最新届步步高大一轮复习讲义二29汇总

2014届步步高大一轮复习讲义二29 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 §2.9 函数的应用

2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值． 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合． 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 1． 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)

反比例函数模型 f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) (2)三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax2. 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：

[难点正本 疑点清源] 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．

1． 某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________． 答案 78℃ 解析 T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．

2． 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案 2 500

解析 L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000

＝－120Q2＋30Q－2 000 ＝－120(Q－300)2＋2 500 当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元． 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 3． (2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：

太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( ) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 答案 D

解析 ∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，

∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600. ∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．

4． 某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是 ( ) A．x>22% B．x<22% C．x＝22% D．x的大小由第一年的产量确定 答案 B 解析 设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，

∴x＝20%. 5． 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( ) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 答案 A

解析 由题意得，y1＝k1x，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别

是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝45，y1＋y2＝20x＋45x≥220x·45x＝8，当且仅当20x精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 ＝45x，即x＝5时取等号，故选A.

题型一 二次函数模型 例精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表

示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值．

解 (1)每吨平均成本为yx(万元)． 则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32， 当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号． ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000

＝－x25＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．

某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (0生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 答案 C 解析 设利润为f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2) ＝0.1x2＋5x－3 000 (0*)．

令f(x)≥0，得x≥150， ∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)． (1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式； (2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32) 思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．

解 (1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，