2018届人教B版(理科数学) 两直线的位置关系专题 单元测试
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两直线的位置关系专题
[基础达标](35分钟55分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.直线2x+my=2m-4与直线mx+2y=m-2垂直的充要条件是()
A.m=2
B.m=-2
C.m=0
D.m∈R
C【解析】由题意得，2m+2m=0，得m=0.
2.直线l1：(3+a)x+4y=5-3a和直线l2：2x+(5+a)y=8平行，则a=()
A.-7或-1
B.-7
C.7或1
D.-1
B【解析】由题意可得解得a=-7.
3.当0<k<时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B【解析】解方程组得交点坐标为.因为0<k<，所以
<0，>0，故交点在第二象限.
4.若三条直线l1：4x+y=3，l2：mx+y=0，l3：x-my=2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有() A.2个B.3个C.4个D.6个
C【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或者三条直线相
交于同一点.若l1∥l2，则m=4；若l1∥l3，则m=-；若l2∥l3，则m的值不存在；
若三条直线相交于同一点，则m=1或-.故实数m的值最多有4个.
5l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为()
A.B.-C.-D.
B【解析】依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a=-5，
b=-3，从而可知直线l的斜率为=-.
二、填空题(每小题5分，共10分)
6l1：x+y sin α-1=0和l2：2x sin α+y+1=0，若l1⊥l2，则α=；若l1∥l2，则α=.
kπ(k∈Z)kπ±(k∈Z)【解析】因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，所以2sin α+sin α=0，即sin α=0，所以α=kπ，k∈Z.故当α=kπ，k∈Z时，l1⊥l2；因
为A1B2-A2B1=0是l1∥l2的必要条件，所以2sin2α-1=0，所以sin α=±.又B1C2-B2C1≠0，所以1+sin α≠0，即sin α≠-1，所以α=kπ±，k∈Z.故当α=kπ±，k ∈Z时，l1∥l2.
7l1：3x+4y-4=0与l2：3x+4y+1=0之间的距离是.
1【解析】l1：3x+4y-4=0与l2：3x+4y+1=0之间的距离d==1.
三、解答题(共20分)
8.(10分)已知直线l1经过点A(3，m)，B(m-1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(-2，
m+2).
(1)当m=6时，试判断直线l1与l2的位置关系；
(2)若l1⊥l2，试求m的值.
【解析】(1)当m=6时，A(3，6)，B(5，2)，C(1，2)，D(-2，8)，
=-2，=-2，故，
此时，直线l1的方程为y-6=-2(x-3)，经验证点C不在直线l1上，从而l1∥l2.
(2)=-，l2的斜率存在，
若l1⊥l2，
当=-=0时，m=0，则A(3，0)，B(-1，2)，此时直线l 1的斜率存在，不符合题意，舍去；
当=-≠0时，，故-=-1，解得m=3或m=-4.
综上可得m=3或m=-4.
9.(10分)已知点A(-3，0)，B(3，-3)，C(1，3).
(1)求过点C且和直线AB平行的直线l1的方程；
(2)若过点B的直线l2和直线BC关于直线AB对称，求l2的方程.
==-，且l1过点C(1，3)，
【解析】(1)∵=k
∴所求方程为y-3=-(x-1)，即x+2y-7=0.
(2)∵k AB==-，
∴直线AB的方程是y=-(x+3).①
设点C关于直线AB的对称点为点D，∴k CD=-=2.
∴直线CD的方程是y-3=2(x-1)，②联立①②解得交点，也即CD的中点坐标为(-1，-1)，
∴点D的坐标为(-3，-5).
∴l2的方程是，即x-3y-12=0.
[高考冲关](30分钟50分)
1.(5分P(2，1)且与原点距离最远的直线为()
A.2x+y-5=0
B.2x-y-3=0
C.x+2y-4=0
D.x-2y=0
A【解析】由题意可得所求直线为过点P且垂直于OP的直线，由直线OP的斜率为，则所求直线的斜率为-2，方程为y-1=-2(x-2)，即为2x+y-5=0.
2.(5分)在直角三角形ABC中，点A(0，0)，B(1，1)，C(2，m)，则实数m的值为() A.2 B.0或2 C.-2 D.0或-2
D【解析】对三角形的直角顶点进行讨论.由已知可得直线AB，BC，CA的斜率均存在.若∠A是直角，则k AB·k AC=-1，即=-1，解得m=-2；若∠B是直角，
则k AB·k BC=-1，即=-1，解得m=0；若∠C是直角，则k BC·k AC=-1，即=-1，化简得m2-m+2=0，无解.所以实数m的值为0或-2.
3.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为
三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为()
A.x+2y+3=0
B.2x+y+3=0
C.x-2y+3=0
D.2x-y+3=0
C【解析】因为AC=BC，所以欧拉线为AB的中垂线.又A(2，0)，B(0，4)，所以AB的中点为(1，2)，k AB=-2.故AB的中垂线为y-2=(x-1)，即x-2y+3=0.
4.(5分)若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点. (0，2)【解析】由已知可得直线l1：y=k(x-4)恒过定点(4，0)，∵直线l1与直线l2关于点(2，1)对称，而点(4，0)关于点(2，1)的对称点为(0，2)，∴直线l2恒过定点(0，2).
5.(5分)已知A(a，1)，B(3，5)，C(7，3)，D(b，-1)是菱形ABCD的四个顶点，则a+b=.
6或14【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD，AC⊥BD，又由已知可得直线AB，CD，AC，BD的斜率均存在，则k AB=k CD，k AC·k BD=-1，即
=-1，化简得a=b-4，(a-7)(b-3)=-12，二者联立，解得
所以a+b=6或14.
6.(5分OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在
直线y=x上时，则直线AB的方程为.
(3+)x-2y-3-=0 【解析】由题意可得k
OA =tan 45°=1，k OB =tan(180°-30°)=-，
所以直线OA 与直线OB 的方程分别为y=x ，y=-x.设A (m ，m )，B (-n ，n )，
所以AB 的中点C ，由点C 在y=x 上，且A ，P ，B 三点共线得
解得m=，所以A ().又P (1，0)，所以
k AB =k AP =.所以AB ：y=(x-1).即直线AB 的方程为(3+)x-2y-3-=0.
7.(10分)已知过点A (1，1)且斜率为-m (m>0)的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PRSQ 面积的最小值.
【解析】直线l 的方程为y-1=-m (x-1)，则P ，Q (0，1+m )，
从而直线PR 和QS 的方程分别为x-2y-=0和x-2y+2(m+1)=0，
又PR ∥QS ，∴|RS|=，
又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ 为直角梯形，
所以S 四边形PRSQ =
，
所以四边形PRSQ面积的最小值为.
8.(10分)等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(1，-2).求边AB，AC所在直线的方程.
【解析】由已知可得边BC所在直线的斜率为-，
因为BC⊥AC，
所以边AC所在直线的斜率为，
则边AC所在直线的方程为y+2=(x-1)，即3x-2y-7=0.
又点A(1，-2)到直线BC：2x+3y-6=0的距离为|AC|=，且|AC|=|BC|=，
由于点B在直线2x+3y-6=0上，可设B，
且点B到直线AC的距离为a-11=，
所以a-11=10或a-11=-10，
所以a=，所以B或B，
所以边AB所在直线的方程为y+2=(x-1)或y+2=(x-1)，即x-5y-11=0或5x+y-3=0，
所以边AC所在直线的方程为3x-2y-7=0，边AB所在直线的方程为x-5y-11=0或5x+y-3=0.。
