考研数学概率学：概率论与数理统计实用口诀

（14）独 立性
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与
B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x x
n
A Bi
2°
， i1
（15）全 概公式
则有 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公
式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某
事件的概率，就用全概率公式；
不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不
可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基
本事件是互不相容的。
..
2
.. -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。 它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减

概率论与数论统计第一部分 概率论※随机事件的运算定律交换律：A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C A ∩(B ∩C)=(A ∩B)∩C分配率：A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∪C) A ∪(B ∩C)=(A ∩B)∪(A ∩C)对偶律：A ∪B=A ∩B A ∩B=A ∩B鄙人之愚见：如果碰到那种很难从正面理解的事件，试着从对立面翻译。

※条件概率与概率公式1. 条件概率公式：P (A |B )=P(AB)P(B)2. 乘法公式：P (A B C D …)=P (A )P (B |A )P (C |AB )P (D |ABC )3. 全概率公式：P (A )=∑P (B i )P(A|B i )∞i=14. 贝叶斯公式：P (B i |A )=P (B i )P(A|B i )∑P(A |B j )P(B j )∞i=1鄙人之愚见：除了第一个以外，其他的都太抽象，强烈建议不要去记他们，而是去做题，不然小心思维混乱。

我现在压根不明白他们是什么意思，但是如果做题的话就会无意中用到。

※离散型随机变量的常见分布1. 两点分布与二项分布X~B(n,p)2. 泊松分布若X~B(n,p),当n →∞，X~P(λ),λ=npP(λ)=λk e −λk!※连续型随机变量及其常见分布1. 概率密度函数是分布函数的导数，分布函数是概率密度函数的可变上限定积分。

2. 零概率事件并不都是不可能事件，几乎必然发生的事件也并不都是必然事件。

3.分布函数的定义域一定是从-∞→∞，值域一定是从0→1，右连续[P(X)=P(X+0)]，且单调不减，自己做题要注意。

4．分布函数不仅仅只有离散型和连续型两种。

5．均匀分布：概率密度函数满足f (x )={1b−a （a ≤x ≤b ）0 (其他)X~U(a,b)6. 指数分布：概率密度函数满足f(x){λe −λ(x ≥0)0(x <0)X~E(λ) λ>0 7. 正态分布：X~ N(μ,ϭ2)正态分布函数的标准化：一般的正态分布N(μ,ϭ2)的分布函数F(x)与标准正态分布N(0,1)的分布函数ϕ(x)之间有如下关系：F(x)=ϕ(x−μϭ)3ϭ原则：0.6826 0.9574 0.99738.对于一般的连续型随机变量，有如下定理设X 为连续型随机变量，f x （x ）为X 的概率密度，若y=g(x)为严格单调的连续函数，且反函数x=h(y)有连续导数，则Y=g(x)为连续型随机变量，且概率密度为 f x (y)=f x [(h(y) ) * |h`(y)|]若g(x)分段严格单调，对应反函数h i (y) 则有f x (y)=∑f x i [(h i (y) ) * |h i `(y)|]※二维随机变量的联合分布与边缘分布1.二维随机变量的分布函数和概率密度函数依然拥有一维随机变量的那些性质，只是更麻烦些。

山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是数学的重要分支，广泛应用于各个领域。

在山东省考研的数学科目中，概率论与数理统计是必考内容之一。

为了帮助考生复习，本文将针对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，并提供相应的考点解析和习题练习。

一、概率论基础知识1. 随机事件与概率：事件的概念、随机事件的概率、事件的运算（包括事件的和、积，互斥事件，逆事件等）2. 条件概率与独立性：条件概率的概念、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式、独立事件的概念与性质3. 随机变量与分布函数：随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的分布4. 数学期望与方差：随机变量的数学期望、方差的性质与计算、条件期望、协方差与相关系数的定义与计算二、概率分布1. 离散型随机变量的分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等，包括分布的概率函数、分布函数、数学期望和方差的计算2. 连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布等，包括分布的密度函数、分布函数、数学期望和方差的计算3. 两个随机变量的分布：随机变量之和的分布、两个随机变量的函数的分布三、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：切比雪夫不等式、大数定律的独立同分布条件、伯努利大数定律、辛钦大数定律2. 中心极限定理：中心极限定理的独立同分布条件、独立同分布情况下的林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理四、参数估计与假设检验1. 点估计：估计量与矩估计、最大似然估计、无偏性与有效性、均方误差2. 区间估计：置信区间的构造与解释、枢轴变量法构造置信区间、大样本置信区间与小样本置信区间3. 假设检验：假设检验的基本原理与步骤、拒绝域与接受域、显著性水平与p值、参数检验与非参数检验五、相关分析与方差分析1. 相关分析：相关系数的计算与解释、相关系数的性质与应用、线性回归与最小二乘法2. 方差分析：单因素方差分析、双因素方差分析、方差分析的假设条件与检验方法六、样本调查与抽样分布1. 随机抽样：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样等抽样方法2. 样本调查：样本容量的确定、调查问卷设计与分析、样本误差与抽样误差3. 抽样分布：统计量与抽样分布、正态分布与t分布、卡方分布与F分布通过对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，希望能够帮助山东省考研数学的考生有一个清晰的复习框架。

第1 章随机事件及其概率在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Ø 为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

1°Ω={1,2 n}，12°P(1) =P(2) = P(n) =n。

设任一事件A ，它是由1,2 m组成的，则有P(A)= {(1) (2) (m)}= P(1) +P(2) + +P(m)=m=A所包含的基本事件数n 基本事件总数第二章随机变量及其分布设随机变量X 的分布律为k-P( X =k ) = e ，> 0 ，k = 0,1,2 ，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ () 或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

e-x , x≥0,f (x) =0, x < 0 ,其中> 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。

X 的分布函数为1 -e-x, x≥0,F (x) =0,x<0。

记住积分公式：+∞⎰x n e -x dx =n!正态分布设随机变量 X 的密度函数为 21-( x -) 2- ∞ < x < +∞f (x ) =e 2 ， ， 2其中、> 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为 X ~ N (,2) 。

f (x ) 具有如下性质：1° f (x ) 的图形是关于 x = 对称的；2° 当 x = 时， f ()= 1 为最大值；若 X ~ N (,2) ，则 X 2 的分布函数为1 x e- ( t - ) 2F (x ) =⎰- 2 2dt2∞参数= 0 、= 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X ~ N (0,1) ，1 其-密x 2度函数记为 (x ) = e 22 ， - ∞ < x < +∞ ，分布函数为21x - t Φ(x ) = 2⎰ e 2dt 。