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概率论与数理统计学1至7章课后答案

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第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(≥≤m X P ，也即01.0)1(≤+≥m X P因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9 某种元件的寿命X (单位：小时) 的概率密度函数为：21000,1000()0,1000x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩ 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为3110001000)15001000(15001000150010002=-==≤≤⎰x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)31,5(~B Y 。

所求的概率为22351280(2)()()33243P Y C ==⨯=。

2.10 设某地区每天的用电量X (单位：百万千瓦•时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为：212(1),01,()0,x x x f x ⎧-=⎨⎩其他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦•时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦•时, 每天供电量不足的概率是多少? 解：求每天的供电量仅有80万千瓦•时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X 超过80万千瓦•时（亦即X ≥0.8百万千瓦•时）的概率：0.80.8202340.8(0.8=1-P(X 0.8=1-()112(1)1(683)0.0272P Xf x dx x x dxx x x -∞≤=--=--+=⎰⎰））若每天的供电量上升到90万千瓦•时, 每天供电量不足的概率为：0.90.9202340.9(0.9=1-P(X 0.9=1-()112(1)1(683)0.0037P Xf x dx x x dxx x x -∞≤=--=--+=⎰⎰））2.11 设随机变量~(2,4),K U -求方程22230x Kx K +++=有实根的概率.解：方程22230x Kx K +++=有实根，亦即248124(3)(1)0K K K K ∆=--=-+≥,显然，当31K K ≥⋃≤-时，方程22230x Kx K +++=有实根；又由于~(2,4),K U -所求概率为：1(2)4314(2)3---+-=--。

2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X (单位：小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列事件的概率：(1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时;(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：1001000.0050.0050.50(100)0.0051x xP X e dx e e ---<==-=-⎰=0.39(2) 发射管的寿命超过300 小时的概率：1.5 1.5(300)1(300)1(1)0.223P X P x e e -->=-<=--==(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.0.50.5 1.5(1)()0.15e e e -----=。

2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282 人次所打的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E (0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为5105.0105.05.0)10(-+∞-+∞-=-==>⎰e e dx e X P xx又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5-e B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825≈⨯=-eλ的泊松分布。

所求的概率为P≥Y=YPPY-=()0(1)2-(=)156625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e2.14 某高校女生的收缩压X (单位：毫米汞柱) 服2(110,12)N , 求该校某名女生： (1) 收缩压不超过105 的概率;(2) 收缩压在100 至120 之间的概率. 解：(1))42.0(1)42.0()12110105()105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=(2))12110100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤X P5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=。

2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性的身高X (单位：厘米) 服从正态分布N (170，262), 问车门的最低高度应为多少? 解：设车门高度分别为x 。

则：170()10.010.99()6x P X x -≤=-==Φ 查表得，(2.33)0.99Φ=，因此1702.336x -=，由此求得车门的最低高度应为184厘米。

2.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数.解：X 的可能取值为0,1,2。

因为1817161512(0),2019181719P X ===； 2184203(2)95C P X C ===； 12332(1)1199595P X ==--= 所以XX 的分布函数为0120119()92129512x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数. 解：X 的可能取值为1,2,3。

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概率论与数理统计学1至7章课后答案

概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。

概率论与数理统计教程第四版课后答案

概率论与数理统计教程第四版课后答案


1i jk n
若事件 A1 , A2 ,, An 互不相容，则
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 3
2.条件概率及乘法定理
条件概率
PA
|
B
PAB PB
,
PB
|
A
PAB PA
.
乘法定理 PAB PB PA| B PA PB | A
PA1 A2 An PA1 PA2 | A1PA3 | A1A2 PAn | A1A2 An1
N
P10 10
设事件A 表示指定的3本放在一起，
则A所包含的基本事件的数： M P33 P88
∴
P(A)
M N
P33 P88 P10
10
8!3! 1 0.067 10! 15
11
6. 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行 比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。
解
解 基本事件的总数：N 9 105
设事件A 表示电话号码是由完全不同的数字组成， 则A所包含的基本事件的数： M 9 P95
∴
P( A) M N
9 P95 9 105
189 1250
0.1512
10
5. 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的3本放在一起的概率。
解
基本事件的总数：
C
1 4
C
2 3
C
1 3
43
9 0.5625
16
13. 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任取一
半来检查，设A表示发现次品不多于1个，求A的概率。
解
P( A)
C
50 95
C
1 5
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。