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高中数学2.1.1指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1

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§2．1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时） 教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时：9月20日星期一 （I）复习回顾 引例：填空

（1）*)nnaaaanN个（； a0=1（a)0； nnaa1)Nn,0a(*

(2)mnmnaaa (m,n∈Z)； ()mnmnaa (m,n∈Z)； ()nnnabab (n∈Z) （3）_____9； -_____9； ______0 （4）)0a_____()a(2； ________a2 （II）讲授新课 1.引入：

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为mnaa可看作mnaa,

所以mnmnaaa可以归入性质mnmnaaa；又因为nba)(可看作mnaa，所以

nnn

bab

a)(可以归入性质()nnnabab(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性

质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（*Nn）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4  2，-2叫4的平方根 23=8  2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根 25=32  2叫32的5次方根 „ 2n=a 2叫a的n次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书）

一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中1n，且nN。

问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？nax是否正确？ 分析过程： 例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）

解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为632a)a(，所以a2是a6的3次方根。 结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为nax。

从而有：3273，2325，236aa 例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 解：因为4216，16)2(4，所以2和-2是16的4次方根； 因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反

数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：)0a(an

其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。 例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n次方根是0，记作nna,00即当a=0时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书）

*)(2,12,Nkknaknaxnn 其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。

注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书）

①aann）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例4：求33)2( ， 552 ， 443 ， 2)3( 由所得结果，可有：（板书）

②为偶数为奇数；nanaann|,|, 性质的推导如下： 性质①推导过程： 当n为奇数时，aaaxaxnnnn)(,得由

当n为偶数时，aaaxaxnnnn)(,得由 综上所述，可知：aann)( 性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：nnaa 当n为偶数时，由n次方根定义得：nnaa 则nnnnaaa|||| 综上所述：为偶数，为奇数n|a|n,a)a(nn

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例1．求下列各式的值：

3381）（－）（ 2102）（－）（ 4433）－（）（

（4）2)ba(（a>b）

注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值

(1)532 (2)4)3( (3)2)32( (4)625 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值

3271－）（

6a)2( 243）－（）（ 2)x31x()4(

b.书P69习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业： a.预习内容：课本P59—P62。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？ 第二课时：9月21日星期二 （I）复习回顾 1.填空 （1）；_______32______,6453 （2）______81______,8144； （3）；______)6(______,)3(5544 (4)；_______a_____,a312510 （5）_____)3(___,27755）（； （6）.______5____,)4(4466 （II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：25101052aa,a)a(；

也可根据n次方根的性质来解：2552510a)a(a。 问题1：观察34122510aa,aa，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ 43124122510510aaa,aaa，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，

根式可以写成分数指数幂的形式。 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形

式？如：3232aa是否可行？ 分析：假设幂的运算性质mnnma)a(对于分数指数幂也适用，那么2332332aa)a(，这说明32a也是2a的3次方根，而32a也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是3232aa。这说明3232aa可行。 由此可有： 1.正数的正分数指数幂的意义：

1*,,,0(nNnmaaanmnm且)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？

分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(等等；

反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331而实际上；又如： ，）（）（）（341241288834434124128888）（）（

。这样就产生了混乱，因此

“a>0”这个限制不可少。至于28)8(331，这是正确的，但此时31)8(不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。而 323251055)2()2(,)2()2(，那是因为2210102)2(,2)2(，负号内部消化了。

问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？ 分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。 2.负分数指数幂：

)1*,,,0(1nNnmaaanmnm且

3.0的分数指数幂：（板书） 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

(0,,)rsrsaaaarsQ；

()(0,,)rsrsaaarsQ ()(0,0,)rrrabababrQ (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用mnmnnmnaa)a(来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定是无理数）的意义：p,0p(ap ① ap表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解（投影2）

例2．求值：43321328116411008－－－），（），（， 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

解：。＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－82732328116642224110110101010042228343443632323121221221232332332 例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： 3232

,,(0)aaaaaaa式中

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：

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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 分数指数幂课件 新人教A版必修1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 分数指数幂课件 新人教A版必修1


4
B． a－1 D． 1 4 a－1
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，则 a－1＞0 . 4 1－a ·
2
①
3 1 － (a － 1) 4 ＝ (a － 1)· (a － 1) 3 ＝ |1 － a|· a－1
－
3 4
＝(a－1)
1 4
＝ a－1.
4
随堂测评
1． 若 a＞0， 且 m， n 为整数， 则下列各式中正确的是( A．a ÷ a ＝a
1 －22＝(－2)3 3 x3y3＝xy4
2 2
)
4 3
(x＞0，y＞0)
1 －b 3
C． a －b
1 ＝a3
3 x y 1 － D. y＝(x) 3
(x≠0，y≠0)
[答案] D
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.
[答案] 3 4
x 10 3 x－y [解析] 10 ＝10y＝4.
m n
m n
)
B．am· an＝am＋n D．1－an＝a0－n
C．(am)n＝am＋n
[答案] B
2. a－2可化为( A．a
－
5
)
5 B．a2 5 D．－a2
2 5
2 C．a5
[答案] A
4 3．a5
的根式为(
4 4
) B． a5
5
A． a C．
5
4
a5
D．
a4
[答案] A
4．下列各式中正确的是( A． B． 6
规律总结： 在将根式化分数指数幂的形式时，关键
是分清指数中分子、分母的位置．
1
将下列根式与分数指数幂进行互化．
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根

2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根


第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
课时作业
第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：4 0.062 5＋
245－
3
27 8
＝4 0.54＋ 2 522－ 3 323＝12＋52－32＝32. 答案：32
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
4．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3. 解析：由题得 a≥1， ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1.
原式＝[a
2 3
·(a－3)
1 2
]
1 3
·(a
5 2
·a
13 2
)
1 2
＝a
2 9
·a
1 2
·a
5 4
·a
13 4
＝a
5 18
·a－2＝a
41 18
＝
1
.
a2·18 a5
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[易错警示]
错误原因
纠错心得
避免错误的方法是先将根式化
错解中主要是在进行化简时，根 为分数指数幂，然后按分数指数
C．1 或 2a－1
D．0
(2)当 a、b∈R 时，下列各式总能成立的是( )
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B
2.1.1 指数与指数幂的运算

2.1.1 指数与指数幂的运算

14
C 含量就可以知道这些
东西与世隔绝了多少年，从而判断出古墓的年代． 画里话外：解决该问题要用到本章指数函数和对数函数的 相关知识，除此之外，你是否还想知道以下有趣的问题：地震 震级是如何确定的？指数函数与对数函数有什么联系？让我们 带着这些问题走进本章的学习„„
第二章
2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
6
n
n
2
2 n
2
2
4
4
4
[错解] ②③④
由题意，得①显然不成立，②③④都成立．
[错因分析] 该解法中忽略了 an＝a 成立的条件是只有当 n 为奇数，或者当 n 为偶数且 a>0 时才成立． [思路分析] n 要解决此类化简、求值题，关键是正确理解
n
an＝a 成立的条件．
[正解] ② 由题意，得①显然不对，②中∵a2＋b2≥0，②一定成立， 因此②对；③和④中，∵ a ， b ∈ R ，∴ a ＝ |a|， b4 ＝ |b| ， 10 a＋b10＝|a＋b|. 4
分别化简得结论
[解析] －3b.
(1)原式＝|b|＋|a＋b|＋a－b＝－b－a－b＋a－b＝
(2)原式＝ x－12－ x＋32 ＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴－4<x－1<2,0<x＋3<6. 当－4<x－1<0，即－3<x<1 时， |x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
[思路分析] (2)解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对
被开方数的要求及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(± 9)2＝81，∴81 的平方根为± 9，即 a＝± 9. 又(－2)3＝－8，∴－8 的立方根为－2，即 b＝－2. ∴a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11 或 7. 6 (2)①由于 6 为偶数，所以 x＝± 2016. ②由于 5 为奇数，所以 x＝ －2016＝－ 2016. 5 5
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1

2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1

n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。

分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。

教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。

将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。

教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。

根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。

但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。

二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。

然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。

教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。

由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。

然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。

通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。

三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。