2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考理科数学试题-(带答案解析)

2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B .【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） ABC ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得q =因为{}n a是递增的等比数列，所以q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以213a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B．49C．3πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7C D r =，所以22tan 30AB AD CD ===.所以2172ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求的概率2234949r P π==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式R =O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==.由正弦定理得2sin 603BC BG ==，则3BG =，所以外接球O 的半径R ==O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B．3- C．4D1【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得1a b =（负值舍去），故23ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x =的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-，1b =，532a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角θ=______. 【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-，所以5a =，因为1b =，532a b ⋅=，所以532cos 51a b a bθ⋅===⨯.因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A到右焦点F 的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c ，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A 到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c ea ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f =，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin 2ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-；（2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin sin A C a ==因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C ==所以()sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C =+=+=.所以ABC ∆的面积11sin 32226ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯2=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =，所以BD ⊥平面ACE .因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，所以2AB AD BD ===，AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点，所以()C ，)E，1,,422F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2CE =，31,42CF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则2320314022n CEz n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩. 令x =()3,21,3n =--.易知()0,0,1m =为平面ABCD 的一个法向量. 设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以((cos 151m n m nθ⋅====⋅， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=.设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，第 21 页 共 21 页 所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。

2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第二次考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23401x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬-⎩⎭，，则()R B A =I ð（ ）A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]2,1-D ．()2,1-【答案】C【解析】分别将集合,A B 化简，求出B R ð，再求()R B A I ð即可 【详解】由题意知()(](]2,2,()1,3,13,R A B B =-==-∞+∞U ，ð，则()(]2,1R B A =-I ð. 故选：C 【点睛】本题考查集合交并补的混合运算，属于基础题 2．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z+a b i +0b =，解方程即可求解 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则)22a b i za bi i i i z ab +-+=+=+=+.00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题3．执行如图所示的程序框图若输入12n=，则输出的n的值为（）A．32B．2C．52D．3【答案】C【解析】由程序语言依次计算，直到a b<时输出即可【详解】程序的运行过程为n12132252a 52232112b1ln23ln2ln25ln2当n=2时，51ln22n>=；时，15ln22<，此时输出52n=.故选：C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题4．一个陶瓷圆盘的半径为10cm，中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147【答案】B【解析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000SSππ=≈⇒≈⋅正圆.故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题5．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）A．14种B．15种C．16种D．18种【答案】D【解析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题6．已知三棱锥D ABC-的外接球半径为2，且球心为线段BC的中点，则三棱锥D ABC-的体积的最大值为（）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】由题可推断出ABC V 和BCD V 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，故ABC V 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有22242x y xy +=≥，又12ABC S xy ∆=，所以142ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时11842333ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，故选：C 【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 7．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,9【答案】A【解析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B+u u u u v u u u u v的范围即可求解 【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题8．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A【解析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题9．过抛物线()220y px P =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．15 D ．103【答案】B【解析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解 【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒.在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得10c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题11．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞U 为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ）A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间【答案】D【解析】可判断函数为奇函数，先讨论当0x >且1x ≠时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【详解】当0x >且1x ≠时，()()2ln 1ln x f x x -'=.令()0f x '=得x e =.可得()f x '和()f x 的变化情况如下表：x0x →()0,1()1,ee(),e +∞()f x '/--+()f x()0f x →]]eZ令()f x t =，则原不等式变为()3f t ≤-，由图像知()3f t ≤-的解集为(]()[)123,,1,1t t t t ∈-∞-U U ，再次由图像得到()[)[)123(],,1,1f x t t t ∈-∞-U U 的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.故选：D 【点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题12．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ）A ．51- B ．32- C ．212-D ．23-【答案】D【解析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223r r =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养二、填空题13．已知()x axf x e e =+是偶函数，则()f x 的最小值为___________.【答案】2【解析】由偶函数性质可得()()11f f =-，解得1a =-，再结合基本不等式即可求解【详解】令()()11f f =-得1a =-，所以()2x x f x e e -=+≥=，当且仅当0x =时取等号.故答案为：2 【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题14．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为()()1,12,2，，函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,22A ππωϕ⎛⎫><<<⎪⎝⎭的图象经过该三角形的三个顶点，则()f x 的解析式为()f x =___________.【答案】2sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为F 点，再由函数性质进一步求解参数即可 【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点A B C D E F ，，，，，，其中点A B C D ，，，与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点E 则点E 与点()2,2的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于2-，不可能为()1,1，因此点E 也舍去，只有点F 满足题意.此时点()2,2为最大值点，所以()2sin()f x x ωϕ=+，又02πω<<，则142T πω=>，所以点()1,1，()2,2之间的图像单调，将()1,1,，()2,2代入()f x 的表达式有()()1,2sin 362sin 212,Z,2262k k k k ππωωϕπωϕππωϕϕπωϕπ⎧⎧⎧=+=+⎪⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪+==-+∈+=+⎩⎪⎪⎩⎩由2πϕ<知6πϕ=-，因此()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题15．数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12201920202020a a a a =⋅=，，则222122019a a a ++⋯+=___________.【答案】2020【解析】可对12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +得12121n n n n n a a a a a ++++=-，依次写出211n n n n n a a a a a +-=-，21121n n n n n a a a a a ----=-，⋅⋅⋅，222312a a a a a =-，累加可得22223112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-，再由12a a =得22221231n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，代入2019n =即可求解【详解】12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +有12121n n n n n a a a a a ++++=-，从而211n n n n n a a a a a +-=-，21121n n n n n a a a a a ----=-，⋅⋅⋅，222312a a a a a =-，将以上式子累加得22223112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-.由12a a =得22221231n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.令2019n =，有222122019201920202020a a a a a ++⋯+=⋅=.故答案为：2020 【点睛】本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题16．若存在实数k b ，使得不等式()()f x kx b g x ≤+≤在某区间上恒成立，则称()f x 与()g x 为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()sin f x x =，()tan g x x =；②[1,)x ∈+∞，()f x =，()g x =③R x ∈，()22f x x =+，()x xg x e e -=+；④(0,)x ∈+∞，()1f x x x=-，()2ln g x x x =. 【答案】①②④【解析】由题意可知，若要存在+kx b 使得()()f x kx b g x ≤+≤成立，我们可考虑两函数()(),f x g x 是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，x >> 【详解】①0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，令()0sin f x x x =-，则()01cos 0f x x '=-≥，()0f x 单调递增， ()()00f x f x ≥=，即sin x x ≥.令()0tan g x x x =-，则()021cos g x x x'=-，()0g x 单调递减，()()00g x g x ≤=，即tan x x ≤，因此sin tan x x x ≤≤，满足题意.②[1,)x ∈+∞x >>.③注意到()()002f g ==，因此如果存在直线y kx b =+，只有可能是()f x （或()g x ）在0x =处的切线，()()200f x x f '==，，因此切线为2y =，易知()2g x ≥，()2f x ≥，因此不存在直线y kx b =+满足题意.④(0,)x ∈+∞时，注意到()()110f g ==，因此如果存在直线y kx b =+，只有可能是()g x （或()f x ）在1x =处的切线，()()2ln 212g x x g ''=+=，，因此切线为22y x =-.令()()0122f x x x x =---，则()0211f x x'=-，易知()0f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()0010f x f ≤=，即122x x x-≤-.令()()02ln 22g x x x x =--，则()02ln g x x '=，易知()0g x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()0010g x g ≥=，即2ln 22x x x ≥-.因此1222ln x x x x x-≤-≤，满足题意. 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题三、解答题17．如图，在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin cos a B b A c +=，线段BC 的中点为D .（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）已知10sin C =，求ADB ∠的大小. 【答案】（Ⅰ）4B π=；（Ⅱ）4ADB π∠=.【解析】（Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合()sin sin C A B =+转化即可求解； （Ⅱ）可设1AC =，由5sin sin c bb C B=⇒，再由余弦定理2222cos a c ac B b +-=解得2222aa BD ===，，对ABD △中，由余弦定理有()221222cos14AD π=+-，通过勾股定理逆定理可得222AB AD BD +=，进而得解 【详解】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=.而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=--=+=+.由以上两式得sin sin sin cos A B A B =，即()sin sin cos 0A B B -=. 由于sin 0A >，所以sin cos B B =， 又由于()0,B π∈，得4B π=.（Ⅱ）设1c =，在ABC V 中，由正弦定理有5sin sin c b b C B=⇒=. 由余弦定理有2222cos a c ac B b +-=，整理得()()2220a a -+=， 由于0a >，所以2222aa BD ===，. 在ABD △中，由余弦定理有()221222cos14AD π=+-=.所以222AB AD BD +=，所以24BAD ADB ππ∠=∠=，.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113AB BC AA AC ====，，点D E ，分别为AC 和11B C 的中点.（Ⅰ）棱1AA 上是否存在点P 使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，写出PA 的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （Ⅱ）求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）存在点P 满足题意，且34PA =，证明详见解析；（Ⅱ）1119. 【解析】（Ⅰ）可考虑采用补形法，取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证BD ⊥平面1ACC ，即BD AF ⊥，若能证明AF PD ⊥，则可得证，可通过Rt PAD Rt ADF △∽△我们反推出点P 对应位置应在34PA =处，进而得证； （Ⅱ）采用建系法，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解； 【详解】（Ⅰ）存在点P 满足题意，且34PA =. 证明如下：取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，. 则11EF A B AB ∥∥，所以AF ⊂平面ABE . 因为AB BC D =，是AC 的中点，所以BD AC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面1ACC ，且交线为AC ， 所以BD ⊥平面1ACC ，所以BD AF ⊥. 在平面1ACC 内，3AP AD AD DF ==，90PAD ADF ∠=∠=︒， 所以Rt PAD Rt ADF △∽△，从而可得AF PD ⊥. 又因为PD BD D ⋂=，所以AF ⊥平面PBD . 因为AF ⊂平面ABE ，所以平面PBD ⊥平面ABE .（Ⅱ）如图所示，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系.易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，134E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以134BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1,0,02DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r . 设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =u r，则有130,44130.22m BE x y z m AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v 取2y =，得(23,2,3m =--u r . 同理可求得平面BDE 的法向量为(0,4,3n =-r.则11cos ,191243163m nm n m n ⋅===++⋅+v vv v v v. 由图可知二面角A BE D --为锐角，所以其余弦值为1119. 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题19．某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A B ，两种，且这两种的个体数量大致相等，记A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的翼长（单位：mm ）分别为随机变量X Y ，，其中X 服从正态分布()45,25N ，Y 服从正态分布()55,25N . （Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[]45,55的概率；（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z ，若用正态分布()200,N μσ来近似描述Z 的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数0μ和0σ的值（精确到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[]42.2,57.8的个数为W ，求W 的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注:若()2~,X N μσ，则0.640.640.473(7)P X μσμσ-≤≤+≈，0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，2205().946P X μμμσ-≤≤+≈.【答案】（Ⅰ）0.4773；（Ⅱ）050.0μ=，07.8σ≈；（Ⅲ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是A 种还是B 种的可能性是相等的，所以()()()1145554555455522P t P X P Y ≤≤=⨯≤≤+⨯≤≤，代入数值运算即可；（Ⅱ）可判断均值应为0455550.02μ+==，再结合（1）和题干备注信息可得0000450.64,550.64μσμσ=-=+，进而求解；（Ⅲ）求得42.257.80.68()27()P T P T μσμσ≤≤=-≤≤+=，该分布符合二项分布，故()~3,0.6827W B ，列出分布列，计算出对应概率，结合()E W np =即可求解； 【详解】（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为t .因为A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A 种还是B 种的可能性是相等的.所以()()()1145554555455522P t P X P Y ≤≤=⨯≤≤+⨯≤≤()()1145452555255522P X P Y =⨯≤≤+⨯+⨯-⨯≤≤ 10.954610.95460.47732222=⨯+⨯=. （Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X Y ，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知0455550.02μ+==由（Ⅰ）可知0000450.64,550.64μσμσ=-=+，得057.80.64σ=≈. （Ⅲ）设蜻蜓的翼长为T ，则42.257.80.68()27()P T P T μσμσ≤≤=-≤≤+=.由题有()~3,0.6827W B ，所以()330.68270.317k k kP W k C -==⨯⨯.因此W 的分布列为()30.6827 2.0481E W =⨯=. 【点睛】本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题20．已知圆()221:18O x y ++=上有一动点Q ，点2O 的坐标为()1,0，四边形12QO O R 为平行四边形，线段1O R 的垂直平分线交2O R 于点P . （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点2O 作直线与曲线C 交于A B ，两点，点K 的坐标为()2,1，直线KA KB ，与y 轴分别交于M N ，两点，求证：线段MN 的中点为定点，并求出KMN △面积的最大值.【答案】（Ⅰ）221(0)2x y y +=≠；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得121PO PO QO +==22a c >，故可确定点P 轨迹为椭圆（0y ≠），进而求解；（Ⅱ）设直线方程为1x my =+，点A B ，坐标分别为()()1122,,x y x y ，，联立直线与椭圆方程得12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，分别由点斜式求得直线KA 的方程为()111122y y x x --=--，令0x =得()11211M m y y my -+=-，同理得()22211N m y y my -+=-，由2M Ny y +结合韦达定理即可求解，而()12212KMNM S MN MN y ⎡⎤=⋅==--⎣⎦V ，当,A M 重合交于()0,1点时，可求最值；【详解】（Ⅰ）1222122PO PO PR PO RO QO +=+===， 所以点P 的轨迹是一个椭圆，且长轴长222a =，半焦距1c =，所以2221b a c =-=，轨迹C 的方程为221(0)2x y y +=≠.（Ⅱ）当直线AB 的斜率为0时，与曲线C 无交点.当直线AB 的斜率不为0时，设过点2O 的直线方程为1x my =+，点A B ，坐标分别为()()1122,,x y x y ，.直线与椭圆方程联立得221,1,2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. 则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+. 直线KA 的方程为()111122y y x x --=--. 令0x =得()11211M m y y my -+=-.同理可得()22211N m y y my -+=-.所以()()()()()()122112*********M N m y my m y my y y my my -+-+-+-⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦=-- ()()()121221212211m m y y y y m y y m y y -++-=-++()()222222222m m m m m m m ----+=-+++1=-.所以MN 的中点为()0,1-. 不妨设M 点在N 点的上方， 则()()122121142KMN M S MN MN y ⎡⎤=⋅==--≤⨯+=⎣⎦V .【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题 21．已知0a >，函数()()2ln 12x x f x x a x =+--.（Ⅰ）若()f x 在区间,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，求a 的值； （Ⅱ）若()Z,0a f x ∈>恒成立，求a 的最大值.（参考数据：12 1.6e ≈） 【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）先求导，得()ln 1f x x x a '=++-，已知导函数单调递增，又()f x 在区间,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，故ln 10222a a a f ⎛⎫'=-+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 122a a g a =-+，求得()22ag a a-'=，讨论得()()20g a g ≤=，而()0g a ≥，故()0g a =，进而得解； （Ⅱ）可通过必要性探路，当2x =时，由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max3a =，当()()23ln 312x a f x x x x ==+--，，()ln 2f x x x '=+-，结合零点存在定理可判断必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，得00ln 2x x =-，()()()200000minln 312x f x f x x x x ==+--，化简得()200min 32x f x x =--，再由二次函数性质即可求证；【详解】（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,ln 1f x x x a '+∞=++-，.易知()f x '单调递增，由题意有ln 10222a a a f ⎛⎫'=-+≥ ⎪⎝⎭.令()ln122a a g a =-+，则()22ag a a-'=. 令()0g a '=得2a =.所以当02a <<时，()()0g a g a '>，单调递增；当2a >时，()()0g a g a '<，单调递减. 所以()()20g a g ≤=，而又有()0g a ≥，因此()0g a =，所以2a =. （Ⅱ）由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max 3a =. 下面证明3a =符合条件.若()()23ln 312x a f x x x x ==+--，.所以()ln 2f x x x '=+-.易知()f x '单调递增，而()110f '=-<，()1.60.5 1.620.10f '≈+-=>， 因此必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，即00ln 2x x =-. 且当()00,x x ∈时，()()0f x f x '<，单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 则()()()200000minln 312x f x f x x x x ==+--()()222000000 1.623133 1.60.120222x x x x x x =-+--=-->--=>.综上，a 的最大值为3. 【点睛】本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题 22．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为cos ,sin ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为cos 2sin 2x t y t πϕπϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=.（Ⅰ）求12l l ，的极坐标方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设12l l ，分别交C 于A B ，两点（与原点O 不重合），求OA OB ⋅的最小值.【答案】（Ⅰ）直线1l 的极坐标方程为(R)θϕρ=∈，直线2l 的极坐标方程为()R 2πθϕρ=-∈，C 的直角坐标方程为2y x =；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）由定义可直接写出直线12l l ，的极坐标方程，对曲线C 同乘ρ可得：22sin cos ρθρθ=，转化成直角坐标为2y x =；（Ⅱ）分别联立两直线和曲线C 的方程，由2,sin cos ,θϕρθθ=⎧⎨=⎩得2cos sin A ϕρϕ=，由2,2sin cos ,πθϕρθθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2sin cos B ϕρϕ=， 则22cos sin 12sin cos sin cos sin 2A B OA OB ϕϕρρϕϕϕϕϕ⋅==⋅==，结合三角函数即可求解；【详解】（Ⅰ）直线1l 的极坐标方程为(R)θϕρ=∈，直线2l 的极坐标方程为()R 2πθϕρ=-∈ 由曲线C 的极坐标方程得22sin cos ρθρθ=，所以C 的直角坐标方程为2y x =.（Ⅱ）1l 与C 的极坐标方程联立得2,sin cos ,θϕρθθ=⎧⎨=⎩所以2cos sin A ϕρϕ=. 2l 与C 的极坐标方程联立得2,2sin cos ,πθϕρθθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以2sin cos B ϕρϕ=. 所以22cos sin 12sin cos sin cos sin 2A B OA OB ϕϕρρϕϕϕϕϕ⋅==⋅==. 所以当()Z 42k k ππϕ=+∈时，OA OB ⋅取最小值2. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中ρ的几何意义，属于中档题23．已知()()0,0f x x a x b a b =-++>>. （Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()28f x x ≤-； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求1112a b++的最小值. 【答案】（Ⅰ）[]22-,；（Ⅱ）324+. 【解析】（Ⅰ）当1a b ==时，()()()()21,11211,21.x x f x x x x x x ⎧>⎪=-++=-≤≤⎨⎪-<-⎩令()28g x x =-，作出()(),f x g x 的图像，结合图像即可求解；（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得()()()1f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+--=+=+=，再由“1”的妙用可拼凑为[]11111()(1)12212a b a b a b+=+++++，结合基本不等式即可求解； 【详解】（Ⅰ）()()()()21,11211,21.x x f x x x x x x ⎧>⎪=-++=-≤≤⎨⎪-<-⎩令()28g x x =-，作出它们的大致图像如下： 由2822x x x -=⇒=或4x =-（舍），得点B 横坐标为2，由对称性知，点A 横坐标为﹣2，因此不等式2()8f x x ≤-的解集为[]22-,.（Ⅱ）()()()1f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+--=+=+=.[]111111111332()(1)(1)(2)122122122224b a a b a b a b a b ++=+++=+++≥+=+++取等号的条件为112b a a b +=+，即12a b +=，联立1a b +=得32,2 2.a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因此1112a b ++的最小值为342+. 【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题。