二次型
2007-029-8
设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9
已知二次曲面方程为222123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）求正交变换把该二次
曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=8111181111811118A (1)求二次型⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;
(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。
2007-001（A ）-1
化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.
2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型3132212
322
21321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都是1，则a = .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。
2007-031-6
设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.
2007-031-9
用正交线性替换将二次型
32212
322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=
化为标准型.
2007-032-1（3）（判断题）
两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
2007-032-6
设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。
2007-032-7
设12,,
,n ααα是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的
Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。
2007-033-3
给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。
2007-034-4
设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且
1()()n n A I B I B -=+-。
2007-034-6
设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。证明A B +的行列式
det()0A B +>。
2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）
设320222021A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。
2007-035-2（20）（计算与证明题）
设A B B D ⎛⎫ ⎪'⎝⎭
为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ⨯矩阵。证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。
2007-035-2（22）（计算与证明题）
设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。
2007-036-4
设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在
30X ≠，使得3()0f X =。
2007-019-4
证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。
2007-037-7
设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。
2007-037-11
（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：
222123412
4121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++ （2）t 取什么值时，二次型
222
123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++
为正定的？
2007-038-3
用正交化二次型222
12312
3121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。并写出所作
