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2018届人教A版 直线与圆圆与圆的位置关系 检测卷

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A 卷一、选择题1．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( )A.32B ．2C ．－1D ．2或－12．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．83．(2016·杭州质检二)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 35．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175 C ．8 D ．26．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．18．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2二、填空题9．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是______________．10．(2017·烟台质检)点P为x轴上的一点，A(1,1), B(3,4)，则|P A|＋|PB|的最小值是________．11．(2016·杭州质检)设直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l2与l1的距离最大时，直线l2的方程为________．12．(2016·苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．答案解析1．D 2.A3．C[当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.]4．B [由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立．故选B.] 5．D [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D.] 6．C [由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.]7．C [由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3.] 8．B [由直线l 的倾斜角，得l 的斜率为－1，l 1的斜率为33－a ，∵直线l 1与l 垂直，∴33－a＝1，得a ＝0，又直线l 2的斜率为－2b ，∵l 1∥l 2，∴－2b＝1，b ＝－2，因此a ＋b ＝－2，故选B.]9．x ＋2y －3＝0解析 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 10.29解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|P A |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长29.11．(2,2) x ＋y ＝0解析 由(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0，得m (x －y )＋x ＋3y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以直线l 1恒过定点A (2,2)，当直线l 2⊥AO (O 为坐标原点)时，直线l 1与l 2的距离最大，此时k AO ＝1，kl 2＝－1，所以直线l 2的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.12．25解析 由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1， 又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(2a ＋3b) ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6b a＝25， 当且仅当a ＝b ＝5时等号成立，故2a ＋3b 的最小值为25.B 卷一、选择题1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝02．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．23．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．44．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离6．(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中A (4,0)，B (6,8)，C (2,4)，则R 的取值范围是( )A ．[855，10]B ．[4,10]C ．[25，10]D ．[655，10] 7．(2016·西安西工大附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π4B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤0，π2 二、填空题9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．10．(2016·杭州学军中学模拟)已知动直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．二、解答题11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．答案解析1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎫1，－m 2在直线2x ＋y ＝0上， ∴2－12m ＝0，解得m ＝4， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，所以S △OAB＝12|AB |·d ＝4－d 2·d ＝(4－d 2)d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积的最大值是2.]4．B [由题意知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，且|OC |＝5，于是m －1≤5≤1＋m ，即4≤m ≤6.]5．C [∵P (a ，b )是x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内一点， ∴a 2＋b 2＜r .又∵m 是以P 为中点的弦所在直线．∴m 的方程为y －b ＝－1b a(x －a )， 即ax ＋by ＝a 2＋b 2＜r 2，而l 的方程为ax ＋by ＝r 2.∴m ∥l .又圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋0－r 2|a 2＋b 2＝r 2a 2＋b2＞r 2r ＝r . ∴l 与圆相离．]6．A [由图象(图略)可得当圆与AC 边相切时，R 取得最小值，直线AC 的方程为2x ＋y －8＝0，则由点到直线的距离公式可得R min ＝855.当圆经过点B 时，R 取得最大值，则R max ＝10，所以R 的取值范围是[855，10]，故选A.] 7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以O (1，－1)为圆心、3为半径的圆．圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．]8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，∴r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π12，5π12.] 9．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．0或2 27解析 若两直线垂直，则有m －m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2；把圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (1,0)，半径为3.因为动直线l 过定点P (0，－1)，所以最短弦长为过定点P 且与PC 垂直的弦，此时弦长L＝2r2－|PC|2＝232－(12＋12)2＝27. 11．解(1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)，因为直线l的斜率为3 3，所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝3，所以反射光线l2所在的直线方程为y－2＝3(x－23)，即3x－y－4＝0.由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以b＝－3a＋8，①又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以a＝33，②由①②得a＝33，b＝－1，故圆C的半径r＝3，故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.综上，l2所在直线的方程为3x－y－4＝0，圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，即y0－42＝33·x02，且y0＋4x0＝－3，解得x0＝－23，y0＝2，故B′(－23，2)．由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，|PB|＋|PQ|最小，故|PB|＋|PQ|的最小值为|B′C|－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。

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(完整版)直线和圆的位置关系练习题(带答案)

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直线和圆的位置关系练习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1．已知⊙O 的半径为10cm,如果一条直线和圆心O 的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A 。

相离 B. 相切 C. 相交 D 。

相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于( ) A. 70° B 。

35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B,OP 交⊙O 于C ，下列结论中,错误的是（ )A 。

∠1=∠2B 。

PA=PBC 。

AB ⊥OP D. =2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P,PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（A 。

正弦 B 。

余弦 C 。

正切 D 。

余切 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，错误!的度数是50°,∠OBC=40°，则∠OAC 等于（A 。

15°B. 25°C. 30°D. 40°8．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形 C 。

不等边三角形 D 。

形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20,则△ABC 的周长为（ ）A 。

20 B. 30 C. 40 D 。

2135二、填空题：（每小题5分，共30分）11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P,已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7,FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．BB DA C EF 题图） 4题图)D CBAP14．⊙O 的直径AB=10cm,C 是⊙O 上的一点,点D 平分错误!，DE=2cm ，则AC=_____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°,∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°,∠P=35°,则∠Q=________．三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图,MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P,CE=BE ，E 在BC 上。

人教版2018年数学中考第六单元 点、直线与圆的位置关系专题练习含答案

人教版2018年数学中考第六单元 点、直线与圆的位置关系专题练习含答案

第六单元 圆点、直线与圆的位置关系基础达标训练1. 直线l 与半径为r 的圆O 相交，且点O 到直线l 的距离为4，则r 的取值范围是( )A. r ＜4B. r ＝4C. r ＞4D. r ≥4 2. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的( ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点第2题图 第3题图3. AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ；连接BC ，若∠P ＝40°，则∠B 等于( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°4.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( ) A. 5 3 B. 5 2 C. 5 D. 52第4题图第5题图5.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是()A. 13B. 2C. 3D. 56. 关注数学文化《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少？”()A. 3步B. 5步C. 6步D. 8步第6题图第7题图7.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________．8.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为________．第8题图9. (8分)如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA ＝DC ； (2)求∠P 及∠AEB 的大小．第9题图10. (8分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 是⊙O 上的点，且∠CBD ＝∠ABD ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点H . (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝12，BC ＝8，求圆心O 到BC 的距离．第10题图11. (8分)(2017雅礼实验中学一模)如图，△ABD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点D 、E 为⊙O 上任意两点，连接DE ，C 为AB 延长线上一点，且∠BDC ＝∠DAB. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若sin C ＝45，求tan ∠DEB 的值．第11题图能力提升训练1.如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )A ．22＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5D ．5＜r ＜29 第1题图2.如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD <90°，⊙O 与边AB 、AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径长等于( ) A. 5 B. 6 C. 2 5 D. 3 2第2题图 第3题图3.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1，若点D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 的面积的最大值是________．4.如图，⊙O 为等腰△ABC 的外接圆，直径AB ＝12，P 为弧BC ︵上任意一点(不与B 、C 重合)，直线CP 交AB 延长线于点Q ，⊙O 在点P 处的切线PD 交BQ 于点D ，下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①若∠P AB ＝30°，则弧BP ︵的长为π；②若PD ∥BC ，则AP 平分∠CAB ；③若PB ＝BD ，则PD ＝63； ④无论点P在弧BC ︵上的位置如何变化，CP ·CQ为定值． 第4 题图5. (9分)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D. (1)如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；(2)如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．第5题图答案1. D【解析】∵直线l与半径为r的圆O相交，且点O到直线l的距离为4，∴直线l与圆O的位置关系为相切或相交，即r≥4.2. B【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴点O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点．3. B【解析】∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，即∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°－∠P＝50°，∴∠B＝12∠POA＝25°.4. A【解析】∵BA＝10，∴AO＝5，∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥AB，∵AO＝5，∠P＝30°，∴AP＝AOtanP＝53，∠AOP＝60°，∵CO＝AO，∴∠C＝∠OAC＝12∠AOP＝30°，∴∠C＝∠P，∴AC＝AP＝5 3.5. D【解析】OP最小值为3，OB⊥BP，根据勾股定理得，BP最小值为 5.6. C【解析】根据勾股定理得：斜边为82＋152＝17，连接直角三角形各顶点与圆心，可看作一个直角三角形由三个等高的三角形构成，设圆的半径为r，则根据面积相等得12×17×r＋12×15×r＋12×8×r＝12×15×8，解得r＝3，即直径＝2r＝2×3＝6.7. 50°【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△ABT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.8. 5【解析】设⊙O的半径为x，根据勾股定理AB2＋OB2＝(AC＋OC)2，即122＋x2＝(8＋x)2，解得x＝5.9. (1)证明：∵CB⊥AE，且在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，又∵直线DP 和圆O 相切于点C ， ∴DC ⊥OC ， ∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中， DO ＝DO ，AO ＝CO ， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)， ∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径， ∴CF ＝FB ＝12BC ，∠ABE ＝90°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ， ∴△PCF ∽△PDA ， ∴PC PD ＝CF DA ＝12，∴PC ＝12PD ，DC ＝12PD ，由(1)知DA ＝DC ，∴DA ＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°，∵DP ∥AB ，∴∠FAB ＝∠P ＝30°， 又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°，综上所述，∠P＝30°，∠AEB＝60°.10. (1)证明：如解图，连接DO，∵BO＝DO，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠CBD＝∠ABD，∴∠ODB＝∠HBD，∴DO∥HB，∵BH⊥EF，∴∠ODH＝90°，又∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，在Rt△OBG中，根据勾股定理得OG＝OB2－BG2＝62－42＝25，即圆心O到BC的距离为2 5.11. (1)证明：如解图，连接OD，∵AO ＝OD ， ∴∠A ＝∠ODA ， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝∠ADO ＋∠ODB ＝90°， 又∵∠BDC ＝∠A ， ∴∠BDC ＋∠ODB ＝90°， ∵OD 为半径， ∴CD 为⊙O 的切线； (2)解：在Rt △ODC 中， ∵sin C ＝OD OC ＝45，∴不妨设OD ＝4，则OC ＝5，BC ＝1，CD ＝3， ∵∠BDC ＝∠A ，∠C 为公共角， ∴△DBC ∽△ADC ， ∴BD AD ＝BC CD ＝13，又∵在Rt △ABD 中，tan A ＝BDAD ，且∠DEB ＝∠A ， ∴tan ∠DEB ＝tan A ＝13.能力提升训练1. B 【解析】如解图，∵AD ＝22，AE ＝AF ＝17，AB ＝32，∴AB ＞AE ＞AD , ∴17＜r ＜32时，以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内， 故选B.2. C 【解析】设AB 与⊙O 相切于E 点，连接OE ，作DF ⊥AB 于F ，连接BD ，延长AO 交BD 于G ，∵AB ×DF ＝320，AB ＝20，∴DF ＝16，∵Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2－FD 2＝202－162，∴AF ＝12，∴BF ＝8，∵Rt △DFB 中，BD 2＝DF 2＋BF 2，∴BD ＝85，∴BG ＝45，又∵菱形中BD ⊥AG ，OE ⊥AB ，∴△AOE ∽ABG ，∴OE ∶BG ＝OA ∶AB ＝1∶2，∴OE ＝12BG ＝2 5.3.113【解析】A 的横坐标绝对值为△ABE 以BE 为底边时的高，则有S △ABE ＝12·OA ·BE ，要使得S △ABE 为最大，则要当D 运动到使AD 与圆相切，可以得到最大的BE 值，此时三角形面积最大．由“过切点的半径垂直于切线”可得CD ⊥AD ，CD ＝OC ＝1，Rt △AOC 与Rt △ADC 共用一条斜边，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC ，∴AD ＝AO ＝2.由切割线定理，有Rt △CDE 与Rt △AOE 共用角∠AEO ，∴Rt △CDE ∽Rt △AOE ，∴CD AO ＝DE OE ＝CE AE ＝12，∴OE ＝2DE ，即2DE －1DE ＋2＝12，解得DE ＝43，OE ＝83，∴S △ABE ＝12×2×(1＋83)＝113. 4. ②③④ 【解析】①连接OP ，∵直径AB ＝12，∴半径r ＝6，∵∠PAB ＝30°，∴∠POB ＝60°，∴lBP ︵＝60π·6180＝2π.②∵PD 是⊙O 的切线，∴∠OPD ＝90°，即∠1＋∠2＝90°，∵AB 是⊙O 的直径．∴∠APB ＝90°，∴∠3＋∠ABP ＝90°，∵OP ＝OB ，∴∠2＝∠ABP ，∴∠1＝∠3，∵PD ∥BC ，∴∠1＝∠4，又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即AP 平分∠CAB ，③∵PB ＝BD ，∴∠1＝∠6，∵∠1＋∠2＝∠6＋∠7＝90°，∴∠2＝∠7，∴OB ＝BP ＝BD ＝6，∴在Rt △DOP 中，由勾股定理得PD ＝OD 2－OP 2＝122－62＝6 3.④∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，又∵∠CPA ＝∠CBA ，∴∠CAB ＝∠CPA ，又∵∠ACP ＝∠ACP ，∴△ACP ∽△QCA ，∴AC CQ ＝CP CA ，∴CP ·CQ ＝AC 2＝(122)2＝72，∴结论正确的为②③④.5. 解：(1)如解图①，连接AC ，∵AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB ，即∠TAB ＝90°，∵∠ABT ＝50°，∴∠T ＝90°－∠ABT ＝40°，由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°，∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°；(2)如解图②，连接AD,在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.。

第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题及答案解析

第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题及答案解析

第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题及答案解析第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）1.已知⊙和⊙的半径分别为和，两圆的圆⼼距是，则两圆的位置关系是（）A．内含B．外离C．内切D．相交2.如图所⽰，⊙的半径为2，点到直线的距离为3，点是直线上的⼀个动点，切⊙于点，则的最⼩值是（）A.13B.5C.3D.23．相切两圆的半径为和，圆⼼距为d，则d可取的整数值的个数是（）4.已知△ABC的⾯积为18 cm，BC=12 cm，以A为圆⼼，BC边上的⾼为半径的圆与BC（）5∠，，，的半径分别为则的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.外离6.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的⾓有（）第6题图第7题图7.如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）8.已知OA平分∠BOC，P是OA上⼀点，以P为圆⼼的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（）9.已知两圆半径为R 、r （R ＞r ），圆⼼距为d ，且R +d ﹣r =2Rd ，则两圆的位置关系是（）10.已知⊙O 1和⊙O 2相外切，它们的半径分别是1厘⽶和3厘⽶．那么半径是4厘⽶，且和⊙O 1、⊙O 2都相切的圆共有（）⼆、填空题（每⼩题3分，共24分）11.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，AC =3，以C 为圆⼼，r 为半径作⊙C ，如果点B 在圆内，⽽点A 在圆外，那么r 的取值范围是_____________．12.两圆半径是⽅程x 2﹣7x +12=0的两根，当圆⼼距d =1时，则两圆的位置关系__________．13.在△ABC 中，AB =13 cm ，BC =12 cm ，AC =5 cm ，以C 为圆⼼，若要使AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径应为_____________．14.如图所⽰，A ⊙，B ⊙的半径分别为，圆⼼距AB 为．如果A ⊙由图⽰位置沿直线AB 向右平移，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．15.如图，在△ABC 中，∠C =90°，以C 为圆⼼的⊙C 与AB 相切于点D ，若AD =2，BD =4，则⊙C 的半径为_____________．16．如图所⽰，⊙O 的半径为4 cm ，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，AB =4 cm ，P 为直线l 上⼀动点，以1 cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点.设PO =d cm ，则d 的取值范围是_____________．17．如图所⽰，图①中圆与正⽅形各边都相切，设这个圆的周长为;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正⽅形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正⽅形的边相切，设这九个圆的周长为；…，依此规律，当正⽅形边长为2时，= _______.18.两个同⼼圆的半径分别为3 cm 和4 cm ，⼤圆的弦BC 与⼩圆相切，则BC =_______cm ．三、解答题（共66分）19.（8分）如图，延长⊙O 的半径OC 到A ，使CA =OC ，再作弦BC =OC ．求证：直线AB是⊙O 的切线．第19题图第21题图 20.（8分）相交两圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，公共弦长是6 cm ，求两圆的圆⼼距．21.（8分）如图，已知梯形ABC D 中，AB ∥CD ，AD =BC ，AB =48 cm ，CD =30 cm ，⾼为27 cm ．求作⼀个圆经过A 、B 、C 、D 四点，并求出这个圆的半径．22．（8分）如图，⊙O 切AC 于B 点，AB =OB =3，BC =，求∠AOC 的度数．第22题图23.（8分）如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，AC 、AD 分别是两圆的直径.（1）C 、B 、D 三点在同⼀直线吗？为什么？（2）当⊙O 1和⊙O 2满⾜什么条件时，所得图中的△ACD 是等腰三⾓形．24.（8分）已知：如图所⽰，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆⼼，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且C B D A ∠=∠．判断直线BD 与的位置关系，并证明你的结论.A第24题图25.（8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB到C，使BC=AB，切线BF分别交切线CD及AD的延长线于E、F，求∠F的度数．26.（10分）已知：如图（1），点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，切点为C，直线PO与⊙O相交于点A、B．第26题图（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系.（2）若∠A=30°，则PB与P A有什么数量关系？（3）∠A可能等于45°吗？若∠A=45°，则过点C的切线与AB有怎样的位置关系？（图（2）供你解题使⽤）（4）若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪⾥？（图（3）供你解题使⽤）第3章直线与圆、圆与圆的位置关系检测题参考答案1. D 解析：因为所以两圆相交.2. B 解析：设点到直线的距离为∵切⊙于点，∴.∵直线外⼀点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，∴3.A 解析：当两圆外切时，圆⼼距当两圆内切时，圆⼼距则d可取的整数值是2，只有1个．故选A．4.B 解析：根据题意画出图形，如图所⽰：以A为圆⼼，BC边上的⾼为半径，则说明BC 边上的⾼等于圆的半径，∴该圆与BC 相切．故选B．第4题答图5. A 解析：由勾股定理知，，⼜所以两圆外切.6.C 解析：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCN=90°．故选C．7.C 解析：连接OA，OB，根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内⾓和定理即可求得∠AOB的度数，然后根据圆周⾓定理即可求解．∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根据四边形内⾓和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故选C．第7题答图第8题答图8. B 解析：连接NP．∵⊙P与OC相切，∴PN⊥OC，即PN为圆半径，作PM⊥OB．⼜∵OA平分∠BOC，由⾓平分线的性质，得PM=PN=圆半径，∴⊙P与OB的位置关系为相切．9. C 解析：∵R2+d2﹣r2=2Rd，∴（R﹣d）2=r2，解得R﹣d=±r，∴①当R﹣r=d时，两圆内切，②当R﹣d=﹣r，即R+r=d时，两圆外切．∴两圆的位置关系是内切或外切．故选C．10. C 解析：当半径是4厘⽶且和⊙O1、⊙O2都外切时，有两种情况，如图①所⽰：第10题答图①第10题答图②当半径是4厘⽶且和⊙O1、⊙O2都内切时，有⼀种情况，如图②所⽰：当半径是4厘⽶且和⊙O1内切，与⊙O2外切时，有⼀种情况，如图③所⽰：第10题答图③第10题答图④当半径是4厘⽶且和⊙O1外切，⊙O2内切时，有⼀种情况，如图④所⽰.综上所述，⼀共有5个．故选C．11.＜r＜3 解析：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，得到AC=BC.⼜AC=3，得BC=．∵点B在圆内，∴r＞BC=．∵点A在圆外，∴r＜AC=3．因此＜r＜3．12. 内切解析：解⽅程x2﹣7x+12=0，得x1=3，x2=4．根据题意，得R=4，r=3，d=1，∴d=R﹣r，∴两圆内切．13.cm解析：如图，设AB与⊙C相切于点D，即CD⊥AB（CD为△ABC斜边AB上的⾼，也等于圆C的半径），∵132=52+122，即AB2=AC2+BC2（勾股定理），∴△ABC为直⾓三⾓形.∵=，∴CD=，∴⊙C的半径应为cm.14. 相交解析：由图⽰位置沿直线向右平移，此时圆⼼距为，所以此时两圆相交.15. 2解析：连接CD，如图，∵⊙C与AB相切于点D，∴CD⊥AB.∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD?BD.∵AD=2，BD=4，∴CD=2．第15题答图16．d＞5或2≤d＜3 解析：分别在两圆内切和外切时，求出两圆圆⼼距，进⽽得出d的取值范围.如图所⽰，连接OP，⊙O的半径为4 cm，⊙P的半径为1 cm，则d＝5时，两圆外切，d=3时，两圆内切.过点O作OD⊥AB于点D，OD==2(cm)，当点P运动到点D时，OP最⼩为2 cm，此时两圆没有公共点.∴以1 cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，d＞5或2≤d＜3.点拨：动点问题要分类讨论，注意不要漏解.17.10100解析：∵，∴10 100.18.解析：如图，设BC与⼩圆的切点为D，连接OB、OD.∵BC与⼩圆相切，∴∠ODB=90°.在Rt△OBD中，OB=4cm，OD=3cm，由勾股定理，得BD==cm，∴BC=2BD=2cm．第18题答图19. 证明：连接OB，如图，∵BC=OC，CA=OC，∴BC为△OBA的中线，且BC=OA，∴△OBA为直⾓三⾓形，即OB⊥BA．所以直线AB是⊙O的切线．20. 解：如图，AB=6 cm，=5 cm，=4cm，所在的直线与AB相交于点C.∵公共弦长为6 cm，∴AC=3 cm，AC⊥，∴= 4 cm，=cm，∴当公共弦在两个圆⼼之间时，圆⼼距=（4+）cm；当公共弦在两个圆⼼的同侧时，圆⼼距=（4﹣）cm．∴这两个圆的圆⼼距是（4±）cm．①②第20题答图第21题答图21. 解：所求作的圆如图所⽰，连接OA、OD，设其外接圆的半径是r，则r2=OE2+AE2=OF2+DF2.设OE=x，则OF=27﹣x，即x2+576=（27﹣x）2+225，解得x=7．可得r=25（cm）．22．解：∵⊙O切AC于B点，∴OB⊥AC.在Rt△OAB中，AB=OB=3，∴△OAB为等腰直⾓三⾓形，∴∠AOB=45°.在Rt△OCB中，OB=3，BC=，∴tan∠BOC=，∴∠BOC=30°，∴∠AOC=45°+30°=75°．23. 解：（1）如图（1），连接AB、BC、BD，∵AC、AD是⊙O1和⊙O2的直径，∴∠ABC=90°，∠ABD=90°，∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°.∴C、B、D三点在同⼀条直线上.（2）①如图（2），当⊙O1与⊙O2的直径相等，即AC=AD时所得图中的△ACD是等腰三⾓形.②如图（3），当O2在⊙O1上时，连接CO2，∵AC是⊙O1的直径，∴∠AO2C=90°，∴CO2⊥AD.⼜O2A=O2D，∴CA=CD.于是当O2在⊙O1上时，△ACD是等腰三⾓形.③如图（4），同②当O1在⊙O2上时，可得DA=DC，所得图中的△ACD是等腰三⾓形．第23题答图24.解：直线与相切．证明如下：连接、．，∴．，∴．⼜，∴．∴．∴直线与相切．25. 解：如图，连接OD，∵CD切⊙O于D，∴OD⊥DC.⼜∵BC=，∴OC=2OD，∴∠C=30°，∠DOC=60°.⽽OD=OA，∴∠A=30°.⼜∵BF为⊙O的切线，∴BF⊥AB，∴∠F=90°﹣∠A=60°．26．解：（1）∠BCP=∠A，∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，AB是⊙O的直径?∠ACB=90°?∠BCP=.（2）若∠A=30°，则∠BCP=∠A=30°?∠P=30°?PB=BC，BC=AB?PB=PA或PA=3PB.（3）∠A不可以等于45°，如图所⽰，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平⾏.第26题答图（1）第26题答图（2）（4）若∠A ＞45°，则过点C 的切线与直线AB 的交点P 在AB 的反向延长线上．。

直线与圆、圆与圆的位置关系检测题

直线与圆、圆与圆的位置关系检测题

直线与圆、圆与圆的位置关系检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( )A ．±5B.±5 C ．3 D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相交B.外切 C ．相离 D ．内切解析：选A 圆O 1圆心坐标为O 1(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2圆心坐标为O 2(0,2)，半径r 2＝2，两圆心距|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，因为2－1<5<2＋1，即r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，所以圆O 1与圆O 2相交，故选A.3．直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A.30B.532 C ．4 2 D ．3 3解析：选A 圆(x －1)2＋(y －3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，圆心(1,3)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB |＝2 10－2510＝ 30，故选A. 4．与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线共有( )A ．1条B.2条 C ．3条 D ．4条解析：选C 由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.5．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为( )A ．1B.±1C. 3 D ．±3解析：选D 根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r ＝3，直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离d ＝32，则有|3|1＋a 2＝32，解得a ＝±3. 6．在平面直角坐标系内，过点P (0,3)的直线与圆心为C 的圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点，则△ABC 面积的最大值是( )A ．2B.4C. 3 D ．2 3解析：选A 过点P (0,3)的直线与圆心为C 的圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝0，在y 轴上所截得的线段长为d ＝2×22－12＝23，所以S △ABC ＝12×23×1＝ 3. ②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d ，则所截得的弦长l ＝24－d 2.所以S△ABC ＝12×24－d 2×d ＝4－d 2×d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当d ＝2时成立．所以△ABC 面积的最大值为2.7.已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点坐标为D (2，2)，则弦长为( )A ．2B.3 C ．4 D ．5解析：选A 将圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB 的中点坐标为D (2，2)，∴|CD |＝1＋2＝3，∴|AB |＝24－3＝2.故选A.8.直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B.[4,8] C ．[2，32] D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22， 可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6， △ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．二、填空题（每小题5分，共20分）9.过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．解析：验证知点 M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，由圆的方程可知圆心C (3,4)，∵k CM ＝4－23－1＝1，∴k l ＝－1∴l ：y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.解析：由题意得，圆心C (0，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|－m ＋3|5＝r ，又r ＝|AC |＝4＋(m ＋1)2，所以|－m ＋3|5＝4＋(m ＋1)2，解得m ＝－2，所以r ＝ 5. 答案：－2 511．已知AB 为圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的直径，点P 为直线y ＝x －1上任意一点，则|P A |2＋|PB |2的最小值为________．解析：圆心C (0,1)，设∠PCA ＝α，|PC |＝m ，则|P A |2＝m 2＋1－2m cos α，|PB |2＝m 2＋1－2m cos(π－α)＝m 2＋1＋2m cos α，∴|P A |2＋|PB |2＝2m 2＋2.又C 到直线y ＝x －1的距离d ＝|0－1－1|2＝2， 即m 的最小值为2，∴|P A |2＋|PB |2的最小值为2×(2)2＋2＝6.答案：612．已知直线l 过点(1,1)，过点P (－1，3)作直线m ⊥l ，垂足为M ，则点M 到点Q (2,4)距离的取值范围为________．解析：设A (1,1)，依题意可知，点M 的轨迹是以AP 为直径的圆，圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，∵|CQ |＝22＋22＝22，∴|CQ |－2≤|MQ |≤|CQ |＋2，即2≤|MQ |≤3 2.答案：[2，3 2 ]三、综合题（3个小题，共40分）13．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的两根，所以x 1x 2＝－2，又点C 的坐标为(0,1)，则AC ―→·BC ―→＝(－x 1,1)·(－x 2,1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC 的情况．(2)证明：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，则由相交弦定理可得|OC |·|OD |＝|OA |·|OB |＝|x 1|·|x 2|＝2.又|OC |＝1，所以|OD |＝2，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值．14.（14分）已知圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋F ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相外切，切点为A ，过点P (4,1)的直线与圆C 交于点M ，N ，线段MN 的中点为Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)若|AQ |＝|AP |，点P 与点Q 不重合，求直线MN 的方程及△AMN 的面积．解：(1)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －3)2＝25－F ，圆心C (4,3)，半径为25－F ， 由圆C 与圆O 相外切知25－F ＋2＝16＋9，所以F ＝16.圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝9，点P (4,1)在圆C 内，弦MN 过点P ，且Q 是MN 中点，则CQ ⊥MN ，所以点Q 的轨迹就以CP 为直径的圆，方程为(x －4)2＋(y －2)2＝1.(2)线段OC 与圆O 的交点为A ，联立y ＝34x 与x 2＋y 2＝4，解得点A ⎝⎛⎭⎫85，65. 若|AQ |＝|AP |，则P ，Q 是以点A 为圆心，AP 为半径的圆与点Q 的轨迹的交点，由⎝⎛⎭⎫x －852＋⎝⎛⎭⎫y －652＝⎝⎛⎭⎫85－42＋⎝⎛⎭⎫65－12与(x －4)2＋(y －2)2＝1得3x ＋y －13＝0，所以直线MN 的方程为3x ＋y －13＝0.因为C (4,3)到直线MN 的距离d ＝|12＋3－13|10＝210，|MN |＝29－d 2， 点A 到直线MN 的距离h ＝⎪⎪⎪⎪245＋65－1310＝710， 所以△AMN 的面积S ＝12|MN |·h ＝78610. 15.（14分）已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)∵过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上，∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点．∵|MN |＝455，∴|DM |＝255. 又|MC |＝2，∴|CD |＝ 4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5， ∴|OC |＝2，|AM |＝1，∴MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线的方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0，因此MN 所在直线的方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.。