[工学]电动力学 郭硕鸿 第三版 第13次课31矢势及其微分方程

第三章 静磁场

本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量

2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较

3、了解A-B效应和超导体的电磁性质

本章难点：利用磁标势解决具体问题

§1.矢势及其微分方程

一．稳恒电流磁场的矢势

1． 稳恒电流磁场的基本方程

稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。

特点：电荷为匀速运动，J与t无关，故H、B与t无关。

这里仅讨论HB，即不存在铁磁介质。在这里静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。实际上建立一个与电荷一起运动的参照系，在这个参照系中，稳恒磁场转化为静电场。

基本方程 0BJH ，边界关系：0)()(1212BBnHHn

2． 矢势A

（1）引入：静电场为有源无旋场，电力线永不闭合，EE0，——标势（电势）。稳恒电流磁场为有旋无源场，磁力线总闭合，不能引入标势（在某些特殊情况也可引入）

∵0B 可令0)(AAB

总成立。A称为磁场的矢势。

（2）A的物理意义

SSLldASdASdB)(，其中S为回路，L为边界的任一曲面。

物理意义：SLSdBldA

A沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为界的任一曲面的磁通量。而每点A无直接物理意义

（3）A的不唯一性

已知A，可唯一确定AB，但对于同一个B，A不唯一，可相差一个标量函数的梯度。令BAAAAA)(，若对A的散度给予限制，则可使A的任意性减少。一般取0A （一般0） 二．矢势A满足的方程及方程的解

1．A的方程

在均匀各向同性线性介质中，HB，而JH

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理（复习备考专用）要点

电动力学答案

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：

B

A B A A B A B B A )()()()()(??++??+=??A

A A A )()(2

21??-?=A

2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：

u u

f u f ?=

d d )(，

u

u u d d )(A A ?

=??，

u

u u d d )(A

A ??=??

证明：

3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

为源点'x 到场点x

的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：

r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ；

0)/(3=??r r ；

0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E 及

)]sin([0r k E ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明

f

S f ?=S

V

V d d ，应用斯托克斯

（Stokes ）定理证明??=??L

S

l S d d

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V

x x p ?

=

ρ，

利用电荷守恒定律0=??+

t

ρ

J 证明p 的变化率为：?=V V t t

d ),'(d d x J p

6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3

/R ）（R m A ?=

的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值，即

-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原

点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为

第1页

电动力学习题解答

电动力学答案

第一章电磁现象的普遍规律

1.根据算符' 的微分性与向量性，推导下列公式：

1( A B ) =B ('、 A) ■ ( B ^ ) A A (I B) ' (A '、、) B

A (∖ A) ∖ A -(A '、) A 2.设U是空间坐标X, y,z的函数，证明:

'、f (U) df U d U ：：/

∙A(U)= d A U — dU

∖ A (U) =VU d A

du

证明: 第 2页

电动力学习题解答

3. 设r = (X - χ')亠(y _ y')亠(Z -z') 为源点 X'到场点 X 的距离，r的方向规定为从源点指向场点。

(1) 证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微 商的关系：

Ir= 一1 'r = r / r ； I (1 / r) _ -■• ' (1 / r) _ -r / r3 ；

3

'、(r/ r ) =0 ；

∖ (r / r ) = '(r / r ) = O ， (r = 0)。

(2 )求 r ， '∙∙ r ， (a •''、) r ， 1(a r)，

∖ [ E o Sin( k r)]及

''、[E OSin( k r)],其中a、k及E O均为常向量。,应用斯托克斯

(StokeS)定理证明 dS = d I”

^S ^L 4.应用高斯定理证明 f dS f 第 3页

电动力学习题解答

5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为 P(t) = Vj(X',t)X'dV',

利用电荷守恒定律∖ =0证明P的变化率为：

Ct

d P J ( X',t)dV

dt -V

6.若m是常向量，证明除R=O点以外，向量A =( m R)/ R3 的旋度等于标量:护^m R/R3的梯度的负值，即 V A -- ，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。第4页

电动力学习题解答

7.有一内外半径分别为 r1和r2的空心介质球，介质的电容率为

电动力学习题解答

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2 电动力学答案 2. 设u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明：

f (u)  df

du u ，   A(u)  u  dA ，

du

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：

( A  B)  B  (  A)  (B  ) A  A  (  B)  ( A  )B

A  (  A)  1 A2  ( A  ) A   A(u)  u  dA du

证明： 电动力学习题解答

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3. 设 r 的距离， r 为源点 x' 到场点 x

的方向规定为从源点指向场点。 4. 应用高斯定理证明 V dV  f  dS  f ，应用斯托克斯

S

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微 （Stokes）定理证明  dS    dl

商的关系：

r  ' r  r / r ； S L

(1/ r)  '(1/ r)  r / r 3

；   (r / r 3 )  0 ；

  (r / r 3 )  '(r / r 3 )  0 ，

(r  0) 。

（ 2） 求   r ，   r ， (a  )r ， (a  r) ，

 [E0 sin(k  r)] 及

 [E0 sin(k  r)]

，其中a 、 k 及 E0 均为常向量。 (x  x')2  ( y  y')2  (z  z')2 电动力学习题解答

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5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 p(t)  V ( x', t)x' dV '，  6. 若 m 是常向量，证明除 R  0 点以外，向量 A （m  R）/ R3

的 旋 度 等 于 标 量  m  R / R3 的 梯 度 的 负 值 ， 即