2021高三数学(理)精准培优专项训练《17圆锥曲线的几何性质》教师版

专题17：圆锥曲线全国卷高考真题填空题9道（解析版）一、填空题1，2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2214x y -=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】( 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M ∴的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可． 【详解】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 4，2018年全国卷Ⅲ理数高考试题已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2 【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为 2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122A ,,B ,x y x y ，利用点差法得到1212124k y y x x y y -==-+，取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B''，由抛物线的性质得到()'1MM '2AA BB '=+，进而得到斜率． 5，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．【答案】23【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b，∴22223||||4OA PA a b-=-设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34APOPa b=-．又tan θ=ba，223234baa b=-，解得a2=3b2，∴22123113ba+=+=答案23点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，再根据222b c a=-和cea=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．6，2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【答案】6 【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 【答案】22325()24x y -+= 【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程8，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =212OM ≤，解得2OM ，因为点M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.9，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 【详解】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．。

[原创精品]2021届新高三一轮单元金卷 第十一单元圆锥曲线训练卷 A 卷教师版注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为坐标原点，曲线的离心率满足，，是轴与曲线的交点，是曲线上异于，的一点，延长交曲线于另一点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，解得，所以曲线是椭圆，因为，所以，则，所以椭圆的焦点在轴上，不妨设，，，，由题意知，则，即，．2．如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆长轴的左、右端点，是上一点，，，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得，设椭圆的方程为，则，，直线的斜率为，故的方程为，直线的斜率为，故的方程为，联立，解得，即，将点的坐标代入椭圆的方程中，得，解得，则离心率． 3．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线依次交抛物线及圆于，，，四点，则的值是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，可知抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为，设，两点的横坐标分别为，，由抛物线的定义得，又，∴，同理可得，过点且斜率为的直线的方程为，代入抛物线的方程，得，∴，∴．4．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，连接、，设，，由抛物线定义得，，在梯形中，，由余弦定理得，配方可得，又，则，得到，故．5．已知双曲线过点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是（）A． B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，即，所以可设双曲线方程是，将代入，求得，所以双曲线的标准方程为．6．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的性质知，，∴的周长，∴，又，∴，∴，∴椭圆的方程为．7．若双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的动点，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义知，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为．8．已知双曲线，过其右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间，为坐标原点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，得，，所以，设，，则，所以，所以，所以，，，于是，，易知，所以，所以，故，在中，，所以，则．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知曲线（）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，，则是两条直线【答案】ACD【解析】由曲线，得其标准形式为，A中，若，则，表示焦点在轴上的椭圆；B中，若，则，表示圆心在原点，半径为的圆；C中，若，则，异号，表示双曲线，渐近线方程为；D中，若，，则，表示两条直线．10．下列命题不正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为B．椭圆的焦点坐标为C．椭圆与的焦点相同D．已知中，，成等差数列，则顶点的轨迹方程为．【答案】ACD【解析】A中，椭圆的焦点在轴上，，，，该椭圆的焦点为，A错误；B中，椭圆的焦点在轴上，，，，焦点坐标为，B正确；C中，椭圆的焦点坐标为，，椭圆的焦点坐标为，C错误；D中，由题意可知，点的轨迹为椭圆，，，，又三点构成三角形，的轨迹方程为，D错误．11．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】当点在轴下方，点在轴上方时，由题意作出图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，因为，所以点为的中点，又，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以，当点在轴下方，点在轴上方时，由题意作出图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，又，所以，所以在中，，由抛物线定义可得，又，所以，所以，即，综上所述，或．12．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（）A．抛物线的标准方程为B．的最小值为C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形D．的面积为定值【答案】ABC【解析】由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为，，抛物线的标准方程为．①当直线的斜率不存在时，易得，，；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由，得，，，，，易知直线的方程为，由，得，，，综上所得，的最小值为．由抛物线定义知，，，，又，，，，为直角三角形．当直线的斜率不存在时，易得，，，当直线的斜率存在时，，显然不为定值．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】由题意知，双曲线的右焦点的坐标为，设一条渐近线（为坐标原点）的方程为，则另一条渐近线的方程为，不妨令，，由，得，解得，因为，所以，解得，所以，故双曲线的离心率．14．已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率，．【答案】，【解析】设，由题意可得，由①②可得：，，代入③可得，，即，可得，解得，所以，，．所以，所以是等腰直角三角形，所以．15．已知椭圆，过点作两条直线分别交椭圆于，两点（，与点不重），且，则直线一定过点．【答案】【解析】当直线的斜率不存在时，，，直线的方程为，当直线的斜率存在且不为零，直线的斜率存在时，如图，设，，直线的方程为，所以，，因为，所以，由消去，得，由根与系数的关系，知，，所以，，所以，整理得，即，因为直线不过点，所以，所以，此时直线的方程可化为，即，所以直线恒过点，点也在直线上，所以直线恒过点；当直线的斜率不存在时，检验知直线过点，所以所求的定点坐标为．16．设直线与抛物线相交于，两点，若弦的中点的横坐标为，则的值为．【答案】【解析】依题意，设点，，由，消去，得，即，又，因此．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．（1）求双曲线的方程；（2）若过点且不平行于轴的直线与双曲线相交于不同的两点，，记的垂直平分线为，求直线在轴上的截距的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可得，，又，所以，，故双曲线的方程为．（2）由（1）知，即，依题意可设直线的方程为，设，，联立，消去，得，则，，且，设的中点为，则，，故直线的方程为，即，所以直线在轴上的截距为，由，，得，且，故，所以，即直线在轴上的截距的取值范围为．18．（12分）已知双曲线的上焦点为，上顶点为，为虚轴的端点，其中，且，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为．（1）求双曲线和抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与抛物线的准线相交于点，在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该点？如果存在，试求出该点的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】（1），；（2）存在，定点坐标为．【解析】（1）由，得，所以，解得，所以，，所以双曲线的方程为，，所以抛物线的方程为．（2）由（1）知，，故，抛物线的准线为，设，则，，且的方程为，即，由，得，所以，假设存在点，使得以为直径的圆恒过该点，则对满足的，恒成立，因为，，所以，整理得，即①，因为①式对满足的，恒成立，所以，解得，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过该点．19．（12分）抛物线的焦点为，圆，点为抛物线上一动点，已知当时，的面积为．（1）求抛物线方程；（2）若，过作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点坐标．【答案】（1）；（2）的最小值为，．【解析】（1）由题意知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴抛物线方程为．（2）由题意知两条切线的斜率存在，所以设过点且与圆相切的直线的方程为，令，得，∴切线与轴的交点坐标为，而圆心到切线的距离，整理得，∵，∴，设两条切线的斜率分别为，，则，，，∵，∴，∴，令，则，，而，当且仅当，即时，“”成立，此时，∴的最小值为，．20．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆的一条切线与，分别交于，两点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，，得，又，，所以，，故椭圆的方程为．（2）由题意可知，的方程为，的方程为，易得，，所以，，所以，联立得，得，因为直线与椭圆相切，所以，化简得，所以，所以，故为定值．21．（12分）已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）设直线为抛物线的切线，且，为上一点，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可知，则直线的方程为，代入，得，设，，则，∵，∴，即，解得，∴抛物线的方程为．（2）设直线的方程为，代入，得，∵直线为抛物线的切线，∴，解得，∴，由（1）可知，，设，则，，，∵，∴，∵，∴，，当且仅当，即点的坐标为时，取得最小值．22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，当的值为时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）∵在椭圆上，∴，又，，∴，∴，∵，，∴，故所求椭圆的标准方程为．（2）设，，由，消去，得，∴，，，∴，设圆的圆心到直线的距离为，则，∴，∴，∵，∴，解得，经验证符合题意，故所求直线的方程为或．。

1
C．
2
3
D．
4
【答案】A
【解析】根据题意画出图形如下图所示：
∵平面 ABD 平面 BCD ，平面 ABD 平面 BCD BD ， BD DC ， ∴ DC 平面 ABD ． 以过点 D 且与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ，
3
则 D(0, 0, 0) ， B(2, 0, 0) ， C (0, 2, 0) ， A(1, 0, 3) ，∴ DB (2, 0, 0) ， AC (1, 2, 3) ，
，即
1 2 3 2
x x
2z 2y
0 0
，
取 x 4 ，得 n (4, 3, 1) ，
4
设直线 AC1 与平面 EFG 所成角为 ，
则直线
AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为 sin
cos
n, AC1
4 78 39
．
3．如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AB ，A1D1 的中点分别为 E ，F ，则直线 EF 与平面 AA1D1D
∴ cos DB, AC
DB AC
2
2
，
| DB | | AC | 2 2 2 4
∴异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 2 ． 4
2．正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱上（除去棱 AD ）到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点有 3 个，记这 3 个 点分别为 E ， F ， G ，则直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为（ ）
设 AB BC 2AA1 2 ，则 A(2, 0, 0) ， C1(0, 2,1) ， B1(2, 2,1) ， C (0, 2, 0) ，

直线与圆锥曲线的几何性质在同一，则点于交，轴的直线为且垂直与），过点（个分点为下至上的第上从，个分点为上从左至右的第等分，设各、）将线段，（），，已知点（，则抛物线顶点是），准线方程是，抛物线的焦点是（等于的值则在双曲线上，且的两个焦点，点是双曲线、设为的内切圆圆心的横坐标，则焦距为分别是左、右焦点，且、右支上一点，，是双曲线不能确定截得的最大弦长是变化时，此直线被椭圆当直线椭圆的离心率为椭圆短轴的两端点，则为焦点的抛物线经过为顶点，，以、的左、右焦点分别为已知椭圆：的值为的连线互相垂直，则与中心、上两点椭圆条条条条一共有则这样的直线有且只有一个公共点，，使它与双曲线作直线经过点是的斜率，则，若椭圆的离心率是作椭圆的切线轴的交点，经过的准线与是椭圆一、选择题k k k k k k k k P P l OB l x A n k B k AB A k OA n AB OA B D C B A y x D C B A PF PF PF PF P y x F F cb a D cC bB aA F PF c F F b a by a x P D C B A y x k kx y D C B A F F F F b a by a x ba b a D b a b a C b a B b a A OB OA O B A b a b y a x D C B A l y x l A e D e C e B e A k l el H x b a by a x H ≤≤-=++⋅=⋅=--+∆>>=-=++=>>=+++++>>=+=-±±±±>>=+12101.9)1,1.()1,0.()0,1.()0,0.(0112.88.4.22.2.||||,014.7....2)00(1.6.334.2.4.14,1.555.31.22.21.)0(1.4..1.1.11)0(1.34.3.2.1.14)2,0(.24.3.2..)0(1.121212221212122222221212222222222222222222222222222的方程，求直线两点，若、交与两点，与、交与与的直线）过点（的方程）求椭圆（两点，已知、交于两点，与、交与与轴垂直的直线与重合，过点的焦点：点与抛物线的中心在原点，其右焦设椭圆三、解答题线的离心率为，则双曲，且两点，右焦点为、交与的右准线与两条渐近线双曲线为，则这个三角形的边长上，另一个顶点是原点顶点在抛物线有一个正三角形的两个的轨迹方程是点，则动为坐标原点，是它的两个焦点，、上的任意一点，是椭圆的离心率为成等比数列，则椭圆、、成等差数列，、、已知二、填空题右焦点轴的交点椭圆右准线与坐标原点轴的交点椭圆左准线与一定是”，那么“左特征点”为该椭圆的“左特征点称点的一条内角平分线，则为且使得轴上，在，若点不垂直的弦任作一条与两坐标轴都的左焦点过椭圆抛物线上双曲线上椭圆上圆上l MN PQ Q P C N M C l F C AB CD D C C B A C x F F x y C C FB FA F B A by a x x y Q PF PF OQ O F F by a x P ny m x mn n m n m n m D x C B x A M M AMB MF x M AB F b a by a x D C B A 35||||2134||||4.1501.1432.131.121.11....)0(1.10. (2112122122)22221212222222222====⋅=-=⋅==+=++∆>>=+线类型；的轨迹方程，并判断曲）求动点（是参数是坐标原点，其中）（，并且满足的距离等于到定直线），动点，（），，（已知向量请说明理由。