2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲 数学归纳法

数 学 G 单元立体几何G1空间几何体的结构19．G1 如图1­8，长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图1­819．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确．18．G1，G4，G5 如图1­5，在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.18．G1、G5如图1­4，直三棱柱ABC­ A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­ AEC的体积．图1­418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F ­ AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 9．G1 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22πD ．42π9．B 由条件知该直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，故围成的几何体的体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.10．G1、G2一个几何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1­310.83π根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m3)．G2空间几何体的三视图和直观图9．G2一个四面体的三视图如图1­2所示，则该四面体的表面积是( )图1­2A．1＋ 3 B．1＋2 2C．2＋ 3 D．2 29．C 四面体的直观图如图所示，设O是AC的中点，则OP＝OB＝1，因此PB＝2，于是S△PAB＝S△PBC＝34×(2)2＝32，S△PAC＝S△ABC＝12×2×1＝1，故四面体的表面积S＝2×1＋2×32＝2＋ 3.11．G2圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1­4所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图1­4A ．1B ．2C ．4D ．811．B 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r ，高为2r 的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r 的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋πr ·2r ＋2πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.6．G2 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1­2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图1­2A.18B.17 C.16 D.156．D 由剩余部分的三视图可知，正方体被截去一个三棱锥，剩余部分如图所示，设正方体的棱长为a ，则被截去的三棱锥的体积为13×12a 2×a ＝16a 3，而正方体的体积为a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.7．G2 某四棱锥的三视图如图1­2所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )图1­2A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．C 根据三视图可得，此四棱锥是底面是正方形，有一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，所以最长棱的棱长为PC ＝12＋12＋12＝3，故选C.9．G2 某几何体的三视图如图1­3所示，则该几何体的表面积等于( )图1­3A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．159．B 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(1＋1＋2＋2)×2＋12×(1＋2)×1×2＝11＋2 2.10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图1­3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图1­3A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x＝223，故V正＝x3＝16227，又V圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.5．G2一个几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的表面积为()图1­2A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋45．D 该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4.14．G2，G7 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P ­A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1­PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P ­A 1MN 的体积为13×12×14＝124.10．G1、G2 一个几何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1­310.83π 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m 3)．2．G2 某几何体的三视图如图1­1所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图1­1A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3 2．C 该几何体为一个正方体和一个四棱锥的组合体，故所求体积为23＋13×2×2×2＝323.G3平面的基本性质、空间两条直线6．G3 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交6．D 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选D.5．A2、G3l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件5．A 由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.G4空间中的平行关系18．G4，G5，G11 如图1­3，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图1­318．G1，G4，G5如图1­5，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.18．G4、G5如图1­3，三棱台DEF­ ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.18．证明：(1)证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF­ ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)如图，连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC，又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.18．G1，G4，G5一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图1­4，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°， 所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A 正确；对于B ，直线l ，m 相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C ，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D ，l ，m 平行和异面都有可能，故不正确．16．G4、G5 如图1­2，在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.图1­216．证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.G5 空间中的垂直关系18．G4，G5，G11如图1­3，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．图1­320．G5、G12 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图1­4所示的阳马P ­ ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P ­ ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．图1­420．解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE . 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB . (2)由已知，PD 是阳马P ­ ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ；由(1)知，DE 是鳖臑D ­ BCE 的高，BC ⊥CE ， 所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD . 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE＝4.18．G5 如图1­5，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC, 三棱锥E ­ ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．图1­518．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ­ ACD 的体积V E ­ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6，所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ ACD 的侧面积为3＋2 5.18．G1，G4，G5 如图1­5，在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．图1­518．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于1 3OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为3 3.20．G5、G12如图1­5，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P­ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．图1­520．解：方法一：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点， 所以AC ⊥DO .又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ⊂平面PDO ，PO ⊂平面PDO ， 所以AC ⊥平面PDO . (2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为 12×2×1＝1. 又因为三棱锥P ­ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P ­ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12＋12＝ 2. 同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P ­ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P, 使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而OC′＝OE＋EC′＝22＋62＝2＋62，亦即CE＋OE的最小值为2＋62.方法二：(1)(2)同方法一．(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以∠OPB＝45°，PB＝12＋12＝ 2.同理PC＝ 2.所以PB＝PC＝BC，所以∠CPB＝60°.在三棱锥P­ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在△OC′P中，由余弦定理得，OC′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－2 2×22×12－22×32＝2＋3.从而OC′＝2＋3＝2＋62.所以CE＋OE的最小值为22＋62.18．G1、G5如图1­4，直三棱柱ABC­ A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­ AEC的体积．图1­418．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC­ A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD . 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F ­ AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 18．G4、G5 如图1­3，三棱台DEF ­ ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .18．证明：(1)证法一：如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH . 在三棱台DEF ­ ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形， 则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点， 所以HM ∥BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF ­ ABC 中， 由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形HBEF 为平行四边形， 可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以GH ∥AB .又GH ∩HF ＝H ，AB ∩BE ＝B ， 所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH .(2)如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点， 所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ， 又H 为BC 的中点， 所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形， 所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ， 所以BC ⊥平面EGH . 又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面EGH .18．G5 如图1­5(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．图1­518．解：(1)证明：在图(1)中， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高． 由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 18．G1，G4，G5 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1­218．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.17．G4、G5、G11如图1­4，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°， 所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.4．G4，G5 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m4．A 由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，故不正确；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，故不正确；对于D，l，m平行和异面都有可能，故不正确．18．G5，G11如图1­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1­418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF . 因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E . 因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 20．G5、G7 如图1­4，三棱锥P ­ ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P ­ DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1­420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ­DFBC 的高． 在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P ­DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.G6 多面体与球 G7 棱柱与棱锥10．G2、G7、K3 某工件的三视图如图1­3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )图1­3A.89π B.827πC.24（2－1）3π D.8（2－1）3π10．A 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x ＝223，故V 正＝x 3＝16227，又V 圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.14．G2，G7 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P ­A 1MN 的体积是________．14.124 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为1且该棱柱为直三棱柱，其底面积为12，三棱锥A 1­PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱锥P ­A 1MN 的体积为13×12×14＝124.5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.20．G5、G7 如图1­4，三棱锥P ­ ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P ­ DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．图1­420．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在直角三角形ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S四边形DFBC＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ­DFBC 的高． 在直角三角形PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 所以V 四棱锥P ­DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13×718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.9．G7 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9.7 设新的底面半径为r ，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr 2×4＋πr 2×8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.G8 多面体与球5．G2、G7、G8 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为( )图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π25．B 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＋π×12×2＝13π6.10．G8 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．C 因为V 三棱锥O ­ ABC ＝V 三棱锥C ­ OAB ，所以三棱锥O ­ ABC 体积的最大值即三棱锥C ­OAB 体积的最大值，所以当C 到平面OAB 的距离最大时，即CO ⊥平面OAB 时，体积最大，设球的半径为r ，则V 三棱锥O ­ ABC＝V三棱锥C ­ OAB＝16r 3＝36，所以r ＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.图1­2A.13＋2πB.13π6C.7π3 D.5π2G9 空间向量及运算G10空间向量解决线面位置关系G11空间角与距离的求法17．G4、G5、G11 如图1­4，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．图1­417．解：(1)证明：如图所示，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A ，且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB, 又由AB ⊥BB 1，得A 1M ⊥BB 1. 在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°，所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.18．G5，G11如图1­4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．图1­418．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78. 18．G4，G5，G11 如图1­3，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．图1­3 图1­422．G11、G12 如图1­6，在四棱锥P ­ ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1­622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 所以m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →＝(－1，0，2)，可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)， 从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910，当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.G12 单元综合6．G12 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图1­1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．B 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r ，则14×2πr ＝8，得r ＝16π，所以米堆的体积为13×14πr 2×5≈3209(立方尺)，3209÷1.62≈22(斛)．22．G11、G12 如图1­6，在四棱锥P ­ ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1­622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．。

a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， 解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an>0). 即当n＝k＋1时，通项公式也成立.
由①和②可知，对所有 n∈N＋，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立.
解析答案
命题点3 存在性问题的证明
例 5 (2014·重庆)设 a1＝1，an＋1＝ a2n－2an＋2＋b(n∈N＋). (1)若 b＝1，求 a2，a3 及数列{an}的通项公式；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D ) A.过程全部正确 B.n＝1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的最小值是 8.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算
a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( B )
A.3n－2
B.n2
C.3n－1
D.4n－3
解析 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.
解析答案
求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋). 证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 所以当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有n∈N＋等式成立.

选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分] 根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t 2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52， 此时，直线与圆相离， 所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3. ∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′， ∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)． 2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t y ＝5＋5sin t. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。

§2.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( √ )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( × )2．(2013·某某)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2013·某某)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 4．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．∵f (－14)＝e 41－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0， ∴f (14)·f (12)<0.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________． 答案 3解析 由题意知，当x >1时，f (x )单调递减，因为f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.题型一 函数零点的判断和求解例1 (1)(2012·某某)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．思维启迪 (1)函数零点的确定问题；(2)f (x )＝f (a )的实根个数转化为函数g (x )＝f (x )－f (a )的零点个数． 答案 (1)C (2)3解析 (1)当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0,4]，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6. (2)令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a ，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．思维升华 函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法．(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 (1)B (2)B解析 (1)∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0， ∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数． 而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 题型二 二次函数的零点问题例2 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．思维启迪 可将问题转化为f (x )＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图象特征转化题中条件．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0， ∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，某某数a的取值X 围．解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0， 即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 题型三 函数零点的应用例3若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，某某数a 的取值X 围．思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值X 围是(－∞，2－22]． 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1<x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则a 的取值X 围是( )A ．(1,5)B ．(0，15)∪[5，＋∞)C ．(0，15]∪[5，＋∞)D ．[15，1]∪(1,5]答案 B解析 依题意知函数f (x )的周期为2，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0<a <15或a ≥5，即实数a 的取值X 围是(0，15)∪[5，＋∞)．函数与方程思想的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．思维启迪 (1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图象有交点，所以可以结合图象求解；(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解． 规X 解答解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，[3分]因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．[6分]方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．[3分]可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.[6分](2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．[8分]∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.[10分]故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的X 围及零点的个数以及已知函数零点求参数X 围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．(2)本题的易错点是确定g (x )的最小值和f (x )的最大值时易错．要注意函数最值的求法.方法与技巧1．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数X 围问题可转化为函数值域问题． 失误与防X1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A 组 专项基础训练一、选择题1．方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， ∴f (x )＝0在(2,3)有零点，又f (x )为增函数，∴f (x )＝0的零点在(2,3)内． 2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.4．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为单调递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为单调递增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .5．已知x 0是函数f (x )＝11－x ＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 答案 D解析 令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象如图所示．由图象易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0.二、填空题6．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X围是________． 答案 (0,1) 解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图． 由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)． 8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．答案 {x |－32<x <1}解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.证明 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，∴存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.10．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值X 围，并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组 专项能力提升 1．已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10答案 A解析 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1. 2．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.3．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值X 围是________．答案 (512，34] 解析 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在 原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2,3)的直线，点A (－2,0)，k P A ＝3－02－(－2)＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34.4．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值X 围．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56. 即－56<m <－12， 故m 的取值X 围是(－56，－12)． (2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等 式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0Δ≥00<－m <1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2. 故m 的取值X 围是(－12，1－2]． 5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值X 围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值X 围是[1，＋∞)．。