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一元三次方程的求根公式及其推导

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一元三次方程的求根公式及其推导
有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323•••xFxFpqFF
xFxFpqFF
xFxFpqFF
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x

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xFxFxFp
qpxx
xFqpxxxFqpxxxF
qpxx
DAABCBBAxABACBAx
DABCABABxABCABxA
DCxBxAx





2
3323
32
3232
3
32
3

2

3
32
3

1

32
2

32
1

3232

3
233

33

3
33

33
33

3
333
333333

332
332
332
3232

12811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.pqqpqqxpqpqpqqaBpqqaABApqqapqqapqpqpqaaBAqBApBAqBApABqBApABqpxxBAABxxABxBABAABBABAxBAxBABABAxqpxxpqqpxxpqqpxxpqpqpqpqpqp
式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式
顺序，则有，如果不考虑
。则有
，若判别式
的两根。为一元二次方程，易知，
。，即可令
，对比
。即有
，故
，由于
。，就是设法求出
下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为
了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以
得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公
实根式的推导：）（
求根公式的推导：
有三个实数根。时，方程
有两个实数根。时，方程
有唯一实数根。时，方程
，则有以下结论：。令一定有

时，，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设
3


12,1,02329arccos31cos33201281132902,1,02329arccos31cos3322329arccos31cos323arccoscos3293cos9323329323323403cos3401)()(10)210(323arccoscos323cos)23cos(3cos03cos34cos3cos,cos3cos43cos3233333333••kikkppqpxpqppqpkkppqpAXxkppqkXppqBqppBpAppBpABpABAxxBqXBpAXBABqBAXpBAXBqBAxXqpxxkkkxkxxxi，，

式：三个实数根时的求根公因此，得到方程有二或
个实数根时上式成立。也正是当方程有二或三
！，解得上式成立的条件为
，
，因此，
，则
），，取第二组也未尝不可不妨取第一组解（当然
。或，得可令
，对比
。即
，则上述方程可化为
，，使得，另设有非零实数可令
，对于方程
。，，，，故由于
。
程，则上述等式可化为方看作未知量看作已知量，若将
余弦三倍角公式：
角公式。
弦三倍究之初，我选择的是余次方程的求根公式。研变换，从而得到一元三
作线性可由角函数三倍角公式很大的相似性，故我们公式与一元三次方程有
三倍角根路径。考虑到角函数时，我们需另辟一条求当方程有二或三实数根












4














实数根求根公式：
，判别式：求根公式，结果如下：方程一般式的判别式和则可得到一元三次，，设的形式，故可均可化为方程由于对任一个一元三次求根公式的推广公式：的值代回，即可得卡丹，将的虚立方根。为，其中，。，即，故判别式为的两个根。为方程，易知，。代回上式，得：将，由韦达定理可知，的形式。，则方程可化为设方程的一根为由前面的论证可知，若卡丹公式的推导。时，作进一步研究可知，2223233324232332333233233323322332332123122222222232223232133321133221321333132312125481,27323930279233930:.31281121086128112108612811210861281121086128112108611281121086112312312323123123233BA34BA0)(300)(3:.20CBADBACABCDADADAABCBqABACpBAxtDAABCBBAxABACBAxDCxBxAxpqqpqqBAxpqqpqqBAxpqqpqqBAxBABABiAiBAiBAtxBABiAiBAiBAtxBAiBAtBAiBABABABAtBAtxxBABAxxBAxxBAxBAxxxABxxxxxxxxxBAABxxBAxxx









































5



程求根公式的推导。至此，完成一元三次方
卡丹公式：
，，时，时，ABBABCDAABABCDAAxABBABCDAABABCDAAxABBABCDAABABCDAAxkikABkACBBACBABCDAACBAxABBABCDAABABCDAAxi3128361086128361086312836108612836108631283610861128361086112,1,0323262927arccos31cos3320312836108611283610861033233233233233233223322332332








后记：
对于一元三次方程的研究，先人们历经了漫长的探索之路。我对此
类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知30°角的角函数值，
利用三倍角公式来反求10°角的角函数值），大约开始于2006年10月
份。但最终的结果证明了这样一个事实：对于这样一类整数角，如果不
可以表示为α=3n（n为整数）的形式，是不可能用有限个代数式来表示
其角函数值的。这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。
卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著
作《大术》上的，后人为了纪念他对这一成果的公布，称之为卡丹公式。
上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者给予
点评。

2009年11月25日

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一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法特殊型，标准型，其它方法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3，pX，q=0 (p、q?R)判别式Δ=(q/2)^2，(p/3)^3卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)，(Y2)^(1/3)X2= (Y1)^(1/3)ω，(Y2)^(1/3)ω^2X3=(Y1)^(1/3)ω^2，(Y2)^(1/3)ω其中ω=(,1，i3^(1/2))/2Y(1,2)=,(q/2)?((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2)标准型一元三次方程aX ^3，bX ^2，cX，d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)令X=Y—b/(3a)代入上式可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3，pY，q=0 卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下: 1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用(对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。

2.一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z—p/3z，代入并化简，得:z^3-p/27z+q=0。

再令z=w，代入，得:w^2+p/27w+q=0(这实际上是关于w的二次方程。

解出w，再顺次解出z，x。

3.导数求解法利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。

一元三次方程求根

一元三次方程求根

[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。

卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。

卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

解一元三次方程的其他方法[编辑本段]解一元三次方程的其他方法除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。

2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。

再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。

解出w，再顺次解出z，x。

3.盛金公式法三次方程应用广泛。

一元三次方程的求根公式

一元三次方程的求根公式

一、一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道任何一个实系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0,~a \neq 0通过配方可以得到 \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}，根据判别式 \Delta=b^2-4ac的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\\Delta>0时方程有 2个不同的实根，\Delta=0时有 1个二重实根，\Delta<0时有是 1对共轭虚根 \Delta<0；计算重数的情况下都是 2个根。

记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\由根的表达式可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}以及两根之积 x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2.求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\注：如果 x_1,~x_2是共轭虚根，x_1-x_2就是纯虚数，对负数 \left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2}.几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a}. 如果 x_1,~x_2都是实根，则 d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p}是根到平均值的距离。

一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。

这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。

南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。

（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。

可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。

医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。

当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。

尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。

可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。

卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。

他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法。

证法很难，我把它叙述如下。

"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。

塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。

按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。

于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。