当前位置：文档之家 › 数学建模之下料问题

数学建模之下料问题

  • 格式：doc
  • 大小：77.00 KB
  • 文档页数：13

数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式 LINGO软件 线性整数 一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？

二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明 符号 意义 ix 表示按照第i 种切割模式（1,2,3,4i）切割的原料钢管

的根数

1ir 第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm钢管的数量

2ir 第i种切割模式下每根原料钢管生产315mm钢管的数量

3ir 第i种切割模式下每根原料钢管生产350mm钢管的数量

4ir 第i种切割模式下每根原料钢管生产455mm钢管的数量

P 生产钢管过程所需要增加的总费用

N 所需钢管的总根数

四、问题分析和模型的建立与求解 4.1、问题分析和模型的建立与求解 4.1.1问题的分析 结合题意，首先我们要确定应该选取哪些切割模式，生产15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管，每一种切割模式都要符合客户的需求在原料钢管上安排切割的一种组合，而且必须满足一根原料刚管只能生产5根钢管。例如，我们可以将1850mm的钢管切割成5根长350mm的钢管，余料为100mm；或者将长1850mm的钢管切割成长315mm、355mm和455mm的钢管2根、2根、1根，余料为65mm。显然，可行的切割模式是很多的。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式进行切割，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而由于需求的钢管规格为4种，所以枚举法的工作量较大。可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3，4）切割的原料钢管的根数。又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长290mm、315mm、355mm和455mm的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i。

而所谓节省，这里有两种标准，一种切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 4.1.2模型的建立 根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即： min P=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4 总根数最少： min N=x1+x2+x3+x4 假设条件 x1>=x2>=x3>=x4 (4-1) 满足客户需求的约束条件为: r11x1+r12x2+r13x3+r14x4 ≥ 15 (4-2) r21x1+r22x2+r23x3+r24x4 ≥ 28 (4-3) r31x1+r32x2+r33x3+r34x4 ≥ 21 (4-4) r41x1+r42x2+r43x3+r44x4 ≥ 30 (4-5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是 1750≤15r11+28r21+21r31+30r41 ≤1850 (4-6) 1750≤15r12+28r22+21r32+30r42 ≤1850 (4-7) 1750≤15r13+28r23+21r33+30r43 ≤1850 (4-8) 1750≤15r14+28r24+21r34+30r44 ≤1850 (4-9) 最后，加上非负整数约束： xi，rji ∈ Z+ ， i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 (4-10) 于是，问题归结为在在约束条件（4-2）～（4-10）下，求xi和r1i，r2i，r3i，r4i（i=1,2,3）使目标（4-1）达到最小。显然这是线性整数规划模型。 4.1.3模型的求解 非线性整数规划模型（4-1）～（4-9）虽然用LINGO软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。 例如，由于4种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束： x1≥x2≥x3≥x4 （4-11） 又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界。首先，原料钢管的根数不可能少于 19185045530350213152829015

 (4-12)

（根）。其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mm钢管，为满足15根290mm钢管的需求，需要3根原料钢管；第二种切割模式下只生产315mm钢管，一根原料钢管切割成5根315mm钢管为满足28根315mm的需求，需要6根原料钢管；第三种切割模式下只生产350mm钢管，一根原料钢管切割成5根350mm钢管，为满足21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管；第四种切割模式下只生产455mm钢管，一根原料钢管切割成4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求，需要8根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要3+6+5+8=22根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束： 19≤x1+x2+x3+x4≤22 (4-13) 将式（4-1）～（4-13）构成的模型输入LINGO如下： model: min=0.1*x1+0.2*x2+0.3*x3+0.4*x4; r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15; r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28; r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21; r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30; 290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850; 290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750; x1+x2+x3+x4>=19; x1+x2+x3+x4<=22; x1>=x2; x2>=x3; x3>=x4; @gin(x1)；@gin(x2)；@gin(x3)；@gin(x4); @gin(r11)；@gin(r12)；@gin(r13)；@gin(r14); @gin(r21)；@gin(r22)；@gin(r23)；@gin(r24); @gin(r31)；@gin(r32)；@gin(r33)；@gin(r34); @gin(r41)；@gin(r42)；@gin(r43)；@gin(r44); End 当花费P最少时，得到结果为:总共需要19根原料钢管。分别为: 模式一：一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共8根。 模式二：一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，

合集下载

钢管下料数学建模

钢管下料数学建模

钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。

首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。

接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。

最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。

关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。

通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。

因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。

2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。

因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。

2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。

这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。

3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。

我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。

4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。

实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。

5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。

6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。

此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。

数学建模钢管下料

数学建模钢管下料

班级;数学131班学号： 1320151119 姓名：马美玲题目：某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。

现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。

为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过四种。

使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品），此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。

为了使总费用最小，应如何下料？决策变量由于由于不同切割模式不能超过四种，可以Xi用表示按照第Xi种模式(i=1,2,3,4)切割的原料钢管根数，显然它们应当是非负整数。

设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm、315mm、350mm和455mm的钢管数量分别为R1i,R2i,R3i,R4i(非负整数)决策目标切割原料钢管的总根数最少，目标为min z=X1+X2+X3+X4约束条件R11X1+R21X2+R31X3+R41X4>=15R21X1+R22X2+R23X3+R24X4>=28R31X1+R32X2+R33X3+R34X4>=21R41X1+R42X2+R43X3+R44X4>=30每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm 也不能少于1750mm(余量不能大于100mm),于是1750=<290R11+315R21+350R31+455R41=<18501750=<290R21+315R22+350R23+455R24=<18501750=<290R31+315R32+350R33+455R34=<18501750=<290R41+315R42+350R43+455R44=<1850每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多可生产5根产品，故有如下约束：r1i+r2i+r3i+r4i≤5, (i=1,2,3,4)由于切割种类的模式不超过4种且顺序是互不影响的，所以可以假设：x1≥x2≥x3≥x4（由原料钢管的数量和成品规格分析可知原料钢管的根数不可能少于19根，且有如下关系：19≤x1+x2+x3+x4≤22用LINGO求解（Xi和Rji均为整数）得到：只使用3种切割模式，所需总原料为19根。

钢管下料数学建模

钢管下料数学建模

钢管下料数学建模
钢管下料数学建模需要考虑以下几个方面：
1.确定下料长度：根据实际需要，确定每段钢管的下料长度。

这需
要考虑管道的使用场合、管径、壁厚等因素。

2.计算下料余量：在实际下料过程中，需要留有一定的余量，以防
止切割误差或加工误差导致下料长度不足。

一般建议留出
0.5-1mm的余量。

3.建立数学模型：根据实际需要，可以建立数学模型来优化下料过
程。

例如，可以通过优化算法来寻找最短的下料长度组合，或者通过建立数学方程来计算下料长度等。

4.考虑切割角度：在某些情况下，需要对钢管进行切割角度的调整，
以适应实际安装或加工需要。

这时需要在数学模型中考虑切割角度的影响。

5.确定加工误差：需要考虑加工误差对下料长度的影响。

加工误差
包括切割误差、打磨误差、钻孔误差等。

总体来说，钢管下料数学建模需要考虑实际应用场景、管材特性、加工设备等因素，以建立符合实际需求的数学模型。

最优下料问题的数学模型

最优下料问题的数学模型

L11 1 L n1 L21 其中 L1i 表示第 1 种材料的第 i 个排列， L1 n 中的 n 表示第一种材料 形如： NL 2 Ln L M 1 M Ln M
x
k 1
ki
3 ○
（4）下料能力约束条件为： 每天的最大下料能力有： K j 100 2） ．目标函数的建立 目标函数的建立是为求得 k max 的最小值，因此建立如下：
min k max m l i x ki L, k 1,2, , k max i 1 k max x ki di, i 1,2, , m k 1 x ki Z
wi W , i 1,, m ，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提 高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来 完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此 外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用 下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需 求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。 1、建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制 定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原 材料数，所采用的下料方式数和废料总长度.单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一 项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一， 其中 li 为需求零件的长度，ni 为 需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企 业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号( i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48; 要求不迟于6天完成的零件标号( i ) 为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。 (1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料最少的模型及 增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。