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2016中考相似三角形专题复习

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60°
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2016中考数学相似三角形专题复习
【知识点及方法总结】：
一、相似的模型
1. 相似基本模型回顾

2. 相似高级模型
① 双垂直模型及其变形


② 大角夹半角相似模型:如上右图。
二、位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似
中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

【典型例题讲解】
例1. （2015山东省德州市）
(1)问题 :如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究 :图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满
足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值
.

120°
60°

45°
2

例2．（15山东威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

试题训练
一．选择题:

1.（15淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD
的中点，则

△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ） A． B． C． D．

第7题图
F
E
B
D

A

C

1题图 2题图 3题图 4题图
2．（14贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点
为（ ） A.P1 B. P2 C.P3 D.P4

3.（15武汉市）如图，在直角坐标系中，有两.点A(6，3)、B(6，0)．以原点O
为位似中心，相似比为31，在第一象

限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
4．(15株洲)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A．13 B．23 C．34 D．45
5．（14本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，
则CF等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

5题图 6题图 7题图 8题图
6．（13贵阳）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角
形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3

7．（15四川乐山）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，
则的值为（d ） A． B． C． D．
8．（13长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B． C． 2 D．
3

二．填空题：
1．（15江苏泰州）如图，△中，D为BC 上一点，∠BAD=∠C,AB=6，BD=4，则CD的长为_________.

1题图 2题图 3题图 5题图
2．（14海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O
的直径AE= _________ ．
3．（13牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 _________ ，使
△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
4．（15四川凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．
．
5．（13安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= _________ ．

6题图 7题图 8题图
6．（15吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为
m．

7．（15佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E
、

F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
8．（15柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=2EH/3，那么EH的
长为 ．
三．解答题（共5小题）
1．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，
求证：AB2=AD•AC．
4

2．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

3.（15东营）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点
E（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长。

4．（2012•陕西）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．

5（选做）（15聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出
发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，
沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请
说明理由．
5

参考答案
例
1

例2解答： （1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
6

∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵四边形ADEC为⊙O的内接四边形
∴∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴=，即=，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．

一
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A C B B D B
二
1 2 3 4 5 6 7 8
5 5 略 或． 3：5 12 25
7

5解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴，
即，
解得：OP=x，PN=，
∴点N的坐标是（x，）；
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，
∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，
∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），
配方得：S=﹣（x﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是；
8

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，
此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴，
即，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：
则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴，
即，
解得：x=；
综上所述：x的值是2秒或秒．

6．（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，
作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）CG=BH； （2）FC2=BF•GF； （3）=．

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中考专题复习[25]ZZzzl三角形相似

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5
★ 二、知识点练习
3. 已知D、E、分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC， 且S△ADE : S四边形DBCE = 1 : 8，那么AE : AC等于（ B ） A. 1 : 9 B. 1 : 3 S△ADE S四边形DBCE C. 1 : 8 1 8 D B D. 1 : 2 A E C
11
B E
C
★ 四、提高训练
1. 如图梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF并延长与 AB的延长线相交于点G， D C （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交 E AD于点E，若AB = 6，EF = 4，求CD的长. （1）证明：∵ AB∥CD 即DC∥BG ∴ △CDF∽△BGF F
A
B
G
∴ △DEF∽△DAG
∴ EF = DF = 1 AG DG 2
14
★ 四、提高训练
1. 如图梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF并延长与 AB的延长线相交于点G， D C （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交 E AD于点E，若AB = 6，EF = 4，求CD的长. （2）解：∴ 4 = 1 AG 2 ∴ AG = 8 ∴ BG = AG - AB = 8 - 6 = 2 F
2. 如图在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE = 3， 则△ABC是周长是（ C ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 21 D B A E C
分析：∵ D、E分别是AB、AC的中点 1 ∴ DE = BC 2 ∴ BC = 2DE = 2×3 = 6 又∵ △ABC为等边三角形 ∴ l△ABC = 3BC = 3×6 = 18
2016中考数学试题分类汇编之相似三角形

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2013中考全国100份试卷分类汇编相似三角形1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）PE=EM=PMFP=FN=NPPE=EM=NP OA=AC2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）3、（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）=，=4、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（），=26、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..．故答案为：．7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．．=，=，=，CD=EF=．11、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）12、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．a=13、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=，DB14、（9-2图形的相似·2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。

中考专题复习—三角形(相似三角形、特殊三角形、全等三角形)

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三角形（相似三角形、特殊三角形、全等三角形）三角形（一）一、知识点回顾二、错题重做如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，-3），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．如图，已知直线m x y 1+=与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 与双曲线x k y 2=（x<0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（－1，2）.（1）分别求出直线AB 及双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，21y y >.3、（2010广州）已知反比例函数y=（m 为常数）的图象经过点A （﹣1，6）． （1）求m 的值；（2）如图，过点A 作直线AC 与函数y=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB=2BC ，求点C 的坐标．三、内容讲解（二）相交线与平行线1、同位角、内错角、同旁内角2、平行线、相交线3、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

（三）三角形1、三角形的边、角、三边关系|b−c|<a<b+c2、三角形的角平分线、中线、高（可能在外部）3、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一等边三角形判定：2个内角是60°、三边相等、1个角是60°的等腰直角三角形的性质：30°所对直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半4、外角、内角和、外角和、多边形内角和和外角和、平面镶嵌（四）全等三角形1、全等形、全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、面积相等、周长相等2、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL3、角的平分线的判定和性质4、线段垂直平分线的判定和性质5、作图：角平分线、垂直平分线6、轴对称和轴对称图形（将军饮马）（五）勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方：c b a =+222、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系： 222c b a =+（四）相似1、比、比的前项、比的后项、比例、比例外项、比例内项、比例线段、比例的基本性质2、合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a +=+ 等比性质：如果n m d c b a === ，（0≠+++m d b ），那么b a n d b m c a =++++++ 3、黄金分割：215-倍、黄金分割点。

中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)

中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)

中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。