2017年高考第二轮复习：(理数)专题二十三 不等式选讲

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法 .......................................................... 1 题型二：不等式的最值 ......................................................................... 8 题型三：含绝对值不等式的成立问题................................................... 9 题型四：含绝对值函数的图像及其应用 ............................................. 10 题型五：不等式证明 (17)题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =−++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >−，求a 的取值范围． 【答案】(1)(][),42,−∞−+∞ ．(2)3,2−+∞． 解析：(1)当1a =时，()13f x x x =−++，13x x −++表示数轴上的点到1和3−的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x ≤−或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,−∞−+∞ ．(2)依题意()f x a >−，即3a x a x −+>−+恒成立，333x a x x a a x −++−+=≥++，故3a a +>−，所以3a a +>−或3a a +<， 解得32a >−． 所以a 的取值范围是3,2−+∞．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =−+−+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集； (2)若()4f x …，求a 的取值范围． 【答案】(1)32x x≤或112x≥；(2)(][),13,−∞−+∞ ． 解析：(1)当2a =时，()43f x x x =−+−．当3x ≤时，()43724f x x x x =−+−=−≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =−+−=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =−+−=−≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ≤或112x ≥ ．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =−+−+≥−−−+=−+−=−(当且仅当221a x a −≤≤时取等号)，()214a ∴−≥，解得：1a ≤−或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,−∞−+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3−【解析】1224x x x <−−−−≤ 或10224x x x −≤≤ +−≤ 或0224x x x >++≤21x ∴−≤<−或10x −≤≤或203x <≤,所以解集为22,3−4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =−+−−．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】()1(),1−∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x −−−.当1x <时，2()2(1)0f x x =−−<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)−∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈−∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x −−−−− 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x −+−−<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x −+−−<；当1x <时，原不等式可化，即()210x −>，显然成立， 此时解集为(),1−∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，即()210x −<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈−∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a −+−−<，即()()10x a x −−>，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a −< =−−<≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x −. 【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x −+−>，解得13x <−；为为当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +−>，即1x <−，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +−>，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <−>或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+−−>．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤−−−+−> 或111221x x x −<< ++−> 或11221x x x ≥ +−+> ，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a −−<−=+−−≤≤ −++>， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A −，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +． 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >． 所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ≤−≥−或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x <− −−≥ 或32332x x ≥−+≥ ．解得5x ≤−或13x ≥−．综上，原不等式的解集是153x x x ≤−≥−或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++−>(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++−=++−≥++−=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++−=−++<当03a <<时，()3f =165a a−+<，解得a >当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得a >综上所述，a 的取值范围为．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)． 【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为()24f x x ax =−++()11g x x x =++−1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1−a 112x x −+−≤≤[]1,1−1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x −+++−−≤x 1x <−11x −≤≤1x >[1,1]x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[1,1]−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()12f −≥()12f ≥11a −≤≤a []1,1−1a =()()f x g x ≥21140x x x x −+++−−<1x <−2340x x −−≤11x −≤≤220x x −−≤11x −≤≤1x >240x x +−≤1x <≤()()f x g x ≥112xx −+−≤≤(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由 综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时， 当时， 当时， []1,1x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[]1,1−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()()1212f f −≥ ≥ 11a −≤≤a []1,1−()12f x x x =+−−()1f x ≥()2f x x x m ≥−+m {}1x x ≥5-，4 ∞()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x −<−=+−−=−≤≤ > ()1f x ≥131x <− −≥ 12211x x −≤≤ −≥231x > ≥ 131x <− −≥ ⇒x 1222x x −≤≤ ≥ 12x ⇒≤≤231x >≥ 2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥−+m ()2f x x x m ≥−+()2m f x x x >−+()()2F x f x x x =−+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x −+−<−−+−≤≤ −++>()max m F x > 1x <−()()2211131524F x x x x F=−+−=−−−<−=− 12x −≤≤()223535312424F x x x x F =−+−=−−+≤= 2x >()()2211332124F x x x x F=−++=−−+<=所以 所以不等式的解集为空集时， 所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设由(1)知当时，，其开口向下，对称轴 所以当时，，其开口向下，对称轴为 所以 当时，，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a −+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =−,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x −≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x −+.()max 3524F x F== ()2f x x x m ≥−+54m >()2f x x x m ≥−+m 5,4−∞x R ∈2()f x x x m −+≥2max [()]f x x x m −+≥2()()g x f x x x =−+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x −+−≤− =−+−−<< −++≥1x ≤−2()3g x x x =−+−112x =>−()()11135g x g ≤−=−−−=−12x −<<()231g x x x =−+−32x =()399512424g x g ≤=−+−=2x ≥()23g x x x =−++12x =()()24231g x g ≤=−++=()max 54g x =m 5,4−∞解不等式2226x −+≤,得13x −≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x −≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=−++−−+−+=−+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a −+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a −+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a −+≥,解得2a ≥ 所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333xy z==，，， 所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由． 【答案】解析:(1),得,且当, 故,且当,∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．0,0a b >>11a b+33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b 33a b +?a b 33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +=(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =−，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a −−<<−，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；(Ⅱ)，再利用柯西不等式的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a −−=−=解得3a =-,1b = (Ⅱ≤4=，即1t =时等号成立， 故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=． (Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得 ()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c++++≥×××=++=, 即222118497a b c ++?． 当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立 所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =−+−−．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】解析：(1)当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +−=−< −+>≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x −． (2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++−．而|||2||2|≥x a x a ++−+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +． 由|2|4≥a +可得6≤a −或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,−∞−+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+−−．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+−−，即2,1,()2,11,2, 1.x f xx x x −≤− =−<< ≥故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +−−>成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax −<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax −≥； 若0a >，|1|1ax −<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =−−．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】(1),33a a(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x −−<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x −−<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a． (2)2,()23,x a x af x x a x a −+≤ =−>．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B,所以||=AB a ,所以211||222ABCS AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+−．(1)求不等式()6f x x ≤−的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤+−≤所确定的平面区域的面积． 【答案】(1)[2,2]−； (2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>=+≤≤ −+<，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x > −≤− 或0226x x x ≤≤ +≤− 或0326x x x < −+≤−，解2326x x x >−≤− ，得无解；解0226x x x ≤≤ +≤− ，得02x ≤≤，解0326x x x < −+≤−，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− (2)作出不等式组()60f x yx y ≤+−≤表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−++= ，解得(2,8)A −，由26y x x y =+ +=, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =×−=−×−−= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+−−．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】(1)详解解析；(2)7,6 −∞−．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x+≥=−−<<−−≤−，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6 −∞−． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+−−． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】 (I )见解析 (II )()()11353−∞+∞，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =−时，得13x =或5x = 故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x −<的解集为153x x x <>或 ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ()1f x >当1x −≤，41x −>，解得5x >或3x <1x −∴≤ 当312x −<<，321x −>，解得1x >或13x <113x −<<∴或312x <<当32x ≥，41x −>，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x>综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++−．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x−<−=+−≤<≥()y f x=的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++−3,112,12132x x x x x x >=+−≤≤ −<−，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立 当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b −+≥在[)1,+∞上恒成立 所以30a −≥，且30a b −+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b −+−≥恒成立 结合3a ≥，可知20b −≥即2b ≥综上可知32a b ≥ ≥ ，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, , 所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ++++≥++， 所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+， 由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，当且仅当124a c=，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc +++++++ ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=−++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=−++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=−−= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bcbc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=． (1)求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a −≥． 【答案】(1)43；(2)见详解． 【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)x y z −++++ …故由已知得232(1)(1)143()x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a −+−+−.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()x y z a −+−+− …故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +−+−+−…，当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a −+−+−的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a −≤或1a −≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++−++++=+++=≥， 故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥．当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a −≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥． 【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324×××=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 【答案】(1)[0，43]；(2)见解析． 解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥−≤ ①，或111x x < −≤ ②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14−≤x ≤34，∴N =[14−，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x−−≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]． 解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++ 29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=−+≥． (江苏苏州 褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+． 故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ． (II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥×+×+×++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+(Ⅱ>是a b c d −<−的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d+=+，abcd >，得22>++>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d −<−，则22()()a b c d −<−．即22()4()4a b ab cd cd +−<+−．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)>．(ⅱ)>22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a bab −=+−2()4c dcd <+−2()c d =−．因此a b c d −<−，综上，>是a b c d −<−的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法， 假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证解析：由ab b a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ++=+⋅+≥+=5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++−33233332()2()4a b a b a b ≥++−=+=解法三： 又，所以．当时，等号成立．所以，，即． (2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为， 所以，即 ，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为， 所以： ． 又，所以: 。

于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝5， －3≤x≤2， 2x＋1， x＞2.
所以当 x＜－3 时，g(x)＞5；当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x＞2 时，g(x)＞5.
综上可得，g(x)的最小值为 5.从而若 f(x)＋f(x＋5)≥m， 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－ ∞，5]．
4．证明不等式的基本方法 (1)比较法 作差或作商比较． (2)综合法 根据已知条件、不等式的性质、基本不等 式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法 执果索因的证明方法． (4)反证法 反设结论，导出矛盾． (5)放缩法 通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明 方法． (6)数学归纳法 证明与正整数有关的不等式．
解析： (1)由|ax＋1|≤3 得－4≤ax≤2.又 f(x源自≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当 a≤0 时，不合题意．当 a＞0 时，－4a≤x≤2a，得 a＝2.
(2)记 h(x)＝f(x)－2f2x，
1，
x≤－1，
则 h(x)＝－4x－3， －1＜x＜－12， ，
－1，
x≥－12
(2012·广 东 卷 ) 不 等 式 |x ＋ 2| － |x|≤1 的 解 集 为
______． 解析： 若 x≥0，则 x＋2－x≤1，无解；
若－2≤x＜0，则 x＋2＋x≤1，得－2≤x≤－12；
若 x＜－2，则－(x＋2)＋x≤1，得 x＜－2.
综合上述，得不等式|x＋2|－|x|≤1 的解集为xx≤－12
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/192022/1/19January 19, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/192022/1/192022/1/191/19/2022 18 、 人 自 身 有 一种 力 量 ， 用 许 多 方式 按 照本 人意 愿 控 制 和影 响 这种 力量 ， 一 旦 他这 样 做 ， 就会 影 响 到 对他 的 教育 和对 他 发 生 作用 的 环境 。 2022/1/192022/1/19

A. 4
√B. 3
C. 2
D. 1
解析 11 答案
热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假. 2.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为 充要条件.
13
例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A， B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则 A，B，C都没有及格.在下列四个命题中，为p的逆否命题的是 A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
√C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析 14 答案
(2)(2017 届四川雅安中学月考)“m≤ʃ 21(4－3x2)dx”是“函数 f(x)＝2x＋
2x1＋m的值不小于 4”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√C.“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D.命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析 18 答案
(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC中，“A<B<C”是“cos 2A>cos 2B
>cos 2C”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
(2)(2017 届安徽百校论坛联考)已知命题 p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－22x>0， 则下列叙述正确的是 A.綈 p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－22x≤0

专题23不等式选讲【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b +≤+.（2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立.③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.④推论2:||a|−|b||≤|a −b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.（三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b +≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥L a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学试题】已知函数()f x x a x b =++-.（1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b +的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+2．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． （1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}41x x x ><-或；（2）[4,0]-.3．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知函数()|3|f x x =-.（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求()g x =.【答案】（1）[2,4]；（2.4．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学试题】已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集； （2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++…恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|22x x -<<；（2）22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.5．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】（1）已知,,a b c +∈R ，且1a b c ++=，证明1119a b c++≥；（2）已知,,a b c +∈R ，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学试题】已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 【答案】（1）2m =；（2）见证明.7．【海南省海口市2019年高考调研测试卷数学试题】已知函数()221f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()0f x x a +-<的解集为(,)m n ，且6n m -=，求a 的值.【答案】（1）3（2）8a =8．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考数学试题】已知()2321f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),0-∞；（2）2,23⎛⎫-⎪⎝⎭.9．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学试题】已知函数0,))0((f x x a x b a b =+-->>. （1）当1,2a b ==时，解关于x 的不等式()2f x >；（2）若函数()f x 的最大值是3，求12a b+的最小值.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(133+.10．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学试题】已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M .（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥. 【答案】（1）72；（2）详见解析.。