2022年新高考全国II卷数学真题含参考答案

试卷第1页，共25页 2022年新高考全国II卷数学真题

一、单选题

1．已知集合𝐴={−1,1,2,4},𝐵={𝑥||𝑥−1|≤1 }，则𝐴∩𝐵=（ ）

A．{−1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{−1,4}

2．(2+2i)(1−2i)=（ ）

A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i

3．图1是中国古代建筑中的举架结构，𝐴𝐴′,𝐵𝐵′,𝐶𝐶′,𝐷𝐷′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中𝐷𝐷1,𝐶𝐶1,𝐵𝐵1,𝐴𝐴1是举，𝑂𝐷1,𝐷𝐶1,𝐶𝐵1,𝐵𝐴1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为𝐷𝐷1𝑂𝐷1=0.5,𝐶𝐶1𝐷𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1𝐶𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1𝐵𝐴1=𝑘3．已知𝑘1,𝑘2,𝑘3成公差为0.1的等差数列，且直线𝑂𝐴的斜率为0.725，则𝑘3=（ ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

4．已知向量𝑎⃑=(3,4),𝑏⃑⃑=(1,0),𝑐⃑=𝑎⃑+𝑡𝑏⃑⃑，若<𝑎⃑,𝑐⃑>=<𝑏⃑⃑,𝑐⃑>，则𝑡=（ ）

A．−6 B．−5 C．5 D．6

5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

6．若sin(𝛼+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=2√2cos(𝛼+𝜋4)sin𝛽，则（ ）

A．tan(𝛼−𝛽)=1 B．tan(𝛼+𝛽)=1

C．tan(𝛼−𝛽)=−1 D．tan(𝛼+𝛽)=−1 试卷第2页，共25页 7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A．100π B．128π C．144π D．192π

8．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，且𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),𝑓(1)=1，则∑22𝑘=1𝑓(𝑘)=（ ）

A．−3 B．−2 C．0 D．1

二、多选题

9．已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑

A．𝑓(𝑥)在区间(0,5π12)单调递减

B．𝑓(𝑥)在区间(−π12,11π12)有两个极值点

C．直线𝑥=7π6是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称轴

D．直线𝑦=√32−𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线

10．已知O为坐标原点，过抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点𝑀(𝑝,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|，则（ ）

A．直线𝐴𝐵的斜率为2√6 B．|𝑂𝐵|=|𝑂𝐹|

C．|𝐴𝐵|>4|𝑂𝐹| D．∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀<180°

11．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝐵∥𝐸𝐷,𝐴𝐵=𝐸𝐷=2𝐹𝐵，记三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷，𝐹−𝐴𝐵𝐶，𝐹−𝐴𝐶𝐸的体积分别为𝑉1,𝑉2,𝑉3，则（ ）

试卷第3页，共25页 A．𝑉3=2𝑉2 B．𝑉3=𝑉1

C．𝑉3=𝑉1+𝑉2 D．2𝑉3=3𝑉1

12．若x，y满足𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1，则（ ）

A．𝑥+𝑦≤1 B．𝑥+𝑦≥−2

C．𝑥2+𝑦2≤2 D．𝑥2+𝑦2≥1

三、填空题

13．已知随机变量X服从正态分布𝑁(2,𝜎2)，且𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.36，则𝑃(𝑋>2.5)=____________．

14．设点𝐴(−2,3),𝐵(0,𝑎)，若直线𝐴𝐵关于𝑦=𝑎对称的直线与圆(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=1有公共点，则a的取值范围是________．

15．已知直线l与椭圆𝑥26+𝑦23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|𝑀𝐴|=|𝑁𝐵|,|𝑀𝑁|=2√3，则l的方程为___________．

四、双空题

16．曲线𝑦=ln|𝑥|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

五、解答题

17．已知{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛}是公比为2的等比数列，且𝑎2−𝑏2=𝑎3−𝑏3=𝑏4−𝑎4．

(1)证明：𝑎1=𝑏1；

(2)求集合{𝑘|𝑏𝑘=𝑎𝑚+𝑎1,1≤𝑚≤500}中元素个数．

18．记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为𝑆1,𝑆2,𝑆3，已知𝑆1−𝑆2+𝑆3=√32,sin𝐵=13．

(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；

(2)若sin𝐴sin𝐶=√23，求b．

19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 试卷第4页，共25页

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

20．如图，𝑃𝑂是三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的高，𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，E是𝑃𝐵的中点． 试卷第5页，共25页 (1)证明：𝑂𝐸//平面𝑃𝐴𝐶；

(2)若∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐵𝑂=30°，𝑃𝑂=3，𝑃𝐴=5，求二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵的正弦值．

21．已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹(2,0)，渐近线方程为𝑦=±√3𝑥．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)在C上，且𝑥1>𝑥2>0,𝑦1>0．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在𝐴𝐵上；②𝑃𝑄∥𝐴𝐵；③|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑎𝑥−e𝑥．

(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性；

(2)当𝑥>0时，𝑓(𝑥)<−1，求a的取值范围；

(3)设𝑛∈𝑁∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√𝑛2+𝑛>ln(𝑛+1)．

试卷第6页，共25页 参考答案：

1．B

【分析】方法一：求出集合𝐵后可求𝐴∩𝐵.

【详解】[方法一]：直接法

因为𝐵={𝑥|0≤𝑥≤2}，故𝐴∩𝐵={1,2}，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

𝑥=−1代入集合𝐵={𝑥||𝑥−1|≤1 }，可得2≤1，不满足，排除A、D；

𝑥=4代入集合𝐵={𝑥||𝑥−1|≤1 }，可得3≤1，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

2．D

【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).

【详解】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，

故选：D.

3．D

【分析】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则可得关于𝑘3的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则𝐶𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1=𝑘3，

依题意，有𝑘3−0.2=𝑘1,𝑘3−0.1=𝑘2，且𝐷𝐷1+𝐶𝐶1+𝐵𝐵1+𝐴𝐴1𝑂𝐷1+𝐷𝐶1+𝐶𝐵1+𝐵𝐴1=0.725，

所以0.5+3𝑘3−0.34=0.725，故𝑘3=0.9，

故选：D

4．C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：𝑐⃗=(3+𝑡,4),cos<𝑎→,𝑐→>=cos<𝑏,𝑐→>,即9+3𝑡+165|𝑐⃗|=3+𝑡|𝑐⃗|,解得𝑡=5, 试卷第7页，共25页 故选：C

5．B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，

故选：B

6．C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】[方法一]：直接法

由已知得：sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2(cos𝛼−sin𝛼)sin𝛽,

即：sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽=0，

即：sin(𝛼−𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=0

所以tan(𝛼−𝛽)=−1

故选：C

[方法二]：特殊值排除法

解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取𝛼=𝜋2，排除A, B；

再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=𝜋4，排除D；选C.

[方法三]：三角恒等变换

sin(𝛼+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=√2sin（𝛼+𝛽+𝜋4）=√2sin[（𝛼+𝜋4）+𝛽]=√2sin（𝛼+𝜋4）cos𝛽+√2cos（𝛼+𝜋4）sin𝛽=2√2cos（𝛼+𝜋4）sin𝛽

所以√2sin（𝛼+𝜋4）cos𝛽=√2cos（𝛼+𝜋4）sin𝛽

sin（𝛼+𝜋4）cos𝛽−cos（𝛼+𝜋4）sin𝛽=0即sin（𝛼+𝜋4−𝛽）=0

∴sin（𝛼−𝛽+𝜋4）=sin（𝛼−𝛽）cos𝜋4+cos（𝛼−𝛽）sin𝜋4=√22sin（𝛼−𝛽）+√22cos（𝛼−𝛽）=0 ∴sin（𝛼−𝛽）=−cos（𝛼−𝛽）即𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽）=−1,