2012河北石家庄一模理数一、选择题（2012河北石家庄一模理1）复数11ii+=-（ ） A ．iB ．i -C ．1i -D ．1i +【答案】A 【解析】1(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i +++===--+，故选A ． （2012河北石家庄一模理2）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ） A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【答案】A 【解析】1a b a b >+⇒>；反之，例如2,1a b ==满足a b >，但1a b =+即a b >推不出1a b >+，故1a b >+是a b >成立的充分而不必要的条件．故选A ．（2012河北石家庄一模理3）已知向量(1,3),(3,1)OA OB ==-，且2A P PB =，则点P 的坐标为（ ）A ．(2,4)-B ．24(,)33- C ．71(,)33- D ．(2,4)- 【答案】C 【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，由2AP PB =可得(1,3)2(3,1)x y x y --=---，故有122x x -=-，且322y y -=--，解得71,33x y ==-，故点P 的坐标为71(,)33-，故选C ．（2012河北石家庄一模理4）函数()sin()(,,)f x A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f 的值为（ ）A B ．2C ．0 D．【答案】A 【解析】由函数的图象可知，54232,4(),462323A T ππππωπ==⨯-===．函数图象经过5(,2)6π-，所以函数35()2sin()226f x πϕ=⨯+=-，所以34πϕ=，所以3(0)2sin(0)4f π=+=，故选A ．（2012河北石家庄一模理5）已知3()2sin 1,()f x x x x R =++∈，若()3f a =，则()f a -的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0 【答案】C 【解析】∵()3f a =，∴32sin 13a a ++=，∴32sin 2a a +=，∴33()2sin 1(2sin )11f a a a a a -=--+=-++=-，故选C ．（2012河北石家庄一模理6）已知实数,x y 满足2003x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．9B ．17C ．5D ．15 【答案】B 【解析】实数,x y 满足2003x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩表示的可行域如图：则4z x y =+经过如图M 点时，取得最大值，由203x y x +-=⎧⎨=-⎩，解得(3,5)M -．所以z 的最大值为34517-+⨯=．故选B ．（2012河北石家庄一模理7）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47101439,77a a a S S ++=-=，则使n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B 【解析】等差数列{}n a 中，∵47101439,77a a a S S ++=-=，∴711431163141332(14)(3)7722a a d S S a d a d =+=⎧⎪⎨⨯⨯-=+-+=⎪⎩，解得19,2a d =-=． ∴22(1)9210(5)252n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，∴当5n =时，n S 取得最小值．故选B ．（2012河北石家庄一模理8）已知程序框图如图所示，当输入2与2-时，输出的值均为10，则输入1时输出的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C 【解析】∵当输入2与2-时，输出的值均为10，∴410410a b b a +=⎧⎨+=⎩，解得2,2a b ==，∴输入1时输出的值为26y a b =+=，故选C ．（2012河北石家庄一模理9）已知,,A B C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为60,2,4ABC AB BC ∠=︒==，则球O 的表面积为（ ）A ．24πB ．32πC ．48πD ．192π 【答案】C 【解析】由题意,,A B C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为60,2,4ABC AB BC ∠=︒==，即1c o s 2AB ABC BC∠==，可知底面三角形是直角三角形，=表面积为：2448ππ=．故选C ．（2012河北石家庄一模理10）设12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，且212PF F F =，2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53 C ．43 D【答案】B 【解析】依题意212PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 到直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知：14PF b ==；根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-，代入222c b a =+整理得2440b ab -=，求得43b a =．∴该双曲线的离心率53c e a ====．故选B ． （2012河北石家庄一模理11）已知点P 在曲线xy e =（e 自然对数的底数）上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是（ ）AB ．2e CD ．e 【答案】A 【解析】∵曲线xy e =（e 自然对数的底数）与曲线ln y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，故可先求点P 到直线y x =的最近距离d ，设曲线xy e =上斜率为1的切线为y x b =+，∵x y e '=，由1xe =，得0x =，故切点坐标为(0,1)，即1b =，∴d ==，∴PQ的最小值为2d =A ．（2012河北石家庄一模理12）三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线,m n ，其中226m n +=，则该三棱锥体积的最大值为（ ）A ．12B ．27C ．3D ．3【答案】D 【解析】 如图，设长方体的三度为,,a b c ；所以，所求三棱锥的体积为：1114323abc abc abc -⨯⨯=．222222222,,a b b c n a c m +=+=+=，所以222222()28a b c n m ++=++=．2224a b c ++=．因为4abc ≥≤=a b c ==，与22226,2n m a b +=+=，矛盾，所以选项B 不正确；则C 不正确；当底面三角形是等腰三角形时，m n ==3．故选D ． 二、填空题（2012河北石家庄一模理13）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为124,1,16n S a a a =⋅=，则4S =________．【答案】15【解析】∵1241,16a a a =⋅=，由等比数列的性质可得，224316a a a ⋅==且0n a >，∴34,2a q ==，∴44121512S -==-，故答案为：15． （2012河北石家庄一模理14）天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________． 【答案】0.25 【解析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为50.2520=．故答案为：0.25． （2012河北石家庄一模理15）设,M m 分别是()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()b am b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分222()x dx --⎰的取值范围是________． 【答案】[16,0]- 【解析】2()f x x =-在[2,2]-上的最小值4m =-，最大值为0，∴2224(22)()0(22)x dx --+≤-≤+⎰，即22216()0x dx --≤-≤⎰．故答案为[16,0]-．（2012河北石家庄一模理16）已知动圆的圆心C 在抛物线22(0)x py p =>上，该圆经过点(0,)A p ，且与x 轴交于两点,M N ，则sin MCN ∠的最大值为________． 【答案】1 【解析】由题意，设00(,)C x y ，则C 的方程22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．把0y =和002x py =代入整理得2220020x x x x p -+-=．设,M N 的横坐标分别为12,x x ，则1020,x x p x x p =-=+．∴122MN x x p =-=．∵CM CN ===2220222200222cos 122p y p MCN p y p y -+∠==-++， ∴1cos 1MCN -≤∠<，∵0MCN π<∠<，∴0sin 1MCN <∠≤，∴sin MCN ∠的最大值为1，故答案为1． 三、解答题（2012河北石家庄一模理17）要测量河对岸的烟囱AB ，而测量者又不能到达它的底部，现有测角仪和钢卷尺两种测量工具，请你设计一种测量方案．要求：（Ⅰ）画出图形，指出要测量的数据（用字母表示并在图中标出）； （Ⅱ）用文字和公式写出计算烟囱高AB 的步骤（测角仪的高度忽略不计）． 【解析】要测量河对岸的烟囱AB ；如图：（Ⅰ）在C 出测得对烟囱AB 的仰角2∠后退m 米， 在D 处测得对烟囱AB 的仰角1∠． （Ⅱ）需要工具有测角仪与米尺．在C 出测得对烟囱AB 的仰角2∠后退m 米，在D 处测得对烟囱AB 的仰角1∠．利用直角三角形列出关系式即可求出AB ．tan 1AB BC m =∠+，所以tan 1ABBC m =-∠，又tan 2AB BC =∠，tan 2ABBC =∠． 所以tan 1tan 2AB ABm -=∠∠，解得tan 1tan 2tan 1tan 2m AB ⋅∠⋅∠=∠-∠．（2012河北石家庄一模理18）四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形．（Ⅰ）若正视图是等边三角形，F 为AC 的中点，当点M 在棱AD 上移动时，是否总有BF CM ⊥，请说明理由； （Ⅱ）若平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角为45︒，求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）若正视图是等边三角形，F 为AC 的中点， 当点M 在棱AD 上移动时，总有BF CM ⊥． 取BC 中点O ，连接AO ， 由俯视图可知，AO ⊥面BCDE ， 取DE 中点H ，连接OH ，OH BC ⊥．以,,OC OH OA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设(1,0,0),(1,0,0)A B C -，∴1(2F ．设(,2))M x x x -，∴3(,0,)22BF =，(1,2))CM x x x --． ∴0BF CM ⋅=，∴BF CM ⊥． （Ⅱ）(1,2,0)D ，设(0,0,)(0)A a a >， ∴(2,1,0)ED =，(1,2,)AD a =-． 设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =， ∴0m ED ⋅=，0m AD ⋅=． ∴111112020x y x y az +=⎧⎨+-=⎩，∴可取3(1,2,)m a =--．∵平面ABC 的法向量为(0,1,0)n =，∴cos m n <⋅>=．∵平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角为45︒，2=，解得a=设平面ABE的法向量为222(,,)p x y z=，∵(1,0,3),(0,1,0)BA BE==，∴0,0p BA p BE⋅=⋅=，∴222xy⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴可取(3,0,1)p=-，∴6cos,AD p<>=∴直线AD与平面ABE（2012河北石家庄一模理19）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（Ⅱ）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按（Ⅰ）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．（注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）﹣（一次性费用））【解析】（Ⅰ）频率分布表，如下：设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；12,B B 分别表示汽车B 在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．∵1()0.20.40.6P A =+=，2()0.10.40.5P A =+=， ∴汽车A 选择公路1，∵1()0.20.40.20.8P B =++=，2()0.10.40.40.9P B =++=， ∴汽车A 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1，销售商支付给生产商的费用， 则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：∴()420.2400.4360.239.2E X =⨯+⨯+⨯=．∴汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）． 设Y 为汽车B 选择公路2时的毛利润，则42.4,40.4,38.4,36.4Y =． 分布列如下：∴()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． ∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．（2012河北石家庄一模理20）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(2,0),(2,0)A B -，M 是动点，且直线MA 与直线MB 的斜率之积为14-，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过定点(1,0)T -的动直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，是否存在定点(,0)S s ，使SP SQ ⋅为定值，若存在求出s 的值；若不存在请说明理由．【解析】（Ⅰ）设M 点坐标为(,)x y ，∵定点(2,0),(2,0)A B -，直线MA 与直线MB 的斜率之积为14-， ∴1224y y x x ⨯=-+-，∴221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为221(2)4x y x +=≠±． （Ⅱ）当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠． 由22(1)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(14)8440k x k x k +++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ，∴212221228144414k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩． ∵1122(,),(,)SP x s y SQ x s y =-=-， ∴22222481(4)(1)414s s s k s SP SQ k ++-+⨯-⋅=+． 若存在定点(,0)S s ，使得SP SQ ⋅为定值，则2248144s s s ++=-， ∴178s =-，此时定值为3364． 当动直线l的斜率不存在时，(1,(1,22P Q --， 可知178s =-时，3364SP SQ ⋅=．综上知，存在定点17(,0)8S -，使得SP SQ ⋅为定值． （2012河北石家庄一模理21）已知函数1()ln (0)1f x a x a x =+≠-在1(0,)2内有极值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若121(0,),(2,)2x x ∈∈+∞且1[,2]2a ∈时，求证：123()()ln 24f x f x -≥+． 【解析】 （Ⅰ）1()ln (0)1f x a x a x =+≠-，得22(21)()(1)ax a x a f x x x -++'=-， ∵210,()(2)1a g x x x a≠=-++，∴(0)10g =>． 令1()02g <，或22110122(21)401()02a a a g ⎧<+<⎪⎪⎪∆=+->⎨⎪⎪>⎪⎩，则02a <<． （Ⅱ）由（Ⅰ）得22(21)()(1)ax a x a f x x x -++'=-， 设2(21)0(02)ax a x a a -++=<<的两根为,αβ， 则121αβααβ⎧+=+⎪⎨⎪⋅=⎩，得1022αβ<<<<． 当(0,)x α∈和(,)β+∞时，22(21)()0(1)ax a x a f x x x -++'=>-，函数()f x 单调递增； 当1(,)2x α∈和(2,)β时，22(21)()0(1)ax a x a f x x x -++'=<-，函数()f x 单调递减． 则12()(),()()f x f f x f αβ≤≥，则：2111()()()()ln ln 11f x f x f f a a βαβαβα-≥-=+---- 21ln ln ()1a βαβαββααβαββ⎡⎤-=+=+-⎢⎥-++⎣⎦，（利用12,1αβαβα+=+=） 令21()ln ,2h x x x x x =+->，则22(1)()0x h x x +'=>， 则函数()h x 单调递增，3()(2)2ln 22h x h ≥=+， ∴213ln 2ln 202βββ+-≥+>， ∵1[,2)2a ∈，则213ln ln 24a βββ⎡⎤+-≥+⎢⎥⎣⎦， ∴123()()ln 24f x f x -≥+． （2012河北石家庄一模理22A ）已知ABC ∆中AB AC =，D 为ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证．CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．【解析】（Ⅰ）∵,,,A B C D 四点共圆，∴ABC CDF ∠=∠，又AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠，∴ADB CDF ∠=∠，对顶角EDF ADB ∠=∠，故EDF CDF ∠=∠；（Ⅱ）由（Ⅰ）得ADB ABF ∠=∠，∵BAD FAB ∠=∠，∴~BAD FAB ∆∆， ∴AB AD AF AB=，∴2AB AD AF =⋅， ∵AB AC =，∴AB AC AD AF ⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅，根据割线定理DF AF FC FB ⋅=⋅，∴AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．（2012河北石家庄一模理22B ）在平面直角坐标系中，取原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为：2cos ρθ=，直线2C的参数方程为：123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程，曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）先将曲线1C 上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到3C ，P 为曲线3C 上一动点，求点P 到直线2C 的距离的最小值，并求出相应的P 点的坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的极坐标方程为：2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即为22(1)1x y -+=．直线2C的参数方程为：132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得普通方程为20x y -+=．（Ⅱ）曲线3C 上的方程为2213x y +=，设点,sin )P θθ，点P到直线的距离为d ==． 由三角函数的性质知，当6πθπ+=是，d56πθ=， 所以P 点的坐标为31(,)22-． （2012河北石家庄一模理22C ）解不等式：211x x x≤-．【解析】①当20x x -<时，即01x <<时，不等式成立；②当20x x ->时，即1x >或0x <时，不等式化为2x x x -≥， 故有22()x x x x x --≤≤-，解得2x ≥或0x <，所以2x ≥或0x <． 故原不等式的解集为{2x x ≥或0x <或01}x <<．。
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