8-4多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则详解

具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。

链式法则：

链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。我们用一个简单的例子来说明。假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。

首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。然后我们计算

g(y) 的导数 dg/dy = 3y²。接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。

根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *

(df/dx)。在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。我们可以通过将 f(x)

的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。即将 f(x) 的结果代入到 g(y)

中得到 h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。

然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。根据前面的计算， g(y) 的导数 dg/dy = 3y²。将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即

f(x) = x²+1，我们得到 dg/df = 3(x²+1)²。

接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即

h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。因此，我们得出 h(x) 的导数为 h'(x) = 6x(x²+1)²。

这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。 求导法则：

求导法则是适用于一个函数内部多次嵌套函数的情况。我们用一个具体的例子来说明。假设有一个函数 f(x, y) = x²y³+2xy，现在我们要求复合函数 h(x, y) = f(f(x, y), y) 的偏导数。

4多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则可以通过链式法则来进行推导和应用。链式法则是微积分中一种基本的求导法则，用于求解复合函数的导数。在多元函数的情况下，链式法则也同样适用。

1.一元函数的链式法则

首先回顾一下一元函数的链式法则。对于一个一元函数f(g(x))，其中g(x)是x的函数，我们可以使用链式法则求导：

(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)

这个法则的核心思想在于，我们把函数f的导数与待求函数对x的导数相乘。

2.二元函数的链式法则

推广到二元函数的情况，假设我们有一个二元函数z=f(x,y)，其中x是自变量，y是中间变量。我们可以通过链式法则来求导。

首先，我们考虑z关于x的偏导数，记作∂z/∂x。由链式法则可得：

∂z/∂x = (∂f/∂x)(dx/dx) + (∂f/∂y)(dy/dx)

由于dx/dx=1，dy/dx是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂x简化为：

∂z/∂x = (∂f/∂x) + (∂f/∂y)(dy/dx)

同理，我们也可以求z关于y的偏导数∂z/∂y：

∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)(dy/dy) 由于dy/dy=1，dx/dy是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂y简化为：

∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)

3.多元函数的链式法则

如果函数z与多个自变量有关，即z=f(x1, x2, ..., xn)，我们可以使用类似的方式计算其偏导数。

对于z关于x1的偏导数∂z/∂x1，我们需要乘以x1关于中间变量的导数。具体来说，我们可以写出：

∂z/∂x1 = (∂f/∂x1)(dx1/dx1) + (∂f/∂x2)(dx2/dx1) + ... +

(∂f/∂xn)(dxn/dx1)

同理，我们也可以对z关于其他自变量求偏导数，得到类似的表达式。

4.链式法则的应用

1 / 9 6.3 多元复合函数和隐函数求导法则

6．3．1 复合函数的求导法则

思考：设),(vufz， 而)(tu，)(tv，如何求dtdz？

设),(vufz，而),(yxu，),(yxv，如何求xz和yz？

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数)(tu及)(tv都在点t可导

函数),(vufz在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数)](),([ttfz在点t可导 且有

dtdvvzdtduuzdtdz

简证1：因为),(vufz具有连续的偏导数

则它是可微的 即有dvvzduuzdz

又因为)(tu，)(tv都可导 因而可微 即有dtdtdudu dtdtdvdv

代入上式得：dtdtdvvzdtdtduuzdzdtdtdvvzdtduuz)(

从而 dtdvvzdtduuzdtdz

简证2：当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z

，由),(vufz、)(tu及)(tv的可微性 有

)(ovvzuuzz)()]([)]([ototdtdvvztotdtduuz

)()()()(otovzuztdtdvvzdtduuz

tottovzuzdtdvvzdtduuztz)()()(

令t0 上式两边取极限 即得

dtdvvzdtduuzdtdz

注：0)()(0)()()(lim)(lim222200dtdvdtdutvuotott

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dtdz？

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求xz和yz？

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dtdvvzdtduuzdtdz

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dvvzduuzdz

又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dtdtdudu dtdtdvdv

代入上式得

dtdtdvvzdtdtduuzdzdtdtdvvzdtduuz)(

从而 dtdvvzdtduuzdtdz

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

)(ovvzuuzz)()]([)]([ototdtdvvztotdtduuz

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tottovzuzdtdvvzdtduuztz)()()(

令t0 上式两边取极限 即得

dtdvvzdtduuzdtdz