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二次函数图像的变化

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课题：一元二次函数的系数对其图像的影响
第二章 函数 §4二次函数性质的再研究 4.1二次函数的图像
教学目标

1. 让学生从数学的角度观察现实生活中的一些常见图片，让学生体会数学就在
我们身边，拉近数学与生活的距离.
2. 让学生学会系数为变量时图象的变化规律、掌握含参变量的一元二次不等式
恒成立问题的解决方法.
3. 让学生自己做数学，通过合作学习提高学习效率，培养学生的合作精神和团
队精神；提高运用控制变量和数形结合等思想解决问题的能力.
4. 通过多媒体课件展示静态的数和动态的形，让学生感受数学的内在美，从而
激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点
重点：一元二次函数系数对其图像的影响.
难点：分析一元二次函数系数对其图像的影响，解决一元二次不等式恒成立问题
中的参数取值范围问题.

教学用具
几何画板、ppt课件

教学用时
15分钟
教学方法
引导探究 合作交流

设计思想
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以建构主义理论为本节课的设计的主导思想，深入挖掘教材，不断开发、组
合、加工教材.确立明确的教学目标，在分析学情、钻研教材、整合资源的基础
上，针对二次函数性质再研究的内容进行知识拓展，重点研究一元二次函数系数
对其图像的影响.基于此，本节课共设计了四个活动：活动一是“看一看 说一说”
让学生用数学的眼光欣赏生活中的图片，激发学生的学习兴趣；活动二是“想一
想 议一议”通过合作学习提高学习效率，培养学生的合作精神和团队精神；活
动三是“想一想 做一做”让学生通过新知应用，加深理解；活动四是“理一理 查
一查”让学生对本节课从知识和方法两方面梳理再次巩固所学，课后作业让学生
提高应用、拓宽知识面.整个教学过程以学生为主，注重提高学生的数学思维能
力.

教学过程
活动一 看一看 说一说
时间: 2分钟
过程:
1.教师用课件展示日常生活中常见的一些含有抛物线的美丽图片，并提示让
学生用数学的眼光去看这些图片.

2.在图片欣赏结束之后，教师提问：从数学的角度去看这些图片它们有哪些
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共同之处呢？
期待结果：以上四张图片中我们都可以看到抛物线形状.
3.教师引导学生回顾抛物线是一元二次函数cbxaxy2的图像.在一元
二次函数的解析式cbxaxy2中有三个参数a，b，c．那么参数a，b，
c
发生变化时一元二次函数的图像究竟有怎样的变化呢？这就是我们这节课要

学习的主要内容，一元二次函数的系数对其图像的影响.（引出课题并板书）

活动二 想一想 议一议
时间: 6分钟
过程:
1 . 组内交流 探究问题
每三人一小组，讨论完成下面的任务单.（课前分好组）
任务1：判断当参数发生变化时一元二次函数的图像特征是否发生变化：（请在
空格处填“变”或“不变”）

图像特征 变化参数 开口方向 a 顶点坐标 )44,2(2abacab 对称轴
abx2


a
变 变 变

b
不变 变 变

c
不变 变 不变

任务2：依据上表的结论回答下列三个问题：
(1) 当一元二次函数中二次项系数含有参数时函数图像会怎样变化？
(2) 当一元二次函数中一次项系数含有参数时函数图像会怎样变化？
(3) 当一元二次函数中常数项含有参数时函数图像会怎样变化？
2. 互相交流 分享成果
通过完成上面的任务表各小组之间交流自己的结论，并选出一名代表汇报讨论
结果.
期待结论：
（1） 当一元二次函数中二次项系数含有参数时函数图像会上下翻转、左右移
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动、上下移动.
（2） 当一元二次函数中一次项系数含有参数时函数图像会左右移动、上下移
动.
（3） 当一元二次函数中常数含有参数时函数图像只会上下移动.
通过合作交流一起分享了一元二次函数的系数在理论上对其图像的影响之
后，通过课件检验理论分析是否正确.请大家一起看大屏
幕，并对这个用几何画板做出课件进行说明.
【课件说明】（如“图一”所示是几何画板截屏）图中的
抛物线是当一元二次函数cbxaxy2中的三个参
数a，b，c分别等于图中所示的数字时的图像.当鼠标
点击图中“变化a”按钮时图像会上下翻转、左右移动
同时也会上下移动.同理点击“变化b”按钮和“变化c”
按钮时图像也会发生相应的变化.但在这个过程中要保
证只有其中一个量是变化的.

活动三 想一想 做一做
时间: 5分钟
过程:
通过上面的理论分析和实践验证我们已经很明确的知道，当一元二次函数中参
数的位置不同时，其图像的活跃程度不同，且当参数在二次项系数时图像最活跃，
在一次项系数时次之，在常数项时最稳定.
基于以上理论我们思考这样一个问题：
例1已知一元二次不等式
01
2
xax
在]2,[31x上恒成立，求a的取值范围.

引导学生思考，得出一个很直观的想法：如果把一元二次不等式的参数转移到
常数项上我们就可以化繁为简了，那么请同学们思考如何把参数转移到常数项上
呢？
（老师引导学生分析得出给这个不等式两边同除以2x就能把参数转移到常数
项）
通过转化可以得到 0)(121axx 令 x1= t
因为 ]2,[31x 所以 ]3,[21t
也就是说这个题目现在转化为：
已知一元二次不等式
0
2
att
在]3,[21t上恒成立，求a的取值范围.
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结合一元二次函数图像的对称轴和单调性我们分析得到在]3,[21t上一元二
次函数atty2单调递增，所以只需要最大值0)3(f即 06a 得6a.

活动四 理一理 查一查
时间: 2分钟
过程:
1． 要点回顾
老师设疑，这节课我们学到了什么？提醒学生回顾本节课所学习的内容．

※知识要点
当一元二次函数中二次项系数含有参数时函数图像会上下翻转、左右移动、上
下移动.
当一元二次函数中一次项系数含有参数时函数图像会左右移动、上下移动.
当一元二次函数中常数含有参数时函数图像只会上下移动.

※方法要点 数形结合法 控制变量法 转化法
2． 作业布置
◇基本技能 查找与二次函数有关的恒成立问题并解决.

◇知识拓广 请同学们各自查阅资料，了解生活中与抛物线有关的设计，并探
究其原理.有兴趣的同学可以尝试当一回设计师，设计一个与抛物线有关的产
品.

板书设计
一元二次函的系数对其图像的影响
一．知识内容 三. 回顾小结
…… （1）知识要点
二． 知识应用 （2）思维方法
例1 ……

教学反思
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反思方面 反思结果

成功之处

失误之处
课堂灵感
学生存在的问题
学生学习过程中的创意

下次教学设想

合集下载

二次函数图象的特征

二次函数图象的特征

二次函数图象的特征二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且 a ≠ 0。

二次函数图象的特征包括图像开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式、零点以及函数值的变化规律等方面。

下面将依次进行论述。

1. 图像开口方向二次函数图象的开口方向与二次系数a的正负有关。

当a > 0时，图象开口向上；当a < 0时，图象开口向下。

2. 顶点坐标二次函数图象的顶点坐标可通过计算公式得到。

顶点的x坐标为x= -b/(2a)，顶点的y坐标为y = f(x) = -D/(4a)，其中D为判别式。

3. 对称轴二次函数图象的对称轴是过顶点的一条直线。

对称轴的方程可通过顶点的x坐标得到，即x = -b/(2a)。

4. 判别式判别式是用来判断二次函数图象与x轴的交点个数及开口方向的重要指标。

判别式的计算公式为D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，图象与x轴有两个交点，开口方向由a的正负决定；- 当D = 0时，图象与x轴有一个交点，开口方向由a的正负决定；- 当D < 0时，图象与x轴没有交点。

5. 零点二次函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标。

要计算二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法。

当判别式D > 0时，函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，函数有一个重根；当D < 0时，函数没有实数根。

6. 函数值的变化规律对于二次函数来说，开口向上的函数图象在顶点处取得最小值，开口向下的函数图象在顶点处取得最大值。

根据顶点坐标的y值，可以确定函数的最值。

以上就是二次函数图象的特征，包括图像开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式、零点以及函数值的变化规律等方面。

通过对这些特征的了解，我们可以更好地理解和分析二次函数的图像。

例析二次函数的图象变换

例析二次函数的图象变换

３． ） 由（一１ 一 ） ， ４ （ ，） ２３ ．
有必要指 出， 二次 函数 Ｙ＝ ＋ ＋ ａ（ ｍ） ｋ的图象平 移、 轴对称、 旋转时 ， 图象 的形状 不变 ， 而开 口方 向要么相
同， 要么相反， 即二次项系数 ｌ ｌ 不变， ｏ 变化的只是它的位
置， 即关键是顶点 （ 一ｍ， ） ｋ 位置 的改变． 于抛 物线 的几 对 种变换 ， 可以归结为： 一看顶点位置 ， 二看开 口方向． 下面例举 抛物线 的平移 、 轴对称 、 旋转 问题的求解
过点 Ｂ作 Ｂ ∥Ｃ Ｅ Ｄ与 Ａ Ｃ的延长线相交 于点 Ｅ， 过点 Ａ作 Ａ ｆ Ｃ Ｆ Ｄ与 Ｂ Ｃ的延长线 相交于点 Ｆ ，
易知 Ｅ：ＬＡ Ｄ＝ ［ Ｆ＝／Ｄ Ｂ＝３ Ｃ ０ ， ＿ Ｃ ａ＝ＬＡ Ｆ， Ｃ
＋ 一 ＂ 丽 Ｆ Ｈ
一
显然 ＡＢ Ｈ是正三角形 ， 以 朋 ＝ Ｆ Ｆ 所 Ｂ． 又 因为 Ｂ Ｄ Ｅ＝ Ｅ，
杨
艳
背景的图形变换 ， 它的一些性质 与直线形 的 图形 变换有 许 多相通之处． 详见 下表 ：
变换 平 移 轴对称 抛物线 旋 转
类 型 线形 直 抛物线 直线形
直线形 抛物线

形状 不变 不变 不变
大 小 不 变 不 变 不 变
不变
不 变
不变
不 变
◆’擞 ・ （１年 ６ 初中 ） ７ ２ １ 第 期・ 版 ０
・ 解题研究 ・
例 析 二 次 函数 的 图 象变 换
３５０ 浙 江省 宁波 市北仑 区顾 国和 中学 １８０
图形的平 移 、 轴对称 、 转 常见于 直线形 中 ， 曲线 旋 在 形—— 圆中也偶有 所 见． 而 ， 然 也有 以二次 函数 图像 为
二次函数的变化与性质

二次函数的变化与性质

二次函数的变化与性质对于一个二次函数，它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。

本文将从变化与性质两个方面来讨论二次函数。

一、二次函数的变化1. 平移变化二次函数可以通过平移变化来改变其图像在平面上的位置。

为了实现这种平移变化，我们可以添加一个常数d到函数表达式的x上，如y = a(x - d)^2 + bx + c。

当d为正时，图像向右平移，而当d为负时，图像向左平移。

2. 缩放变化通过缩放变化，我们可以改变二次函数图像的形状和幅度。

假设我们有一个二次函数y = ax^2 + bx + c，当乘以一个常数k时，得到的新函数是y = k(ax^2 + bx + c)。

在这种情况下，k的值决定了图像的纵轴上的扩大或缩小程度。

3. 翻转变化通过翻转变化，我们可以在平面上改变二次函数图像的朝向。

常见的翻转变化有关于x轴和y轴的翻转。

对于y = ax^2 + bx + c，将其变为y = -ax^2 - bx - c即可实现关于x轴的翻转；而对于y = ax^2 + bx + c，将其变为y = ax^2 - bx - c则可实现关于y轴的翻转。

二、二次函数的性质1. 开口方向通过判断二次函数的系数a的正负，我们可以确定其开口方向。

当a大于0时，二次函数的图像开口向上；而当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

2. 首项系数首项系数a反映了二次函数的图像的陡峭程度。

a的绝对值越大，图像就越陡峭。

当|a|趋近于无穷大时，图像变成了一条直线。

3. 对称轴对称轴是指二次函数图像的中心线，也是图像的对称轴。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴可以通过x = -b / (2a)来确定。

4. 最值点二次函数图像的最值点是图像的最高点或最低点。

对于开口向上的二次函数，最值点是最低点；而对于开口向下的二次函数，最值点是最高点。

最值点的x坐标可以通过对称轴的x值得到，最值点的y坐标则可以通过将x值带入函数表达式得到。

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

二次函数的图像和性质(共82张PPT)


y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像