专题跟踪训练(四)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |2x －x 2>0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x >1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] 因为B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，所以A ∪B ＝{x |x >0}，故选A.[答案] A2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1a >b ＋1b B ．a ＋1b >b ＋1a C.b a >b ＋1a ＋1D.2a －b a ＋2b >a b[解析] ∵a >b >0，∴1b >1a .又a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a ，故选B. [答案] B3．(2015·北京卷)若x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．2[解析] 由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z ＝x ＋2y 经过点A (0,1)时，目标函数取得最大值，且z max ＝0＋2×1＝2，故选D.[答案] D4．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0][解析] 结合二次函数图象求解．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A.[答案] A5．(2015·福建卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x－y 的最小值等于( )A ．－52 B ．－2 C ．－32D ．2[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝2x －y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，z ＝2x －y 取得最小值，且z min ＝2×(－1)－12＝－52.故选A.[答案] A6．(2015·兰州第二次模拟)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 [解析] 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x >12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12<x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74，故选A.[答案] A7．(2015·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q[解析] ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R ，故选C.[答案] C8．(2015·太原一模)已知实数x ，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )A ．10B ．12C ．14D ．15[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，∴c ＝5，当x ＝4＋c 3＝3，y ＝8－c3＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10，故选A.[答案] A9．(2014·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23B.223C.33D.233[解析] 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)，故选B.[答案] B10．若不等式m ≤12x ＋21－x 当x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．9 B.92 C ．5 D.52[解析] 令f (x )＝12x ＋21－x ，由于f ′(x )＝－12x 2＋2(x －1)2＝4x 2－(x －1)22x 2(x －1)2＝3x 2＋2x －12x 2(x －1)2＝(x ＋1)(3x －1)2x 2(x －1)2，即函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递增，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝92，故m 的取值范围是m ≤92，故选B.[答案] B11．(2015·山西质监)若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) [解析] 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x－1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.[答案] B12．若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y－1z 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xyx 2＋4y 2－3xy＝1x y ＋4y x －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.[答案] D 二、填空题13．函数 f (x )＝lg 1－x1＋x的定义域是________．[解析] 由1－x1＋x >0得－1<x <1.因此，函数f (x )的定义域是(－1,1)．[答案] (－1,1)14．不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，∴p ＝{x |x >2或x <1}．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，要使p 是q 的充分不必要条件，需满足p q .当－a <1时，q ＝{x |x >1或x <－a }，此时不满足p q ；当a ＝－1时，q ＝{x |x ≠1}，p q ，满足题意；当－a >1时，q ＝{x |x <1或x >－a }，由p q 得－a <2，即－2<a <－1.综上可知，－2<a ≤－1.[答案] (－2，－1]15．(2015·云南名校联考)实数x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤k ，z ＝x 2＋y 2，若z 的最大值为13，则k 的值为________．[解析] 作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最大值为13，即|OA |2＝13，而A (k ，k ＋1)，所以k 2＋(k ＋1)2＝13，解得k ＝2或k ＝－3(舍去)．[答案] 216．若至少存在一个x>0，使得关于x的不等式x2<2－|x－a|成立，则实数a的取值范围为________．[解析]问题转化为：至少存在一个x>0，使得关于x的不等式|x－a|<2－x2成立，令f(x)＝|x－a|，g(x)＝2－x2，函数f(x)＝|x－a|与x轴交于点(a,0)，与y轴交于点(0，|a|)，①当函数f(x)＝|x－a|的右支与y轴交于点(0，|a|)，此时有a<0，若|a|≥2，解得a≥2或a≤－2，－x2的上方，不合乎题意；②在y 轴右侧，当函数f (x )＝|x －a |的左支与曲线g (x )＝2－x 2的图象相切时，函数f (x )＝|x －a |左支图象对应的解析式为y ＝a －x ，将y ＝a －x 代入y ＝2－x 2得a －x ＝2－x 2，即x 2－x ＋(a －2)＝0，令Δ＝(－1)2－4×1×(a －2)＝0，即9－4a ＝0，解得a ＝94，则当a ≥94时，如下图所示，在y 轴右侧，函数f (x )＝|x －a |的图象在函数g (x )＝2－x 2的上方或相切，则不等式|x －a |≥2－x 2在(0，＋∞)上恒成立，不合乎题意；③当－2<a <94时，如图所示，在y 轴右侧，函数f (x )＝|x －a |的图象的左支或右支与函数g (x )＝2－x 2相交，在y 轴右侧，函数f (x )的图象中必有一部分图象在函数g (x )＝2－x 2的下方，即存在x >0，使得不等式|x －a |<2－x 2成立，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94。
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语、不等式、函数与导数第二讲函数的图象与性质课时作业理A组—-高考热点基础练1．（2016·济南3月模拟）函数y＝log32x－1的定义域为（）A．[1，＋∞）B．(1，＋∞)C。
错误! D.错误!解析：由log3（2x－1)≥0得2x－1≥1,x≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞），故选A。
答案：A2．(2016·沈阳模拟）已知函数f(x）＝错误!则f（f（4））的值为( ）A．－19B．－9C.19D．9解析:因为f（x)＝错误!所以f(f（4）)＝f（－2）＝错误!。
答案：C3．（2016·湖南东部六校联考）函数y＝lg|x|( ）A．是偶函数，在区间(－∞，0）上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞,0)上单调递减C．是奇函数，在区间（0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减解析:因为lg｜－x｜＝lg｜x｜,所以函数y＝lg｜x｜为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0,＋∞）上单调递增，由其图象关于y轴对称，可得y＝lg|x｜在区间(－∞，0)上单调递减,故选B.答案:B4．函数f(x)＝2|log2x|－错误!的图象为( ）解析：由题设条件，当x≥1时，f(x）＝2log2x－错误!＝错误!;当0〈x〈1时,f(x)＝2－log2x－错误!＝错误!－错误!＝x.故f(x）＝错误!其图象如图所示．故选D。
