2019最新高中数学 第三章 导数及其应用章末综合检测 苏教版必备1-1

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2分离参数法,先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关 函数得最值问题.
3数形结合法,利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函 数图象直观化.
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[跟进训练] 1．设y＝mx2－mx－6＋m， (1)若对于m∈[－2,2]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数x的取 值范围； (2)若对于x∈[1,3]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数m的取值 范围．
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(2)法一：要使m(x2－x＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m<x2－6x＋1在[1,3]上恒成立， 而当x∈[1,3]时， x2－6x＋1＝x－1262＋34≥9－63＋1＝67， 所以m<67， 因此m的取值范围是－∞，67．
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法二：①当m＝0时，y＝－6<0对x∈[1,3]恒成立，所以m＝0． ②当m≠0时y＝mx2－mx－6＋m的图象的对称轴为x＝12， 若m>0，则y＝mx2－mx－6＋m在[1,3]上y随x的增大而增大， 所以x＝3时，y的最大值为7m－6． 要使mx2－mx－6＋m<0对x∈[1,3]恒成立， 只需7m－6<0，
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}； 当a<－1时，原不等式的解集为R．
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不等式的解法 1一元二次不等式的解法. ①将不等式化为ax2＋bx＋c>0a>0或ax2＋bx＋c<0a>0的形 式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的 判别式确定一元二次不等式的解集.
，显然
－2 －k，－52．
(2)当－k＝－52时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅．
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(3)当－52<－k，即k<52时，

3.1.2 瞬时变化率——导数(二)学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.知识点一 函数的导数思考 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案 函数f (x )在点x 0附近的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→A ，A 就是f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0).梳理 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0). 知识点二 导数的几何意义 思考 导数f ′(x 0)有什么几何意义？答案 f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 知识点三 导数与导函数的关系思考 导函数f ′(x )和f (x )在一点处的导数f ′(x 0)有何关系？答案 函数f (x )在一点处的导数f ′(x 0)是f (x )的导函数f ′(x )在x ＝x 0的函数值. f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值. 梳理 (1)导函数的定义若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x ).在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数. (2)f ′(x 0)的意义f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1.函数f (x )在区间(a ，b )内可导就是f (x )对于任意x 0∈(a ，b )都有f ′(x 0)存在.( √ )2.f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点x 0而言的，它是一个确定的值.( √ )3.f ′(x )表示函数f (x )的导函数，简称导数，是对f (x )的定义域或指定的区间(a ，b )而言的.( √ )4.f (x )在其定义域内的每一点x 0都一定有f ′(x 0)存在.( × )类型一 求函数的导函数命题角度1 求函数在某点处的导数 例1 求函数y ＝x 在x ＝1处的导数. 考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数 解 Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1.当Δx →0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1→12，∴y ＝x 在x ＝1处的导数为12.反思与感悟 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)得导数，当Δx →0时，ΔyΔx→f ′(x 0).关键是在求ΔyΔx 时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用.跟踪训练1 利用定义求函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数 解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx －Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，从而，当Δx →0时，1－1x (x ＋Δx )→1－1x 2，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为0. 命题角度2 求函数的导函数 例2 求函数y ＝－x 2＋3x 的导函数. 考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数解 ∵Δy Δx ＝－(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(－x 2＋3x )Δx＝3－2x －Δx ，∴当Δx →0时，3－2x －Δx →3－2x ， 故函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3－2x .反思与感悟 利用导数的定义求函数的导函数是求函数的导函数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值. 跟踪训练2 求函数f (x )＝x －1x 的导函数.考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数 解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝Δx ＋Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1＋1x (x ＋Δx )， ∴当Δx →0时，1＋1x (x ＋Δx )→1＋1x 2，∴函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1＋1x 2.类型二 导数几何意义的应用例3 (1)求曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1,2)处的切线方程； (2)求曲线y ＝2x 2－7过点P (3,9)的切线方程. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 解 (1)易证得点P (1,2)在曲线上， 由y ＝x 3＋2x －1，得Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1 ＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3，ΔyΔx＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2. 当Δx →0时，ΔyΔx ＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2→3x 2＋2，即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5. 故点P 处的切线斜率为k ＝5.所以点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.反思与感悟 (1)利用导数的几何意义求曲线在点x ＝x 0处的切线方程的步骤： ①求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0).②根据直线的点斜式方程，得切线为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)(其中y 0＝f (x 0)). (2)利用导数的几何意义求过点P (m ，n )所作的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤： ①设切点坐标为Q (x 0，y 0)，求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0). ②根据直线的点斜式方程写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).③将点P (m ，n )代入切线方程并整理成关于x 0的方程，解此方程求得x 0的值. ④由x 0的值，求出y 0＝f (x 0)及斜率k ＝f ′(x 0)，进而写出切线方程. 跟踪训练3 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx ＝2x 0＋1＋Δx →2x 0＋1，∴切线的斜率为2x 0＋1，则k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.1.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________.考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 f ′(x A )<f ′(x B )解析 由导数的几何意义知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ).2.已知f (x )＝x 2＋3x ，则f ′(x )＝________. 考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数 答案 2x ＋3解析 ∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(x 2＋3x )Δx＝2x Δx ＋(Δx )2＋3Δx Δx＝Δx ＋2x ＋3，∴当Δx →0时，ΔyΔx→2x ＋3，即f ′(x )＝2x ＋3.3.已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 2解析 由题意得Δy Δx ＝a (1＋Δx )2＋b －a －bΔx＝a Δx ＋2a ，当Δx →0时，ΔyΔx→2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴ba＝2.4.若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)， 由题意得ΔyΔx＝2(x 0＋Δx )2－4(x 0＋Δx )＋P －(2x 20－4x 0＋P )Δx＝2(Δx )2＋4x 0Δx －4Δx Δx＝4x 0＋2Δx －4.当Δx →0时，ΔyΔx →0，即4x 0－4＝0.∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1). ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.5.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a .令2a ＝2，得a ＝1.1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、填空题1.曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角为________.考点 切线方程求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 135°解析 Δy ＝93＋Δx －3＝－3Δx 3＋Δx ，Δy Δx ＝－33＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx →－1，∴切线的斜率为－1.又∵直线的倾斜角α满足0°≤α<180°， ∴α＝135°.2.如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 2解析 f (5)＝－5＋8＝3.由导数的几何意义知，f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 9解析 由导数的定义得Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋11－12Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2，则曲线在点P (1,12)处的切线斜率为3，∴在点P (1,12)处的切线方程为y －12＝3(x －1)，令x ＝0，则y ＝9.4.已知曲线f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 －7解析 设P (x 0，y 0)，Δy Δx ＝2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx＝4x 0＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→4x 0，由导数的几何意义，可得4x 0＝8，x 0＝2. ∵点P 在切线8x －y －15＝0上， ∴8×2－y 0－15＝0，得y 0＝1， 则f (2)＝1，即8＋a ＝1，得a ＝－7.5.已知函数y ＝f (x )在点(2，3)处的切线方程为y ＝kx －1，则f ′(2)＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 2 2解析 由点(2，3)在直线y ＝kx －1上得 3＝k ×2－1，∴k ＝2 2.根据导数的几何意义得f ′(2)＝2 2.6.设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为______________. 考点 切线方程求解及应用 题点 求切点坐标 答案 (1,0)或(－1，－4)解析 根据导数的定义可求得Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－xΔx＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2＋1，当Δx →0时，ΔyΔx→3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x－1，所以f (x )在P 0处的导数值趋近于4.设点P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时点P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4).7.若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b ＝________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值答案 3解析 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2. 根据导数的定义可求得Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )－x 3－ax Δx＝3x 2＋3x ·Δx ＋a ＋(Δx )2， 当Δx →0时，ΔyΔx →3x 2＋a .∴3×12＋a ＝2，∴a ＝－1，b ＝3.8.y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝a (x )的图象如图所示：而下图是其对应导数的图象：则y ＝f (x )对应________；y ＝g (x )对应________；y ＝a (x )对应________. 考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B C A解析 由导数的几何意义知，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )对应B ；y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分切线斜率值趋近负无限，故y ＝g (x )对应C ；y ＝a (x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝a (x )对应A. 9.曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为________. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 83解析 ∵Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx＝3＋3Δx ＋Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx→3，∴曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2，则切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 10.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________. 考点 切线方程求解及应用 题点 由切线的斜率求参数的值 答案 4解析 Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －[(－2)2－(－2)＋c ]Δx＝－5＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →－5.∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值. 考点 函数的导数题点 根据定义求函数的导函数解 因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x ＋Δx .当Δx →0时，2x ＋Δx →2x ， 即f ′(x )＝2x .同理g ′(x )＝3x 2.由题意可知，2x ＋2＝3x 2，解得x ＝1±73.12.求过点(2,0)的曲线y ＝x 3的切线方程. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30).由题意，得所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2，又由导数的定义求得f ′(x 0)＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，切点为(0,0)，k ＝0，直线方程为y ＝0； 当x 0＝3时，切点为(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.13.已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离等于17，求直线l 的方程. 考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程解 Δy Δx ＝41＋Δx －41Δx ＝－41＋Δx. 当Δx →0时，Δy Δx→－4. ∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.故切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0.设直线l 的方程为4x ＋y ＋c ＝0， 由题意有|c ＋8|17＝17. ∴c ＝9或－25，∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.三、探究与拓展14.用导数的定义，求得函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数为________. 考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 －12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx →0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )→－12，∴f ′(1)＝－12. 15.设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.考点 切线方程求解及应用题点 由切线的斜率求参数的值解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx →0时，Δy Δx→3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。

滚动训练(四)一、填空题1.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________. 考点 四种命题题点 否命题答案 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.2.已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.3.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 62解析 设双曲线的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )，∵c >b ，∴只有∠B 1F 1B 2＝60°，∴tan 30°＝b c，∴c ＝3b ， 又a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62. 4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.考点 椭圆的标准方程题点 椭圆定义的理解答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ＝8，c a ＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4， 又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1. 5.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是________. 考点 椭圆的几何性质题点 椭圆中的最值问题答案 1解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1. 6.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.7.若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________.考点 导数的几何意义题点 求切点坐标答案 (1,1)解析 y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋a x≥22a ＝4，则a ＝2， 当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1).8.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.9.若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 1或164解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上，(1)当O (0,0)是切点时，由f ′(x )＝3x 2－6x ＋2得f ′(0)＝2，则切线方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，由Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1. (2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍去)， ∴k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0. 依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164. 综上，a ＝1或a ＝164. 10.曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为__________________. 考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2， 故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2， 则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)，即2x ＋y ＋1＝0.二、解答题11.求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x . 考点 导数的运算题点 求函数导数解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x. 12.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程.考点 导数的几何意义题点 求切线方程解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数范围解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围是(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).三、探究与拓展14.若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围为________. 考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，2－1e ∪⎝⎛⎭⎫2－1e ，2 解析 f ′(x )＝1x＋a (x >0). ∵函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴方程1x＋a ＝2在区间(0，＋∞)上有解， 即a ＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解. ∴a ＜2.若直线2x －y ＝0与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0,2x 0).则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝2，2x 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，此时a ＝2－1e . 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，2－1e ∪⎝⎛⎭⎫2－1e ，2. 15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0，即3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在.∵直线m 恒过定点(0,9)，直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入，得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.。

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。