2018年天津市高考数学试卷理科

2018年高考理数真题试卷（天津卷）一、选择题1. ( 2分) （2018•天津）设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁R B)=（）A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}2. ( 2分) （2018•天津）设变量x，y满足约束条件{x+y≤5,2x−y≤4,−x+y≤1,y≥0, 则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 453. ( 2分) （2018•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. ( 2分) （2018•天津）设x∈R，则“ |x−12|<12”是“ x3<1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. ( 2分 ) （2018•天津）已知 a =log 2e ， b =ln2 ， c =log 1213 ，则a ， b ， c 的大小关系为（ ）A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b6. ( 2分 ) （2018•天津）将函数 y =sin(2x +π5) 的图象向右平移 π10 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间 [3π4,5π4] 上单调递增 B. 在区间 [3π4,π] 上单调递减 C. 在区间 [5π4,3π2] 上单调递增 D. 在区间 [3π2,2π] 上单调递减7. ( 2分 ) （2018•天津）已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0 , b >0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ， B 两点. 设A ， B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2 ，且 d 1+d 2=6 ，则双曲线的方程为（ ） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=1 8. ( 2分 ) 如图，在平面四边形ABCD 中， AB ⊥BC ， AD ⊥CD ， ∠BAD =120° ， AB =AD =1 . 若点E 为边CD 上的动点，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 2116B. 32C. 2516D. 3二、填空题：9. ( 1分 ) （2018•天津）i 是虚数单位，复数 6+7i 1+2i = ________10. ( 1分 ) （2018•天津）在 (x 2√x )5 的展开式中， x 2 的系数为________11. ( 1分 ) （2018•天津）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M (如图)，则四棱锥 M −EFGH 的体积为________12. ( 1分 ) （2018•天津）已知圆 x 2+y 2−2x =0 的圆心为C ， 直线 {x =−1+√22t,y =3−√22t( t 为参数)与该圆相交于A ， B 两点，则 ΔABC 的面积为________.13. ( 1分 ) （2018•天津）已知 a , b ∈R ，且 a −3b +6=0 ，则 2a +18b 的最小值为________. 14. ( 1分 ) （2018•天津）已知 a >0 ，函数 f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则 a 的取值范围是________.三、解答题：15. ( 5分 ) （2018•天津）在 ΔABC 中，内角A ,B,C 所对的边分别为a,b ,c. 已知 bsinA =acos(B −π6) . （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和 sin(2A −B) 的值.16. ( 5分 ) （2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 17. ( 5分 ) （2018•天津）如图， AD//BC 且AD =2BC ， AD ⊥CD , EG//AD 且EG =AD ， CD//FG 且CD =2FG ， DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =DG =2.（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证： MN//平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 E −BC −F 的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.18. ( 5分 ) （2018•天津）设 {a n } 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为 S n (n ∈N ∗) ， {b n } 是等差数列.已知 a 1=1 ， a 3=a 2+2 ， a 4=b 3+b 5 ， a 5=b 4+2b 6 . （Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列 {S n } 的前n 项和为 T n (n ∈N ∗) ， （i ）求 T n ； （ii ）证明 ∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)nk=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗) .19. ( 5分 ) （2018•天津）设椭圆x 2a 2+x 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点为F ， 上顶点为B .已知椭圆的离心率为 √53，点A 的坐标为 (b,0) ，且 |FB|⋅|AB|=6√2 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ： y =kx(k >0) 与椭圆在第一象限的交点为P ， 且l 与直线AB 交于点Q .若 |AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.20. ( 5分 ) （2018•天津）已知函数 f(x)=a x ， g(x)=log a x ，其中a >1. （Ⅰ）求函数 ℎ(x)=f(x)−xlna 的单调区间；（Ⅱ）若曲线 y =f(x) 在点 (x 1,f(x 1)) 处的切线与曲线 y =g(x) 在点 (x 2,g(x 2)) 处的切线平行，证明 x 1+g(x 2)=−2lnlna lna；（Ⅲ）证明当 a ≥e 1e 时，存在直线l ， 使l 是曲线 y =f(x) 的切线，也是曲线 y =g(x) 的切线.答案解析部分一、<b >选择题</b>1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解:∵A={x|0<x<2}, B={x|x≥1}∴C RB={x|x<1}则A∩C RB={x|0<x<1}故答案为：B【分析】先求B的补集,再与A取交集.2.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】解:将z=3x+5y平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2,3）时，z max=3×2+5×3=21故答案为：C【分析】先画出可行域，再将目标函数平移至点（2,3）时z有最大值.3.【答案】B【考点】程序框图【解析】【解答】解：N=20，i=2，T=0.N =20=10∈z∴T=1,i=3,i＜5∴Ni =203∉z∴i=4,i＜5∴Ni =204=5∈z∴T=2，i=5≥5即T=2故答案为：B【分析】按照程序方框图，一步计算，直到i≥5为止. 4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：∵ |x −12|<12⇒0<x <1x 3<1⇒x <1故|x−12|<12 ”是“ x 3<1 ”的充分不必要条件， 故答案为：A【分析】先解绝对值不等式，再解高次不等式，找到集合之间关系. 5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】【解答】解： a =log 2e >1,b =ln2<1,c =log 1213=log 23>log 2e =a则a ， b ， c 的大小关系为：c>a>b 故答案为：D【分析】先判断出b 比1小，再将比1都大的a,c 化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c 的大小. 6.【答案】A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】【解答】解： y =sin(2x +π5)→右平移π10y =sin2x ，∵3π4≤x ≤5π4⇒3π2≤2x ≤5π2故答案为：A【分析】先求出平移后的解析式，再对A 、B 、C 、D 进行检验. 7.【答案】C【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解： ca =2⇒c =2a ∴b =√3a∴双曲线渐近线方程为 y =±√3x 又 A(c,b 2a ),B(c,−b 2a) 即 A(2a,3a),B(2a,−3a)则 d 1=|2√3a−3a|2=(2√3−3)a2d 2=2√3a +3a2⇒d 1+d 2=2√3a =6⇒a =√3 则b=3∴双曲线方程为 x 23−y 29=1故答案为：C【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a 表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a ，即可得到双曲线方程. 8.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则 A(0,0),B(1,0),D(−12,√32)设 C(1,y 0) ∴ DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,y 0−√32) 又 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒−34+√32y 0−34=0∴ y 0=√3 ∴ DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32) 又E 在CD 上设 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(32,√32)+(−12,√32)⇒AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ2−12,√32λ+√32) 又 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ2−32,√32λ+√32) AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3λ2−3λ2+32=3(λ−14)2+2116又 0≤λ≤1 ,当 λ=14 时， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值 2116 故答案为：A【分析】先建系，利用垂直，求出C ，再利用数量积，得到二次函数，求出最值. 二、<b >填空题：</b> 9.【答案】4−i【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： 6+7i 1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14−5i5=4−i 【分析】将分子，分母乘以分母的共轭复数.10.【答案】52 【考点】二项式定理【解析】【解答】解：∵ (x −2x )5 的通式为 T r+1=C 5r ⋅x 5−r (−12)r ⋅x −r2∴ 5−3r 2=2⇒r =2则 C 5r⋅(−12)2=52【分析】先写出二项式的通式，令x 的指数为2，求出是通式中第3项，则可得到系数. 11.【答案】112【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：∵四凌锥M-EFGH 为所有棱长均为 √22 的正四棱锥.∴ V M−EFGH =13×(√22)2×12=112【分析】判断四棱锥为正四棱锥，高为棱长的一半.12.【答案】12【考点】直线与圆的位置关系，参数方程化成普通方程【解析】【解答】解：∵ x 2+y 2−2x =0⇒(x −1)2+y 2=1又直线 {x =−1+√22ty =3−√22t (t 为参数) ⇒x +1=3−y ⇒y =2−x∴圆心到直线距离 d =2，又 |AB|=2√1−12=√2即 S △ABC =12|AB|⋅d =12【分析】先将参数方程化为普通方程，再用勾股定理算弦长. 13.【答案】14【考点】函数的最值及其几何意义【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0 ⇒ a-3b=-6又 2a +18b≥2√2a +18b=2√2a−3b =14【分析】对 2a +18b 用均值不等式. 14.【答案】（4,8）【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵ f(x)={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0∴ f(x)−ax =0⇒f(x)−ax ={x 2+ax +a,x ≤0−x 2+ax −2a,x >0x 2+ax +a =0与 −x 2+ax −2a =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内. 则 {△1=a 2−4a >0△2=a 2−8a <0或{△1=a 2−4a <0△2=a 2−8a >0或{△1=a 2−4a =0△2=a 2−8a =0 ⇒4<a <8【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论. 三、<b >解答题：</b>15.【答案】解：.解：（Ⅰ） △ABC 中，由正弦定理 asinA =bsinB ⇒bsinA =asinB =acos(B −π6)⇒asinB =acos(B −π6)⇒sinB =cos(B −π6) ∴ tanB =√3 又 0<B <π∴B =π3（Ⅱ） △ABC 中，∵a=2,c=3, B =π3 则 b 2=a 2+c 2−2accosB =7⇒b =√7由 bsinA =acos(B −π6)⇒sinA =√37=√217∵ a <c ∴ cosA =√7∴sin2A=2sinAcosA=4√37cos2A=2cos2A−1=1 7∴sin(2A−B)=sin2A⋅cosB−cos2AsinB=3√314【考点】正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出∠B.（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到sinA，从而cosA,sin2A,cos2A由二倍角公式算出.16.【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3:2:2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人（Ⅱ）（i）随机变量ξ取值可能为0.1.2.3p(x=k)=C4k⋅C33−kC73(k=0,1,2,3)∴随机变量x的分布列为X 0 1 2 3P 13512351835435∴x的数学期望为E(x)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127（ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C,且BC互斥由①知P(B)=P(x=2)，P(C)=P(x=1)则：P(A)=P(B∪C)=P(x=2)+P(x=1)=67则事件A发生的概率为67.【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（Ⅰ）分层抽样对应成比例;（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理工类〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时 120 分钟。

第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参考公式：如果事件 A，B互斥，那么P( AB) P( A) P(B) .如果事件 A，B 相互独立，那么P( AB)P( A) P(B) .棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .1棱锥的体积公式 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱3锥的高 .一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求word 版本整理分享的.(1) 设全集为 R，集合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，那么A I (e R B)(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}x y5,(2) 设变量x，y满足约束条件2x y4,那么目标函数z3x 5y 的最大x y1,y0,值为(A)6(B)19(C) 21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入 N的值为20，那么输出 T 的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4word 版本整理分享(4) 设x R ，那么“| x1 | 1〞是“x31〞的2 2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5) a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11，那么 a，b，c 的大小关系为23(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) c a b(6) 将函数ysin(2x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数word 版本整理分享(A) 在区间[3, 5] 上单调递增 (B) 在区间[3, ]上单调4 44递减(C) 在区间[5, 3] 上单调递增 (D) 在区间[3, 2]上单4 22调递减(7) 双曲线x 2y 21( a0, b0) 的离心率为2 ，过右焦点且垂直于a 2b 2x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1和 d 2，且 d 1 d 2 6 ，那么双曲线的方程为(A)x 2y 2 1 (B) x 2y 214 12124(C)x 2 y 2 1(D) x 2y 2 13 993(8) 如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC ，AD CD ， BAD120，AB AD 1 .uuur uur假设点 E 为边 CD 上的动点，那么AE BE 的最小值为(A)21 (B)3(C)25(D) 316216第二卷考前须知：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（天津卷）本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页，第II卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么 .如果事件A，B相互独立，那么 .棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y 轴上截距最小时，z值最大.3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设全集为R,集合A＝{x|0＜x＜2},B＝{x|x≥1},则A∩(∁R B)＝()A.{x|0＜x≤1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜2}2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.453.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()A.1B.2C.3D.44.(5分)设x∈R,则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知a＝log 2e,b＝ln2,c＝log,则a,b,c的大小关系为()A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b6.(5分)将函数y＝sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减7.(5分)已知双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2＝6,则双曲线的方程为()A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝18.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD＝120°,AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.3二.填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)i是虚数单位,复数＝.10.(5分)在(x﹣)5的展开式中,x2的系数为.11.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M﹣EFGH的体积为.12.(5分)已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C,直线,(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为.13.(5分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6＝0,则2a+的最小值为.14.(5分)已知a＞0,函数f(x)＝.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA＝acos(B﹣). (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a＝2,c＝3,求b和sin(2A﹣B)的值.16.(13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.17.(13分)如图,AD∥BC且AD＝2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG＝AD,CD∥FG且CD＝2FG,DG⊥平面ABCD,DA＝DC＝DG＝2.(Ⅰ)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证：MN∥平面CDE；(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；(Ⅲ)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.18.(13分)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1＝1,a3＝a2+2,a4＝b3+b5,a5＝b4+2b6.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),(i)求T n；(ii)证明＝﹣2(n∈N*).19.(14分)设椭圆+＝1(a＞b＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|＝6.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点),求k的值.20.(14分)已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a＞1.(Ⅰ)求函数h(x)＝f(x)﹣xlna的单调区间；(Ⅱ)若曲线y＝f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)＝；(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线.2018年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设全集为R,集合A＝{x|0＜x＜2},B＝{x|x≥1},则A∩(∁R B)＝()A.{x|0＜x≤1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜2}【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2},B＝{x|x≥1},∴∁R B＝{x|x＜1},∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}.故选：B.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45【解答】解：由变量x,y满足约束条件,得如图所示的可行域,由解得A(2,3).当目标函数z＝3x+5y经过A时,直线的截距最大,z取得最大值.将其代入得z的值为21,故选：C.3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：若输入N＝20,则i＝2,T＝0,＝＝10是整数,满足条件.T＝0+1＝1,i＝2+1＝3,i≥5不成立,循环,＝不是整数,不满足条件.,i＝3+1＝4,i≥5不成立,循环,＝＝5是整数,满足条件,T＝1+1＝2,i＝4+1＝5,i≥5成立,输出T＝2,故选：B.4.(5分)设x∈R,则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜,解得0＜x＜1,由x3＜1,解得x＜1,故“|x﹣|＜”是“x3＜1”的充分不必要条件,故选：A.5.(5分)已知a＝log 2e,b＝ln2,c＝log,则a,b,c的大小关系为()A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b【解答】解：a＝log 2e＞1,0＜b＝ln2＜1,c＝log＝log23＞log2e＝a,则a,b,c的大小关系c＞a＞b,故选：D.6.(5分)将函数y＝sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减【解答】解：将函数y＝sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的函数为：y＝sin2x,增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤,k∈Z,减区间满足：≤2x≤,k∈Z,∴增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z,减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,∴将函数y＝sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选：A.7.(5分)已知双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2＝6,则双曲线的方程为()A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝1【解答】解：由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线y＝,即bx﹣ay＝0,F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,F是AB的中点,EF＝＝3,EF＝＝b,所以b＝3,双曲线＝1(a＞0,b＞0)的离心率为2,可得,可得：,解得a＝.则双曲线的方程为：﹣＝1.故选：C.8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD＝120°,AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.3【解答】解：如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,过点B做BN⊥x轴,过点B做BM⊥y轴,∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD＝120°,AB＝AD＝1,∴AN＝ABcos60°＝,BN＝ABsin60°＝,∴DN＝1+＝,∴BM＝,∴CM＝MBtan30°＝,∴DC＝DM+MC＝,∴A(1,0),B(,),C(0,),设E(0,m),∴＝(﹣1,m),＝(﹣,m﹣),0≤m≤,∴＝+m2﹣m＝(m﹣)2+﹣＝(m﹣)2+,当m＝时,取得最小值为.故选：A.二.填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)i是虚数单位,复数＝4﹣i.【解答】解：＝＝＝＝4﹣i,故答案为：4﹣i10.(5分)在(x﹣)5的展开式中,x2的系数为.【解答】解：(x﹣)5的二项展开式的通项为＝.由,得r＝2.∴x2的系数为.故答案为：.11.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M﹣EFGH的体积为.【解答】解：正方体的棱长为1,M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：,四棱锥是正四棱锥,棱锥的高为,四棱锥M﹣EFGH的体积：＝.故答案为：.12.(5分)已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C,直线,(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为.【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是(x﹣1)2+y2＝1,圆心为C(1,0),半径r ＝1；直线化为普通方程是x+y﹣2＝0,则圆心C到该直线的距离为d＝＝,弦长|AB|＝2＝2＝2×＝,∴△ABC的面积为S＝•|AB|•d＝××＝.故答案为：.13.(5分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6＝0,则2a+的最小值为.【解答】解：a,b∈R,且a﹣3b+6＝0,可得：3b＝a+6,则2a+＝＝≥2＝,当且仅当2a＝.即a＝﹣3时取等号.函数的最小值为：.故答案为：.14.(5分)已知a＞0,函数f(x)＝.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是(4,8).【解答】解：当x≤0时,由f(x)＝ax得x2+2ax+a＝ax,得x2+ax+a＝0,得a(x+1)＝﹣x2,得a＝﹣,设g(x)＝﹣,则g′(x)＝﹣＝﹣,由g(x)＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0,此时递增,由g(x)＜0得x＜﹣2,此时递减,即当x＝﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)＝4,当x＞0时,由f(x)＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax,得x2﹣ax+2a＝0,得a(x﹣2)＝x2,当x＝2时,方程不成立,当x≠2时,a＝设h(x)＝,则h′(x)＝＝,由h(x)＞0得x＞4,此时递增,由h(x)＜0得0＜x＜2或2＜x＜4,此时递减,即当x＝4时,h(x)取得极小值为h(4)＝8,要使f(x)＝ax恰有2个互异的实数解,则由图象知4＜a＜8,故答案为：(4,8)三.解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA＝acos(B﹣). (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a＝2,c＝3,求b和sin(2A﹣B)的值.【解答】解：(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA＝asinB,又bsinA＝acos(B﹣).∴asinB＝acos(B﹣),即sinB＝cos(B﹣)＝cosBcos+sinBsin＝cosB+,∴tanB＝,又B∈(0,π),∴B＝.(Ⅱ)在△ABC中,a＝2,c＝3,B＝,由余弦定理得b＝＝,由bsinA＝acos(B﹣),得sinA＝,∵a＜c,∴cosA＝,∴sin2A＝2sinAcosA＝,cos2A＝2cos2A﹣1＝,∴sin(2A﹣B)＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝＝.16.(13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解答】解：(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为：3：2：2,从中抽取7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人.(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,随机变量X的取值为：0,1,2,3,,k＝0,1,2,3.所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望E(X)＝＝；(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,设事件B为：抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人,事件C为抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人,则：A＝B∪C,且P(B)＝P(X＝2),P(C)＝P(X＝1),故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)+P(X＝1)＝.所以事件A发生的概率：.17.(13分)如图,AD∥BC且AD＝2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG＝AD,CD∥FG且CD＝2FG,DG⊥平面ABCD,DA＝DC＝DG＝2.(Ⅰ)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证：MN∥平面CDE；(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；(Ⅲ)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.【解答】(Ⅰ)证明：依题意,以D为坐标原点,分别以、、的方向为x轴, y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).设为平面CDE的法向量,则,不妨令z＝﹣1,可得；又,可得.又∵直线MN⊄平面CDE,∴MN∥平面CDE；(Ⅱ)解：依题意,可得,,.设为平面BCE的法向量,则,不妨令z＝1,可得.设为平面BCF的法向量,则,不妨令z＝1,可得.因此有cos＜＞＝,于是sin＜＞＝.∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；(Ⅲ)解：设线段DP的长为h,(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得,而为平面ADGE的一个法向量,故|cos＜＞|＝.由题意,可得,解得h＝∈[0,2].∴线段DP的长为.18.(13分)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1＝1,a3＝a2+2,a4＝b3+b5,a5＝b4+2b6.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),(i)求T n；(ii)证明＝﹣2(n∈N*).【解答】(Ⅰ)解：设等比数列{a n}的公比为q,由a1＝1,a3＝a2+2,可得q2﹣q﹣2＝0.∵q＞0,可得q＝2.故.设等差数列{b n}的公差为d,由a4＝b3+b5,得b1+3d＝4,由a5＝b4+2b6,得3b1+13d＝16,∴b1＝d＝1.故b n＝n；(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ),可得,故＝；(ii)证明：∵＝＝.∴＝＝﹣2.19.(14分)设椭圆+＝1(a＞b＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|＝6.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【解答】解：(Ⅰ)设椭圆+＝1(a＞b＞0)的焦距为2c,由椭圆的离心率为e＝,∴＝；又a2＝b2+c2,∴2a＝3b,由|FB|＝a,|AB|＝b,且|FB|•|AB|＝6；可得ab＝6,从而解得a＝3,b＝2,∴椭圆的方程为+＝1；(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ＝y1﹣y2；又|AQ|＝,且∠OAB＝,∴|AQ|＝y,由＝sin∠AOQ,可得5y1＝9y2；由方程组,消去x,可得y1＝,∴直线AB的方程为x+y﹣2＝0；由方程组,消去x,可得y2＝；由5y1＝9y2,可得5(k+1)＝3,两边平方,整理得56k2﹣50k+11＝0,解得k＝或k＝；∴k的值为或.20.(14分)已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a＞1.(Ⅰ)求函数h(x)＝f(x)﹣xlna的单调区间；(Ⅱ)若曲线y＝f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)＝；(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线.【解答】(Ⅰ)解：由已知,h(x)＝a x﹣xlna,有h′(x)＝a x lna﹣lna,令h′(x)＝0,解得x＝0.由a＞1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：∴函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调递增区间为(0,+∞)；(Ⅱ)证明：由f′(x)＝a x lna,可得曲线y＝f(x)在点(x1,f(x1))处的切线的斜率为lna.由g′(x)＝,可得曲线y＝g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率为.∵这两条切线平行,故有,即,两边取以a为底数的对数,得log a x2+x1+2log a lna＝0,∴x1+g(x2)＝；(Ⅲ)证明：曲线y＝f(x)在点()处的切线l1：,曲线y＝g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2：.要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),x2∈(0,+∞)使得l1与l2重合,即只需证明当a≥时,方程组由①得,代入②得：,③因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③存在实数解.设函数u(x)＝,既要证明当a≥时,函数y＝u(x)存在零点.u′(x)＝1﹣(lna)2xa x,可知x∈(﹣∞,0)时,u′(x)＞0；x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)＝1＞0,u′＝＜0,故存在唯一的x0,且x0＞0,使得u′(x0)＝0,即.由此可得,u(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,u(x)在x＝x0处取得极大值u(x0).∵,故lnlna≥﹣1.∴＝.下面证明存在实数t,使得u(t)＜0,由(Ⅰ)可得a x≥1+xlna,当时,有u(x)≤＝.∴存在实数t,使得u(t)＜0.因此,当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),使得u(x1)＝0.∴当a≥时,存在直线l,使l是曲线y＝f(x)的切线,也是曲线y＝g(x)的切线.。