下载文档原格式
相似三角形中几种常见的辅助线作法有辅助线
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
相似三角形中几种常见的辅助线作法
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型
例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.
解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则
∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.
解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1.
解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，
解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.
，
1==AE DE FE
PE ,2==DC BD PF BP ，
则
2==EA
DA
EF DQ ,
3==DC
BC DQ BF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，
则DC CT DT 21
==；TC BT EF BE =，DC BT 2
5
=
变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：
DC=2：1，E是AD的中点, 连结BE并延长交AC
于F, 求AF：CF的值.
解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，
解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，
解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，
解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，
例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使
AD＝AE，
DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
（证明：过点C作CG
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角
形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.
CE
BD
CF
BF
方法一：过E 作EM 方法二：过D 作DN
例4：在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。求证：EF ×BC=AC ×DF
证明：过D 作DG ∥BC 交AB 于G ，则△DFG 和△EFB 相似，
∴ ∵BE ＝AD,∴
由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似，∴ 即 ∴EF ×BC ＝AC ×DF.
例5：已知点D 是BC 的中点，过D 点的直线交AC 于E,交BA 的延长线于F,
求证：
分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .
（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）
EC AE
BF AF =
DG
DF BE EF =DG DF AD EF
=DG AD BC AC =DG BC
AD
AC =
例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：
BC2=2AC·CD
分析：本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.
例7: 如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，
连接ED且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.
分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利
用平行与2倍关系的结论，证明所得结论. 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似.
例8：在?ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF
分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.
二、作垂线构造相似直角三角形
例9：如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE
和CF，垂足分别为E、F，
求证：
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N
∴ AM：AE=AB：AC （1）
（1）+（2）得
例10：?ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点
（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
2
AC
AF
AD
AE
AB=
⋅
+
⋅
AM
AC
AE
AB⋅
=
⋅
)
(AN
AM
AC
AN
AC
AM
AC
AF
AD
AE
AB+
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅BCM
ADN∆
≅
∆
