函数概念及图像(2)

像随着底数a的不断增大是绕定点(1,0) 顺时针旋转的.
如：对数函数y log3 x的图像可以将
y log 2 x顺时针旋转得来

(1)当x 1时，有log3 x log2 x.
(2)当0 x 1时，有log3 x log2 x.
讲解范例 例1求下列函数的定义域： 2 （1） y loga x 解 : 由 x2 0 得 x 0 ∴函数 y loga x 的定义域是

0＜a＜1
x =1
(1,0)
O
(1,0)
y loga x (0 a 1)
X
质 在(0,+∞)上是： 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
拓展： 对数函数y log a x, (a 0, 且a 1)的图
42
的图象填写 下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3
4
x
函数性质
图象位于y轴右方
定义域 :
值 域 :
( 0,+∞) R
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1)
的图象与性质
y
X
a＞1
图 象 性
y
O
x =1
y loga x (a 1)
-3
比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

5.4 二次函数的图象和性质 第2课时
肥城市龙山中学 张军
y x2
抛物线y=x2与y=-x2关于 x轴对称
抛物线y=x2与y=-x2关于 原点中心对称
y x2
复
二次函数y=±x2的性质
习 １.顶点坐标 2.对称轴
巩 3.位置
4.开口方向
固 5.增减性
6.最值
抛物线
y=x2
顶点坐标
（0，0）
二次函数y=-2x2+1的图象是什 么形状?它与二次函数y=-2x2的 图象有什么相同和不同?它的开
口方向、对称轴和顶点坐标分别 是什么? 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).
y y 2x2 +1 y 2x2
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
4
3
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1 (x + 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
质，并会应用.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y=2x²+1的图象与二 次函数y=2x²的图象.
二次函数y=2x²+1的图象与二次函数y=2x²的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?作图看一看．

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。