和方法也为其他学科领域的研究提供了新的思路和工具。

分数阶微积分

分数阶微积分

分数阶微积分2.1引言一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。

虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald-Letnikov定义，Caputo定义，Riemann-Liouville定义[64]。

2.2分数阶微积分的定义（1）Grünwald-Letnikov分数阶微分定义若函数在区间存在阶连续导数，当时，至少取到，则其次数为的分数阶微分定义为：（2.1）其中，表示阶次，为采样步长，表示初始时间，表示取整，是多项式系数，，我们可以用以下递推公式直接求出该系数：（2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：（2.3）其中，为欧拉gamma函数，，当，上述定义也称为Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义。

若：，，则微分算子满足式（2.4）：（2.4）（2）Riemann-Liouville分数阶微分定义对于，有（2.5）其中，当，上述定义也称为Riemann-Liouville分数阶微积分定义。

通常情况下，为了方便使用Riemann-Liouville分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设表示的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换后的结果如下：（2.6）在零初始条件下，上式的结果变为：（2.7）进一步由式（2.7）得到阶微积分算子的传递函数表示为：（2.8）（3）Caputo分数阶微分定义在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的，所以，在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分，这正是分数阶Riemann-Liouville微分定义的不足。

分数阶微积分方程的一种数值解法

分数阶微积分方程的一种数值解法

有限元法：适 用于求解复杂 的几何形状和
边界条件
谱方法：适用 于求解高维问 题和高阶微分
方程
迭代法：适用 于求解非线性
问题
算法优化策略
减少计算量： 采用高效的算 法和数值方法， 降低计算复杂
度
提高精度：采 用高阶数值方 法，减小误差， 提高解的精度
加速收敛：采 用加速收敛技 术，如松弛法、 预处理共轭梯 度法等，加快 迭代收敛速度
误差传播：误差在计算过程中 的积累和传播
误差估计：对数值解的精度进 行评估和预测
误差控制：采用适当的算法和 技术减小误差，提高数值解的 精度
05 数值解法的应用实例
实际问题建模
描述实际问题，建立数学模型 确定模型参数和变量 利用数值解法求解模型 分析结果，给出实际解决方案
数值模拟结果
展示了数值解法的实际效果 和精度
稳定性优化： 采用稳定性好 的算法和数值 方法，提高解
的稳定性
并行计算的应用
分数阶微积分方程数值解法的并行计算框架 并行计算在提高数值解法效率方面的优势 并行计算在优化数值解法精度方面的作用 并行计算在处理大规模分数阶微积分方程时的表现
误差分析
数值解法的误差来源：离散化 误差、舍入误差和截断误差
有限差分法
定义：有限差 分法是一种数 值求解偏微分 方程的方法， 通过将微分转 化为差分来近
似求解。
原理：基于泰 勒级数展开， 将微分算子近 似为离散的差 分算子，从而 将微分方程转 化为差分方程。
适用范围：适 用于规则区域， 如矩形、立方 体等，对于不 规则区域需要 进行适当的网
格划分。
优点：计算简 单、易于编程 实现、适合大
应用领域：广泛用于工程领域中的 各种微分方程的数值求解问题，如 结构分析、流体动力学、热传导等

riemann-liouvile}型分数阶微积分

Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。

本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。

一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。

它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。

1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。

这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。

二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。

2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。

分数阶微积分的定义

分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。

首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：[()/]()lim ()t a h at i h i D f t hf t ih αααω--→==-∑（2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭是多项式系数，(1)(2)(1)=!i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，我们可以用以下递推公式直接求出该系数：01+11,1,1,2,...,i i i n i ααααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭（2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：0,0()lim ()()()1()()(1)(1)a t h nh t ai i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i αααααξξξαα-→=--+-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。

若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：（2.4）（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有11()()()()m ta t mm a d f D f t d m dt t ααττατ-+=Γ--⎰（2.5）其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。

分数阶微积分简介(大三下)


1
d2x
1
dx 2
21 x2.
以上结果是如何得到的？为弄清这个问题，我们 首先要了解Gamma函数
(n 1) n! xnexdx , n N. 0
将Gamma函数推广到 n 取正实数的情况
( ) x 1exdx, 0 0
有
( 1) ().
其次，我们再回顾一下变上限函数求导公式
(m ) dtm 0
其中 0, m 表示不小于 的最小整数。
引入分数阶导数的定义后，整数阶导数 就成为分数阶导数的特殊情况.
我们自然希望：在分数阶导数定义中
取整数时，已有整数阶导数的结论依然 成立.
我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。 函数 f (t) 的Laplace变换
Jtn f (t)
1 (n 1)!
t (t x)n1 f (x)dx
0
1 t (t x)n1 f (x)dx (n) 0
我们已经推广了Gamma函数，自然地，上面的整 数次积分能否推广到分数次？答案是肯定的。
Riemann-Liouville分数次积分
定义函数 f (t)的 次积分如下
3. 杨金忠等.多孔介质中水分及溶质运移的随机理论.北京:科 学出版社, 2000.
4.常福宣等.考虑时空相关的分数阶对流—弥散方程及其解. 水动力学研究与进展, 2005,20(3)。
16世纪前后200年的时间，常量数学基本完成，也是变 量数学的酝酿时期，微分法和积分法已有雏形。
17世纪前后半期，Newton和Leibniz在前一时期数学成 就的基础上各自独立建立微分运算和积分运算，并建 立二者之间的联系，揭开了数学历史的新篇章。
18世纪是微积分的基础讨论和研究时期。

分数阶耦合解

分数阶耦合解（一）分数阶微积分1. 定义- 分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广。

传统的微积分主要涉及一阶（导数表示变化率）和二阶（例如在物理中与加速度相关）等整数阶的运算。

而分数阶微积分中，导数和积分的阶数可以是任意实数（分数形式）。

- 例如，对于函数y = f(x)，其α阶分数阶导数（0<α<1时）的定义有多种形式，如Riemann - Liouville定义：D^αf(x)=(1)/(Gamma(1 - α))(d)/(dx)∫_{a}^x(f(t))/((x - t)^α)dt，其中Gamma是伽马函数。

2. 意义- 在实际应用中，分数阶微积分可以更好地描述具有记忆和遗传性质的物理过程。

比如在材料的粘弹性研究中，分数阶导数模型能够更准确地刻画材料在应力和应变下的行为，因为材料的当前状态往往与其过去的历史状态有关，而分数阶微积分可以将这种历史记忆效应包含在模型中。

（二）耦合1. 定义- 在数学和物理学等领域，耦合是指两个或多个系统之间相互作用、相互影响的关系。

例如，在一个由多个振子组成的系统中，如果振子之间存在力的相互作用，使得一个振子的运动状态会影响到其他振子的运动状态，这种系统就是耦合系统。

- 从方程的角度看，对于两个变量x和y，如果它们满足方程组cases((dx)/(dt)=f(x,y)(dy)/(dt)=g(x,y))，这里x和y的变化率不仅取决于自身，还取决于对方，这就是一种耦合关系。

2. 类型- 线性耦合：如果耦合项在方程中是线性形式。

例如在方程组cases((dx)/(dt)=ax + by(dy)/(dt)=cx+dy)中，b和c表示线性耦合系数。

- 非线性耦合：当耦合项是非线性形式时。

如cases((dx)/(dt)=x^2+xy(dy)/(dt)=y^3-x^2y)，这里的xy和x^2y等项体现了非线性耦合。

二、分数阶耦合方程的求解方法（一）解析方法1. 级数解法- 对于一些简单的分数阶耦合方程，可以尝试使用级数展开的方法求解。

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Fractional Calculus
. .
Fractional Calculus
2014 年 4 月 19 日 1
Fractional Calculus
. 1.1The Basic Idea
. Theorem . 1.A(Fundamental Theorem of Classical Calculus) Let f : [a, b] → R be a continuous function,and let F : [a, b] → R be defined by ∫ x F (x) := f (t)dt.
a −∞
where ϕ1 (u) = and
{
un−1 for0 < u ≤ b − a, 0 { else, f (u) fora ≤ x ≤ b, 0 else.
ϕ2 (u) =
By consideration,ϕj ∈ L1 (R) for j ∈ {1, 2}.and thus by a classical result on Lebesgue integration the desired result follows. . 14
. Lemma . 1.2. Let m, n ∈ N,such that m > n,and let f be a function having a continuous nth derivatives on the interval [a, b].Then, .
m−n D n f = D m Ja f.
n f itself is almost everywhere x ∈ [a, b].Moreover,the function Ja
also an element of L1 [a, b]. .
13
Fractional Calculus . Proof. . We write the integral in questions as ∫ x ∫ +∞ n− 1 (x − t) f (t)dt = ϕ1 (x − t)ϕ2 (t)dt
a
Then,F is differentiable and . F ′ = f.
2
Fractional Calculus . Definition . 1.1. (a) By D,we denote the operator that maps a differentiable function onto its derivatives,i.e. Df (x) := f ′ (x). (b) By Ja ,we denote the operator that maps a function f ,assumed to be(Riemann) integrable on the compact interval [a, b],onto its primitive centered at a,i.e. ∫ Ja f (x) :=
a x
f (t)dt
for a ≤ x ≤ b. .
3
Fractional Calculus
. Definition . n to denote the n-fold (c) For n ∈ N we use the symbols Dn and Ja
1 := J , iterates of D and Ja , respectively,i.e. we set D1 := D, Ja a n := J J n−1 for n ≥ 2. and Dn = DDn−1 and Ja a a .
(n−1)
(x) = f
(n−1)
∫ (a) +
a
x
g (t)dt.
In this case we call g the (generalized) nth derivative of f,and we simply write g = f (n) . .
11
Fractional Calculus
m n Ja Ja ϕ(x)
1 = Γ(m)Γ(n)
∫
a
x
∫ ϕ(τ )
0
1
[(x − τ )(1 − s)]m−1
×[s(x − τ )]n−1 (x − τ )dsdτ . 16
Fractional Calculus . Proof. . 1 = Γ(m)Γ(n) ∫
a x
ϕ(x)(x − τ )
7
Fractional Calculus
. Definition . 1.3. Let 0 < µ < 1, k ∈ N and 1 ≤ p. Lp [a, b] := {f : [a, b] → R; f is measurable on [a, b] and L∞ [a, b] := {f : [a, b] → R; f is measurable and essentially bounded on[a, b]}, Hµ [a, b] := {f : [a, b] → R; ∃c > 0∀x, y ∈ [a, b] : |f (x) − f (y )| ≤ c|x − y |µ }, . ∫b
m+n−1
∫
0
1
(1 − s)m−1 sn−1 dsdτ
In view of the Theorem D.6, ∫1 m−1 sn−1 ds = Γ(m)Γ(n)/Γ(n + m), and thus 0 (1 − s) ∫ x 1 m n m+n Ja Ja ϕ(x) = ϕ(τ )(x − τ )m+n−1 dτ = Ja ϕ(x). Γ(m + n) a almost everywhere on [a, b]. Moreover,by the classical theorems on parameter integrals,if
a
|f (x)|p dt < ∞},
8
Fractional Calculus
. Definition . C k [a, b] := {f : [a, b] → R; f has a continuous kth derivative}, C [a, b] := C 0 [a, b], H0 [a, b] := C [a, b]. .
4
Fractional Calculus . Lemma . 1.1. Let f be Riemann integrable on [a, b].Then, for a ≤ x ≤ b and n ∈ N,we have .
n Ja f (x) =
1 (n − 1)!
∫
a
x
(x − t)n−1 f (t)dt.
m n Ja Ja ϕ(x)
1 = Γ(m)Γ(n)
∫
a
x
(x − t)
m−1
∫
a
t
(t − τ )n−1 ϕ(τ )dτ dt.
. 15
Fractional Calculus . Proof. . In view of Theorem 2.1,the integrals exist,and by Fubini’s theorem we may interchange the order of integration,obtaining ∫ x∫ x 1 m n Ja Ja ϕ(x) = (x − t)m−1 (t − τ )n−1 ϕ(τ )dtdτ Γ(m)Γ(n) a τ ∫ x ∫ x 1 = ϕ(τ ) (x − t)m−1 (t − τ )n−1 dtdτ. Γ(m)Γ(n) a τ The substitution t = τ + s(x − τ ) yields
10
Fractional Calculus
. Definition . 1.5. By An or An [a, b] we denote the set of functions with an absolutely continuous (n − 1)st derivative,i.e. the functions f for which there exists(almost everywhere) a function g ∈ L1 [a, b] such that f
5
Fractional Calculus . proof of lemma 1.2. . n f = f ,we have f = D m−n J m−n f. Applying the operator By Dn Ja a Dn to both sides of this relation and using the fact that Dn Dm−n = Dm ,the statement follows. . . Definition . 1.2 The function Γ : (0, ∞) → R, defined by ∫ ∞ Γ(x) := tx−1 e−t dt,
Fractional Calculus . Theorem . 2.2 Let m, n ≥ 0 and ϕ ∈ L1 [a, b].Then
m n m+n Ja Ja ϕ = Ja ϕ
holds almost everywhere on [a, b].If additionally ϕ ∈ C [a, b] or m . + n ≥ 1, the identity holds everywhere on [a, b]. . Proof. . We have
9
Fractional Calculus . Definition . 1.4 By H ∗ or H ∗ [a, b] we denote the set of functions f : [a, b] → R with the property that there exists some L > 0 such that |f (x + h) − f (x)| ≤ L|h|ln|h|−1 where |h| ≤ 1/2 and x, x + h ∈ [a, b]. . . Theorem . 1.B(Fundamental Theorem in Lebesgue Space) Let f ∈ L1 [a, b].Then,Ja f is differentiable almost everywhere in [a, b],and DJa f = f also holds almost everywhere oalled Euler’s function or Euler’s integral of the second kind.