_挖掘_教学策略在高等数学教学中的应用
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[收稿日期]2007201231
[基金项目]天津市高等教育学会“十一五”教育科学研究课题(06TG039)
第25卷第4期大 学 数 学Vol.25,№.4
2009年8月COLLEGEMATHEMATICSAug.2009
“挖掘”教学策略在高等数学教学中的应用王 霞(天津科技大学理学院,天津300222)
[摘 要]由于数学所具有的特点,在高等数学教学中,运用“挖掘”教学策略,对高等数学中哲学思想、数学内容本身及数学问题中的隐含条件进行挖掘、培养学生学习数学的兴趣,同时培养学生具有发现问题、提出问题、探索问题的能力及创造性思维能力.
[关键词]数学教学;“挖掘”教学策略;创造性思维[中图分类号]G424.1 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2009)0420021203
创造是现代人的基本特征,创新是现代教育的基本标志,基础教育的使命是提高全民族科学文化素质及创新能力.数学在基础教育中占有非常重要地位,在创新型人才培养中具有其他学科不可替代的重要作用.
因为数学内容本身具有严谨、精确、复杂、新异、高度抽象、高度概括等特点,所以数学思维除具有人的思维共性外,还具有广阔性、深刻性、组织性、批判性、灵活性及创造性.数学素以严谨、务实、求真著称,其题型灵活多变,解法奇妙、富有趣味且深难度兼而有之,这就要求教师在数学教学中要走出传统的“传道、授业、解惑”模式,需要采用挖掘的教学策略进行教学,要不断地激发学生探索精神、创新及竞争意识.
1 高等数学中哲学思想的挖掘数学中充满了辩证法,如常量与变量、函数与反函数、函数的有界与无界、函数的无穷小量与无穷大量,微分与积分等均为对立统一概念.负负得正,微分再积分,积分再微分,体现了否定之否定思想.极限概念本身是直线与曲线,近似与准确,无限与有限之间互相转化,是对立统一规律的具体体现,也是质量互变规律的具体体现,即量变到一定程度发生质变.
教师通过对高等数学中哲学思想的挖掘,在教学过程中加强对学生各种能力的培养.
1.培养学生思维的严密性.数学推理主要表现为“条件]结论”的形式.
学生运用数学知识解决问题
时,一定要注意条件的满足,有条件才会有相应的结论.例如,求极限lim
x→0tanx-sinxx3,不能写成limx→0
tanx
x3
-limx→0
sinx
x3,只有当两个函数都有极限时,才有差的极限等于极限的差,极限的运算法则只有对有限个函
数成立.即有限个函数存在极限时,其和存在极限,和的极限等于极限的和,此法则对无限个函数不成立,即极限limn→∞1n+…+1n不能用和的极限等于极限的和的法则.
2.培养学生思维的深刻性.学习数学,不能只看表面,要深入问题的实质,
对问题进行分析、抽象、概
括.数学上有许多问题都充分体现出用有限来表示无限的思想.例如,已知x→0,sinx～x,可得φ(x)→0时,sinφ(x)～φ(x)的结论.对于重要极限,表面上看是一个公式,实质上,应为无穷多个公式,即limφ(x)→0sinφ(x)φ(x)=1,其中φ(x)为x的函数.
3.培养学生思维的灵活性.数学上的许多方法都是宏观方法,一定要具体问题进行具体分析,
注重
发散思维与逆向思维的训练,使学生全面考虑问题,达到举一反三程度.例如,数学“1”是数量单位,有着极其丰富的内容,它是简单和复杂的统一体.由于1=sin
2x+cos2x,1=(sin2x+cos2x)2
,故积分
∫1sin3xcos5xdx=∫(sin2x+cos2x)2sin3xcos5x
dx
=∫sinxcos5xdx+2∫sin2xcos2xsin3xcos5xdx+∫cos4xsin3xcos5xdx
=∫-dcosxcos5x+2∫sin2x+cos2xsinxcos3xdx+∫sin2x+cos2xsin3xcosxdx
=14cos4x+1cos2x+3ln|tanx|-12sin2x+C.
2 数学内容的挖掘1.概念的挖掘.
数学概念是对客观现实世界具体事物的抽象,是数学中非常重要的组成部分.在概念教学时,利用挖掘教学策略,挖掘学生已有知识,以使新的信息有意义.例如,由函数在一点极限的概念lim
x→x0
f(x)
=A,当f(x)在点x0有定义且f(x0)=A时,得f(x)在点x0连续;若给出自变量的改变量Δx,
计算出
函数的改变量Δy,极限limΔx→0ΔyΔx存在时,f(x)在点x0可导.由函数在一点的导数的定义,可以挖掘出函数在一个开区间导数的定义及闭区间导数的定义和半开区间半闭区间导数的定义.
2.定理的挖掘.
定理是数学理论的重要组成部分,能否真正理解、掌握数学定理,是学生学好数学的关键.教师利用挖掘教学策略,分析每一个定理的条件与结论,看条件是充分的还是充要的,即将定理看成是原命题,对其逆命题是否成立进行挖掘.若成立,则给出证明,否则举出反例,使学生能够将知识融会贯通.例如,由函数f(x)在区间I上可导且导数f′(x)>0,得出函数f(x)在区间I上单调增加的结论,挖掘出f(k+1)(x)>0时,得出函数f(k)(x)单调增加的结论,反之,结论不一定成立.3.例题与习题的挖掘.
例题与习题是对数学知识的理解、巩固与具体应用,是将数学理论应用于实践不可缺少的一个必要环节.教师利用挖掘教学策略对其进行教学,有利于激发学生学习的积极性,增强学生学习兴趣,提高学
生学习能力.例如,书上习题:求证积分等式∫baf(x)dx=∫baf(a+b-x)dx.只要将等式的左端设变量代
换x=a+b-t,即可证出等式成立.以此等式为公式,计算积分∫π4
0ln(1+tanx)dx,
即
∫π40ln(1+tanx)dx=∫π40ln1+tanπ4-xdx=∫π4
0ln1+1-tanx1+tanxdx
=∫π40ln21+tanxdx=∫π40(ln2-ln(1+tanx))dx
=π4ln2-∫π40ln(1+tanx)dx,
故原式为π8ln2.
再由等式∫baf(x)dx=∫baf(a+b-x)dx,可证明以下式子
22大 学 数 学 第25卷∫a-af(x)dx=∫a-af(-x)dx=12∫a-a(f(x)+f(-x))d
x
成立.当f(x)为奇函数时,积分∫a-af(x)=0.以∫a-af(x)dx=∫a-af(-x)dx=12∫a-a(f(x)+f(-x))d
x
为
公式,计算积分∫1-11
1+sinx
dx,
即
∫1-111+sinxdx=12∫1-111+sinx+11+sin(-x)dx=12∫1-12
1-sin2x
dx
=∫1-1sec2xdx=2tan1.
由等式∫baf(x)dx=∫baf(a+b-x)dx,还可证明以下式子∫10xm(1-x)ndx=∫10xn(1-x)mdx成
立,以此等式为公式,计算积分∫10x(1-x)8dx,只要转化计算积分∫10x8(1-x)dx即可.
3 数学问题中的隐含条件的挖掘数学是人类需求不断拓展的领域,对数学问题的探究永无止境.学会学习的首要任务是学会思考,
“我思,故我在”,这是笛卡尔的至理名言.孔子说过“学而不思则罔,思而不学则殆”,可知思考的重要性是不容置疑的.在课堂教学中,教师利用挖掘教学策略,要留有足够的时间和空间,让学生自己去想,并且鼓励学生奇思妙想,从而使学生主动获取知识并应用知识解决问题.例如,函数f(x)可导,且f′(x)
=[f(x)]2,求f(n)(x).因为f′(x)=[f(x)]2,
所以可以挖掘出题中隐含条件为等式右端存在一阶导
数,即f′(x)一阶可导,从而f(x)具有二阶导数,且f″(x)=2f(x)f′(x)=2[f(x)]3.而[f(x)]3具有一阶导数,则f(x)具有三阶导数,由复合函数求导规则,同样道理,可以继续往下作,f
(n)
(x)
=n![f(x)]n+1.
在数学里,才智比知识重要得多,要求教师不仅向学生传授知识,而且还应当开发他们的才智及他们的独立性、能动性和创新精神.19世纪法国教育家第斯多惠曾说“一个不好的教师对学生奉送真理,
一个好的教师教学生发现真理.”挖掘教学策略的应用,就是要使学生具有发现问题、提出问题、探索问题的能力,培养学生解决数学问题的悟性,提高学生自学能力.
[参 考 文 献][1] 曹勇兵.研究性学习的实施策略与实践[J].理科教学探索,2004,(2):42-43.[2] 杨跃鸣.数学教学中培养学生“问题意识”的教育价值及若干策略[J].数学教育学报,11(4):77-80.[3] 彭建明,程小华,曾护荣.数学教学中思维的智力品质及培养[J].数学教学研究,1993,(5):2-4.[4] 王金发.探索研究性教学用心授课[J].中国高等教育,2004,(9):20-22.
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