5.1函数概念和图像

第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。

§5对数函数5．1对数函数的概念5．2:对数函数y＝log2x的图像和性质1．问题导航(1)对数函数满足哪三个条件？(2)对数函数的定义域、值域各是什么？(3)你能写出对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的反函数吗？(4)指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x图像关于哪一条直线对称？2．例题导读(1)P90例1.通过本例学习，理解对数函数的概念．(2)P90例2、P91例3.通过这两例学习，了解对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y ＝a x(a>0且a≠1)互为反函数．试一试：教材P91练习T3、T4你会吗？1．对数函数的概念2．反函数的概念在指数函数y＝a x中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝log a y中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数．通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y＝log a x(a＞0，a ≠1)，指数函数表示为y＝a x(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)是对数函数y ＝log a x(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝a x(a ＞0，a≠1)的反函数．3．函数1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a >0且a ≠1，x ＝log a y 和y ＝log a x 都是对数函数．( )(2)已知a >0且a ≠1，则y ＝a x 的图像与x ＝log a y 的图像相同；与y ＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称．( )(3)函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图像关于x 轴对称．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．设P ＝2log 23，Q ＝log 23，R ＝log 25，则( ) A ．R <Q <P B ．P <R <Q C ．Q <R <P D ．R <P <Q 解析：选C.因为P ＝3，Q ＝log 23<log 24＝2， R ＝log 25<log 28＝3，又因为R >log 24＝2， 所以Q <R <P ，故选C.3．函数f (x )＝log 2x 的定义域为________． 解析：由log 2x ≥0，即log 2x ≥log 21， 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是递增的，所以x ≥1，故f (x )＝log 2x 的定义域为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}4．对数函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫19，2，则f (3)＝________． 解析：设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，因为对数函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫19，2，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log a19＝2.所以a 2＝19. 所以a ＝⎝⎛⎭⎫1912＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13212＝13.所以f (x )＝log 13x .所以f (3)＝log 133＝log 13⎝⎛⎭⎫13－1＝－1.答案：－1对数函数必需满足三个条件(1)log a x 前面的系数必须是1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x .对数函数的概念下列函数是对数函数的序号是________．①y ＝log x 2；②y ＝－log 3x ；③y ＝log 0.4x ；④y ＝log (2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12，且a ≠1，x 是自变量；⑤y ＝log 2(x ＋1)．[解析] ①式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；②式中y ＝－log 3x ＝log 13x 是对数函数；③式中y ＝log 0.4x ＝log 0.42x 是对数函数；④式中对数的底数2a －1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；⑤式中函数在对数的真数处不只是自变量x ，而是关于x 的表达式x ＋1，故不是对数函数．由此可知只有②③④是对数函数．[答案] ②③④方法归纳(1)判定对数函数的标准要满足三个条件；(2)有些函数要在变形后进行判断，观察问题的实质．1．下列函数是对数函数的有________． ①y ＝3log 21x ； ②y ＝log 2x ；③y ＝log a x x (a >0且a ≠1)； ④y ＝log x x (x >0且x ≠1)．解析：①y ＝log 21x 3＝log 321x 是对数函数； ②y ＝log 2x ＝log 4x 是对数函数；③由于真数为x x ，且无论怎样变形均不符合对数函数的三个条件，所以不是对数函数； ④由于底数和真数都是变量，不是对数函数． 答案：①②反函数写出下列函数的反函数： (1)y ＝ln x ；(2)y ＝log 12x ； (3)y ＝πx ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫13x.[解] (1)对数函数y ＝ln x ，它的底数是无理数e ，它的反函数是y ＝e x .(2)对数函数y ＝log 12x ，它的底数是12，它的反函数是y ＝⎝⎛⎭⎫12x .(3)指数函数y ＝πx，它的底数是π，它的反函数为y ＝log πx .(4)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，它的底数是13，它的反函数是y ＝log 13x .方法归纳(1)求一个函数的反函数的步骤：①由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )．②将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )． ③由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域． (2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y ＝x 对称．2．(1)已知函数y ＝g (x )的图像与函数y ＝log 3x 的图像关于直线y ＝x 对称，则g (2)的值为( )A ．9 B. 3 C. 2 D ．log 32(2)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC ．2－xD ．x 2解析：(1)选A.y ＝g (x )与y ＝log 3x 互为反函数， 故g (x )＝3x ， 故g (2)＝32＝9.(2)选B.由题意知(a ，a )在y ＝a x上，可得a a＝a ＝a 12，即a ＝12.因为y ＝(12)x 的反函数为y ＝log 12x ，所以f (x )＝log 12x .函数y ＝log 2x 的图像与性质根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题． (1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)求y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2，14]上的最值． [解] 函数y ＝log 2x 的图像如图所示．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )＞f (2)，即log 2a ＞log 22，则a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．(2)因为2≤x ≤14，所以3≤2x －1≤27， 所以log 23≤log 2(2x －1)≤log 227＝3log 23.所以函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2，14]上的最小值为log 23，最大值为3log 23.借助本例f (x )＝log 2x 的图像，试判断方程⎝⎛⎭⎫12x －log 2x ＝0解的个数．解：在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 的图像，如图所示．由图知它们的图像有一个交点，即方程⎝⎛⎭⎫12x ＝log 2x 仅有一个解，也就是方程⎝⎛⎭⎫12x －log 2x＝0有一个解．方法归纳与对数函数有关的图像的画法(1)列表描点法：列表，描点，连线． (2)平移变换法：左加右减，上加下减．(3)对称变换法：y ＝f (x )与y ＝f (－x )关于y 轴对称；y ＝f (x )与y ＝－f (x )关于x 轴对称；y ＝f (x )与y ＝－f (－x )关于原点对称．3．(1)函数f (x )＝|log 12x |在下列哪个区间上是增加的( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0，1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：(1)选D.f (x )＝⎩⎨⎧－log 12x ，x ≥1，log 12x ，0<x <1.其图像如图．所以f (x )在[1，＋∞)上是增加的．(2)选D.因为f (x )≤2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得x ≥0，故选D.已知f (x )＝|log 2x |，若1c>a >b >1，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (c )>f (b )>f (a )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (b )>f (a )>f (c )[解析] 先作出函数y ＝log 2x 的图像，再将图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|log 2x |的图像，如图．由图可知，f (x )＝|log 2x |在(0，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，于是f ⎝⎛⎭⎫1c >f (a )>f (b )，又f ⎝⎛⎭⎫1c ＝|log 21c|＝|－log 2c |＝|log 2c |＝f (c )．所以f (c )>f (a )>f (b )．[答案] C[感悟提高] (1)作绝对值函数|f (x )|的图像是正确求解的关键，作图时充分利用f (x )与|f (x )|之间的关系．(2)利用函数单调性来比较大小，必须使自变量在同一单调区间上．(3)利用对数的运算性质来寻找f (1c )与f (c )的关系．1．下列各项中表示同一个函数的是( ) A ．y ＝2log 2x 与y ＝log 2x 2 B ．y ＝10lg x 与y ＝lg 10x C ．y ＝x 与y ＝x log x x D ．y ＝x 与y ＝ln e x解析：选D.对于A 中两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数．同样B 、C 中两个函数的定义域也都不同，故不是同一个函数．2．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( )解析：选C.f (x )与y ＝log 2x 互为反函数，因此f (x )＝2x ，故y ＝f (1－x )＝21－x ＝(12)x －1，该函数图像是由y ＝(12)x 的图像向右平移1个单位得到的，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，3x ，x ≤1，则f (1)＋f (2)＝( )A ．1B ．4C ．9D ．12解析：选B.由题意知，f (1)＝31＝3；f (2)＝log 22＝1， 所以f (1)＋f (2)＝3＋1＝4.4．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x －1>0，可得：x ∈(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[A.基础达标]1．与函数y ＝2log2(x －2)表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 2－4x ＋2C ．y ＝|x －2|D ．y ＝(x －2x －2)2解析：选D.y ＝2log2(x －2)＝x －2(x >2)，对于A ：x ∈R ，排除A ；对于B ：y ＝x －2(x ≠－2)，排除B ；对于C ：y ＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，排除C ；故选D.2．在同一坐标系中，函数y ＝3－x 与函数y ＝log 3x 的图像可能是( )解析：选C.y ＝3－x ＝(13)x 是减函数，y ＝log 3x 是增函数．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像与函数g (x )＝log 2x 图像交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.在同一个坐标系中画出f (x )和g (x )的图像，如图，由图像可知f (x )与g (x )的交点个数为3.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：选D.因为－1<0，所以f (－1)＝2－1＝12；因为12>0，所以f (12)＝log 212＝log 22－1＝－1.故f (f (－1))＝－1.5．已知函数f (x )＝log 2x ，其中|f (x )|≥1，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) C ．[2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) 解析：选B.因为|f (x )|≥1，所以log 2x ≥1或log 2x ≤－1.由于log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，故x ≥2或x ≤12.所以，x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝5x 的反函数，则f (f (5))＝________． 解析：因为y ＝f (x )与y ＝5x 互为反函数，所以f (x )＝log 5x . 所以f (f (5))＝f (log 55)＝f (1)＝log 51＝0. 答案：07．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )＝________．解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝log 2(－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝log 2(－x )，故当x <0时，f (x )＝－log 2(－x )．答案：－log 2(－x )8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1.若f (f (a ))＝－1，则a ＝________．解析：由x ≤1时4x∈(0，4]，x >1时，log 0.5x <0可知f (a )>1，且a ≤1.故f (f (a ))＝f (4a )＝log 0.54a ＝－2a ＝－1，可得a ＝12.答案：129．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2(x －a )<1，a ∈R }． (1)若a ＝2，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：B ＝{x |log 2(x －a )<1，a ∈R }＝{x |a <x <a ＋2}．(1)当a ＝2时，B ＝{x |2<x <4}，∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤2}．(2)由A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋2≤3，得－1≤a ≤1.10．已知函数f (x )＝log 21－mxx －1的图像关于原点对称，求m 的值．解：因为f (x )＝log 21－mxx －1的图像关于原点对称，所以f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21＋mx －x －1＝－log 21－mx x －1＝log 2x －11－mx ，所以1＋mx －x －1＝x －11－mx，所以1－m 2x 2＝－x 2＋1，所以m 2＝1，所以m ＝1或m ＝－1.当m ＝1时不满足题意，舍去，故m ＝－1.[B.能力提升] 1．已知函数y ＝f (log 12x )的定义域为[14，12]，则函数y ＝f (2x )的定义域为( )A ．[－1，0]B ．[0，2]C ．[－1，2]D ．[0，1]解析：选D.当x ∈[14，12]时，log 12x ∈[1，2]，故1≤2x ≤2，可得x ∈[0，1]．2．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（4－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选B.由题意知，因为3>0，所以f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)． 又f (0)＝log 2(4－0)＝2.故f (3)＝－f (0)＝－2.3．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________．解析：由f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1的图像(图略)及f (m )＝f (n )，可知0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1.可知f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝－log 2m 2＝2.解得m ＝12，对f (n )＝f (m )＝f (12)＝|log 212|＝1(n >1)，所以log 2n ＝1，所以n ＝2.答案：12，24．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)是减少的，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )≥2f (1)，所以f (log 2a )≥f (1)．由f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减少的，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，所以12≤a ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤12，25．已知f (x )＝log 2x ＋1x －1.(1)求f (x )的定义域和值域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．解：(1)由题可得：x ＋1x －1>0，解得：x <－1或x >1；所以定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．设u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，u ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以y ＝log 2u ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f (x )值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (x )的定义域关于原点对称，f (x )＋f (－x )＝log 2x ＋1x －1＋log 2－x ＋1－x －1＝log 2x ＋1x －1＋log 2x －1x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1·x －1x ＋1＝log 21＝0.所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．6．(选做题)设f (x )＝2(log 2x )2＋2a log 21x ＋b ，已知x ＝12时，f (x )有最小值－8.(1)求a 与b 的值； (2)求f (x )>0的解集A .解：(1)因为x >0，log 2x ∈R ，令u ＝log 2x ，则 f (x )＝2(log 2x )2－2a log 2x ＋b＝2⎝⎛⎭⎫log 2x －a 22－a 22＋b＝2⎝⎛⎭⎫u －a 22－a22＋b . 由题意得u ＝－1时，f (x )最小＝－8，所以⎩⎨⎧a2＝－1，－a 22＋b ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.(2)由(1)得，f (x )＝2(log 2x )2＋4log 2x －6，f (x )>0，即2u 2＋4u －6>0，即u 2＋2u －3>0， 所以u <－3或u >1，所以log 2x <－3或log 2x >1，故0<x <18或x >2，即f (x )>0的解集为A ＝⎝⎛⎭⎫0，18∪(2，＋∞)．。