当前位置：文档之家 › 2018高考天津理科数学带答案

2018高考天津理科数学带答案

  • 格式：doc
  • 大小：1.73 MB
  • 文档页数：19

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð (A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不重复条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >> (6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增 (D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A)221412x y -= (B) 221124x y -= (C) 22139x y -= (D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为(A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 32018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) i 是虚数单位，复数67i12i+=+ . (10) 在5(2x x的展开式中，2x 的系数为 .(11) 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH-的体积为.(12)已知圆2220x y x+-=的圆心为C，直线21,2232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x ty(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC∆的面积为.(13)已知,Ra b∈，且360a b-+=，则128ab+的最小值为.(14)已知0a>，函数222,0,()22,0.x ax a xf xx ax a x⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin cos()6b A a Bπ=-.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)A B-的值.(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，//AD BC且AD=2BC，AD CD⊥,//EG AD且EG=AD，//CD FG且CD=2FG，DG ABCD⊥平面，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN CDE⊥平面；（II）求二面角E BC F--的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.(18)(本小题满分13分)设{}n a是等比数列，公比大于0，其前n项和为()nS n N*∈，{}nb是等差数列. 已知11a=，322a a=+，435a b b=+，5462a b b=+.（I）求{}na和{}nb的通项公式；（II）设数列{}nS的前n项和为()*∈nT n N，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnk k kkT b bn Nk k n+*+=+=-∈+++∑.(19)(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . ，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. (20)(本小题满分14分)已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i（10）52（11）112（12）12（13）14（14）(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c，故cos A =sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= （16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．KS5U（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）解：设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67． 所以，事件A 发生的概率为67． （17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA u u u r ，DC u u ur ，DG u u u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意DC u u u r =（0，2，0），DE u u u r=（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，， 不妨令z=–1，可得n 0=（1，0，–1）．又MN u u u u r =（1，32-，1），可得00MN ⋅=u u u u rn ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（Ⅱ）解：依题意，可得BC u u u r =（–1，0，0），(122)BE =-u u u r ，，，CF u u u r=（0，–1，2）． 设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u ur ，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得n =（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u ur ，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos<m ，n >=310||||⋅=m n m n ，于是sin<m ，n 10．所以，二面角E –BC –F 10． （Ⅲ）解：设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得(12)BP h =--u u u r，，． 易知，DC u u u r=（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故2cos 5BP DC BP DC BP DC h ⋅<⋅>==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 25h +3，解得h 3∈［0，2］． 所以线段DP 3（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑L . （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，， 消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I ）解：由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln xa a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a .因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)xx a 处的切线l 1：111ln ()xxy a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-.要证明当ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.学*科网即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于x 1的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxau x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点.2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即 0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln xa x a ≥+， 当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当e e a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.。

合集下载

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2018年高考天津卷理科数学真题及答案

2018年高考天津卷理科数学真题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ . 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R，集合{02}A x x=<<，{1}B x x=≥，则()=RA B(A) {01}x x<≤(B) {01}x x<<(C) {12}x x≤<(D) {02}x x<<(2)设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,x yx yx yy+≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y=+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21(D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为(A) a b c >> (B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增 (D)在区间3[,2]2ππ上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A) 221412x y -=(B) 221124x y -=(C) 22139x y -=(D) 22193x y -=(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A)2116(B) 32 (C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018年高考天津卷理科数学真题与答案

2018年高考天津卷理科数学真题与答案

.2018 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参照公式：假如事件 A，B互斥，那么P( AU B)P( A) P(B) .假如事件 A，B 互相独立，那么P( AB)P( A) P(B) .棱柱的体积公式V Sh ，此中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .1棱锥的体积公式 V Sh，此中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱3锥的高 .一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.(1) 设全集为 R，会合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，则A I (e R B)(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}x y5,(2) 设变量x，y知足拘束条件2x y4,则目标函数 z3x 5y 的最大x y1,y0,值为(A)6(B)19(C) 21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运转相应的程序，若输入 N的值为20，则输出 T 的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4) 设x R ，则“| x 1 | 1”是“x31”的2 2(A)充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件(5) 已知a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11，则 a，b，c 的大小关系为23(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) c a b(6) 将函数y sin(2 x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数(A) 在区间[3,5] 上单一递加(B) 在区间[3, ]上单一444递减(C) 在区间[5,3] 上单一递加(D) 在区间[3,2 ]上单422调递减(7) 已知双曲线x2y20) 的离心率为2，过右焦点且垂直于a2b21( a0, bx 轴的直线与双曲线交于A，B 两点.设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d2 6 ，则双曲线的方程为(A)x2y21(B) x2y21412124.(C)x2y21(D) x2y213993(8) 如图，在平面四边形ABCD中，AB BC，AD CD ， BAD 120，AB ADuuur uur1.若点E为边CD上的动点，则AE BE 的最小值为(A)21(B) 3(C)25(D)316216第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。

2018年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)

2018年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)

2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R ，集合A ＝{x|0<x <2}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩(∁R B)＝（ ） A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x <1}C.{x|1≤x <2}D.{x|0<x <2}2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0 ，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A.6B.19C.21D.453. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.44. 设x ∈R ，则“|x −12|<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知a =log 2 e ，b =ln 2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b6. 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A.在区间[3π4, 5π4]上单调递增 B.在区间[3π4, π]上单调递减 C.在区间[5π4, 3π2]上单调递增 D.在区间[3π2, 2π]上单调递减7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=18. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，复数6+7i1+2i =________．10. 在(x −2√x )5的展开式中，x 2的系数为________．11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M−EFGH 的体积为________．12. 已知圆x 2+y 2−2x =0的圆心为C ，直线{x =−1+√22ty =3−√22t，（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．13. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a+18b 的最小值为________．14. 已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0 ．若关于x 的方程f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos (B −π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a =2，c =3，求b 和sin (2A −B)的值．16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． (i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；(ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．17. 如图，AD // BC 且AD =2BC ，AD ⊥CD ，EG // AD 且EG =AD ，CD // FG 且CD =2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =DG =2．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN // 平面CDE ；（2）求二面角E −BC −F 的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60∘，求线段DP 的长．18. 设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．19. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB|⋅|AB|=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线l:y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值．20. 已知函数f(x)=a x ，g(x)=log a x ，其中a >1． (1)求函数ℎ(x)=f(x)−x ln a 的单调区间；(2)若曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线与曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线平行，证明x 1+g(x2)=−2lnln a；ln a(3)证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．参考答案与试题解析2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x<1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．2.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z＝3x+5y的最大值．【解答】由变量x，y满足约束条件{x+y≤5 2x−y≤4−x+y≤1y≥0，得如图所示的可行域，由{x+y=5−x+y=1解得A(2, 3)．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，3.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；N i =203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由|x−12|<12可得−12<x−12<12，解得0<x<1；由x3<1，解得x<1；故“|x−12|<12”是“x3<1”的充分不必要条件，故选A．5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：因为1=log22<log2e<log24=2，所以1<a<2；因为0<ln2<ln e=1，所以0<b<1；因为log1213=log23>log2e，所以c>a．所以c>a>b．故选D．6.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．【解答】解：将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 得到的函数为：y =sin 2x ，增区间满足：−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 减区间满足：π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，k ∈Z ，∴ 增区间为[−π4+kπ, π4+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[π4+kπ, 3π4+kπ]，k ∈Z ，∴ 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 所得图象对应的函数在区间[3π4, 5π4]上单调递增．故选A ． 7.【答案】 C【考点】双曲线的渐近线 双曲线的离心率 双曲线的标准方程【解析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，可得CD 是双曲线的一条渐近线, y =ba x ，即bx −ay =0，F(c, 0)，因为AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， FE ⊥CD ，ACDB 是梯形， F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b2=b ， 所以b =3，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2， 可得c a =2， 可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ． 8.【答案】 A【考点】二次函数在闭区间上的最值 平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴， 过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵ AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1， ∴ AN =AB cos 60∘=12，BN =AB sin 60∘=√32， ∴ DN =1+12=32， ∴ BM =32，∴ CM =MB tan 30∘=√32， ∴ DC =DM +MC =√3，∴ A(1, 0)，B(32, √32)，C(0, √3)， 设E(0, m)，∴ AE →=(−1, m)，BE →=(−32, m −√32)，0≤m ≤√3，∴ AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =(m −√34)2+32−316=(m −√34)2+2116，当m =√34时，取得最小值为2116． 故选A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.【答案】 4−i 【考点】 复数的运算 【解析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4−i ，故答案为：4−i 10. 【答案】5 【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：(x −2√x )5的二项展开式的通项为:T r+1=C 5r⋅x 5−r ⋅2x)r =(−12)r⋅C 5r ⋅x10−3r 2．由10−3r 2=2，得r =2．∴ x 2的系数为(−12)2⋅C 52=52．故答案为：52． 11. 【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意知，四棱锥M −EFGH 为正四棱锥，正方形EFGH 的边长为√(12)2+(12)2=√22，四棱锥M −EFGH 的高为12，所以四棱锥M −EFGH 的体积为13×(√22)2×12=112．故答案为：112． 12. 【答案】12【考点】直线与圆的位置关系参数方程与普通方程的互化【解析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离， 计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积． 【解答】解：圆x 2+y 2−2x =0化为标准方程是(x −1)2+y 2=1，圆心为C(1, 0)，半径r =1； 直线{x =−1+√22t y =3−√22t 化为普通方程是x +y −2=0，则圆心C 到该直线的距离为d =2=√22， 弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√1−12=2×√22=√2，∴ △ABC 的面积为S =12⋅|AB|⋅d =12×√2×√22=12．故答案为：12． 13.【答案】14【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值． 【解答】解：由题知a −3b =−6，因为2a >0，8b >0，所以2a +18≥2×√2a +18=2×√2a−3b =14．当且仅当2a =18b ，即a =−3b ，a =−3，b =1时取等号．故答案为：14． 14.【答案】 (4, 8) 【考点】分段函数的应用 【解析】分别讨论当x ≤0和x >0时，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】当x ≤0时，由f(x)＝ax 得x 2+2ax +a ＝ax ， 得x 2+ax +a ＝0， 得a(x +1)＝−x 2， 得a =−x 2x+1，设g(x)=−x 2x+1，则g′(x)=−2x(x+1)−x 2(x+1)2=−x 2+2x(x+1)2，由g′(x)>0得−2<x <−1或−1<x <0，此时递增，由g′(x)<0得x <−2，此时递减，即当x ＝−2时，g(x)取得极小值为g(−2)＝4， 当x >0时，由f(x)＝ax 得−x 2+2ax −2a ＝ax ， 得x 2−ax +2a ＝0，得a(x −2)＝x 2，当x ＝2时，方程不成立， 当x ≠2时，a =x 2x−2 设ℎ(x)=x 2x−2，则ℎ′(x)=2x(x−2)−x 2(x−2)2=x 2−4x (x−2)2，由ℎ′(x)>0得x >4，此时递增，由ℎ′(x)<0得0<x <2或2<x <4，此时递减，即当x ＝4时，ℎ(x)取得极小值为ℎ(4)＝8， 要使f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解， 则由图象知4<a <8，三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 【答案】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B =cos (B −π6) =cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sin B ，∴ tan B =√3，又B ∈(0, π)，∴ B =π3．(2)在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3， 由余弦定理得b =√a 2+c 2−2ac cos B =√7， 由b sin A =a cos (B −π6)， 得sin A =√3√7， ∵ a <c ， ∴ cos A =√7，∴ sin 2A =2sin A cos A =4√37， cos 2A =2cos 2A −1=17，∴ sin (2A −B)=sin 2A cos B −cos 2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 【考点】两角和与差的余弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）由正弦定理得b sin A =a sin B ，与b sin A =a cos (B −π6)．由此能求出B ．（2）由余弦定理得b =√7，由b sin A =a cos (B −π6)，得sin A =√3√7，cos A =√7，由此能求出sin (2A −B)．【解答】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cos π6+sin B sinπ6=√32cos B+12sin B，∴tan B=√3，又B∈(0, π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2ac cos B=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√3√7，∵a<c，∴cos A=√7，∴sin2A=2sin A cos A=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=4√37×12−17×√32=3√314．16.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【考点】互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(I)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(II)利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A 发生的概率为67．17. 【答案】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)． 设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0，又因为直线MN ⊄平面CDE ， 所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量，则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得√ℎ2+5=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】 此题暂无解析 【解答】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)．设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量， 则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得2=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 18. 【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0． ∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．19. 【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2． 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2． 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2．又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB ，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128．20.【答案】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x −x ln a ，有ℎ′(x)=a x ln a −ln a ， 令ℎ′(x)=0，解得x =0．由a >1，可知当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f ′(x)=a x ln a ，可得曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线的斜率为a x 1ln a ． 由g ′(x)=1x ln a，可得曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线的斜率为1x 2ln a．∵ 这两条切线平行，故有a x 1ln a =1x 2ln a，即x 2a x 1(ln a)2=1，两边取以a 为底数的对数，得log a x 2+x 1+2log a ln a =0， ∴ x 1+g(x 2)=−2lnln a ln a；(3)证明：曲线y =f(x)在点(x 1,a x 1)处的切线l 1:y −a x 1=a x 1ln a(x −x 1)， 曲线y =g(x)在点(x 2, log a x 2)处的切线l 2:y −log a x 2=1x2ln a(x −x 2)．要证明当a ≥e 1e时，存在直线l ，使l 是曲线y =f(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线， 只需证明当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(−∞, +∞)，x 2∈(0, +∞)使得l 1与l 2重合， 即只需证明当a ≥e 1e 时，方程组{a x 1ln a =1x2ln a①，a x 1−x 1a x 1ln a =log a x 2−1ln a②.由①得x 2=1a x 1(ln a)2，代入②得： a x 1−x 1a x 1ln a +x 1+1ln a+2lnln a ln a=0③.因此，只需证明当a ≥e 1e时，关于x 1 的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x −xa x ln a +x +1ln a+2lnln a ln a，即要证明当a ≥e 1e 时，函数y =u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x ，可知x ∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x ∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减. 又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u′(x 0)=0，即1−(ln a)2x 0a x 0=0． 由此可得，u(x)在(−∞, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a +2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a +2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性对数的运算性质【解析】（1）把f(x)的解析式代入函数ℎ(x)=f(x)−x ln a，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（2）分别求出函数y=f(x)在点（x1, f(x1)）处与y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（3）分别求出曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥e1e时，方程a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a +2lnln aln a=0存在实数解．然后利用导数证明即可．【解答】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x−x ln a，有ℎ′(x)=a x ln a−ln a，令ℎ′(x)=0，解得x=0．由a>1，可知当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f′(x)=a x ln a，可得曲线y=f(x)在点（x1, f(x1)）处的切线的斜率为a x1ln a．由g′(x)=1x ln a ，可得曲线y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率为1x2ln a．∵这两条切线平行，故有a x1ln a=1x2ln a，即x2a x1(ln a)2=1，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logaln a=0，∴x1+g(x2)=−2lnln aln a；(3)证明：曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线l1:y−a x1=a x1ln a(x−x1)，曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线l2:y−log a x2=1x2ln a(x−x2)．要证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，即只需证明当a≥e1e时，方程组{a x1ln a=1x2ln a①，a x1−x1a x1ln a=logax2−1ln a②.由①得x2=1a x1(ln a)2，代入②得：a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a+2lnln aln a=0③.因此，只需证明当a≥e1e时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x−xa x ln a+x+1ln a+2lnln aln a，即要证明当a≥e1e时，函数y=u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x，可知x∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减.又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)=0，即1−(ln a)2x0a x0=0．由此可得，u(x)在(−∞, x0)上单调递增，在(x0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a+2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a+2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．。