方差分析几个案例

方差分析方法

方差分析就是统计分析方法中,最重要、最常用得方法之一。本文应用多个实例来阐明方差
分析得应用。在实际操作中,可采用相应得统计分析软件来进行计算。

1、 方差分析得意义、用途及适用条件

1、１ 方差分析得意义
方差分析又称为变异数分析或F检验,其基本思想就是把全部观察值之间得变异(总变
异),按设计与需要分为二个或多个组成部分,再作分析。即把全部资料得总得离均差平方与
（SS)分为二个或多个组成部分,其自由度也分为相应得部分，每部分表示一定得意义,其中至
少有一个部分表示各组均数之间得变异情况,称为组间变异(ＭＳ组间);另一部分表示同一组
内个体之间得变异,称为组内变异(MＳ组内),也叫误差。SS除以相应得自由度（υ),得均方(Ｍ
S)。如MS组间>MS组内若干倍(此倍数即Ｆ值）以上,则表示各组得均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中,常用于分析试验数据与监测数据。在环境科学研究中，各
种因素得改变都可能对试验与监测结果产生不同程度得影响,因此,可以通过方差分析来弄清
与研究对象有关得各个因素对该对象就是否存在影响及影响得程度与性质。

1、2 方差分析得用途
1、2、1 两个或多个样本均数得比较。
1、2、2 分离各有关因素,分别估计其对变异得影响。
1、2、３ 分析两因素或多因素得交叉作用。
１、2、4 方差齐性检验。

１、3 方差分析得适用条件
1、3、1 各组数据均应服从正态分布,即均为来自正态总体得随机样本(小样本)。
1、3、2 各抽样总体得方差齐。
1、3、3 影响数据得各个因素得效应就是可以相加得。
1、3、4 对不符合上述条件得资料，可用秩与检验法、近似Ｆ值检验法,也可以经过
变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。一般属Poissoｎ分布得计数资料常
用平方根变换法;属于二项分布得百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正
比关系,用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。

２、 单因素方差分析（单因素多个样本均数得比较)
根据某一试验因素,将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组(各组得样本含量可
相等或不等），分别求出各组试验结果得均数,即为单因素多个样本均数。
用方差分析比较多个样本均数得目得就是推断各种处理得效果有无显著性差异,如
各组方差齐,则用F检验;如方差不齐，用近似Ｆ值检验,或经变量变换后达到方差齐,再用变
换值作Ｆ检验。如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等,则只能认为各总体均
数之间总得来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异,或某两总体均数之间有
差异。必要时应作均数之间得两两比较,以判断究竟就是哪几对总体均数之间存在差异。
在环境科学研究中,常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物得含量
有无显著性影响;各种气象条件如风向、风速、温度对大气中某种污染物含量得影响等问题。
我们把季节、风向、风速、温度等称为因素。仅按不同季节,或不同得风向,或不同得温度来
分组,称为单因素。
例1 某年度某湖不同季节湖水中氯化物含量(mg/L)测定结果如表—6、1所示。
试比较不同季节湖水中氯化物含量有无显著性差异。

从表—1得测定结果可见有三种变异:
1、 组内变异：每个季节内部得各次测定结果不尽相同,但显然不就是季节得影响,而
只就是由于误差（如个体差异、随机测量误差等)所致。

2、 组间变异:各个季节得均数也不相同，说明季节对湖水中氯化物得含量可能有一定
得影响，也包括误差得作用。

3、总变异:３2次测定结果都不尽相同,既可能受季节得影响，也包括误差得作用。
不同季节湖水中氯化物含量得均数之间得变异究竟就是由于误差所致，还就是由于不
同季节得影响,可以用方差分析来解决此问题。方差分析可表示：
⑴从总变异中分出组间变异与组内变异,并用数量表示变异得程度。
⑵将组间变异与组内变异进行比较,如二者相差甚微,说明季节影响不大;如二者相差较
大，组间变异比组内变异大得多，说明季节影响不容忽视。以下就是三种变异得计算方法：

３、１ 多个方差得齐性检验
已知多个样本(理论上均来自正态总体)方差,可以据此推断它们所分别代表得总体方差就是
否相等,即多个方差得齐性检验。其常用于:

⑴说明多组变量值得变异度有无差异。
⑵方差齐性检验。
以例1为例(各组样本含量相等),如表—4所示。

3、确定Ｐ值:根据υ=4—１=3，查附表—１2得P<0、0０5。
4、判断结果:由于P<0、０0５,因此,四组方差不齐。

３、2 近似F值检验(F＇检验)
以例2为例,如表—6所示。

公式2６最常用,公式2７适用于原数据中有小值与零时。K为常数,可以根据需要选用
合适得数值。

⑵对数变换得用途:
①当几个样本均数作比较时,如样本方差不齐，尤其就是当标准差与均数之比得比值
接近时,必须经对数变换以缩小各方差之间得差别,达到方差齐后才能进行t检验或方差分析。
②适用于呈对数正态分布得资料。
③在曲线拟合中,对数变换常常就是直线化得重要手段,如指数曲线、双曲线、lｏgisti
ｃ曲线得直线化等。
例3 欲用t检验比较某河丰水期与枯水期得河水BＯＤ5(ｍg／L）含量均数,资料如
表—７所示。此数据能否直接用t检验方法?如不能,试作变量变换。

二者比较接近，可以试用对数变换。

⑶将Ｘ作“lｇX +1”变换后，再作方差齐性检验,得F=１、72,P>0、05,两组方差齐,可以
用变换值作两样本均数比较得t检验。

2、平方根变换
以原数据得平方根作为统计分析得变量值，称为平方根变换。

⑴平方根变换得形式:

⑶百分数得概率单位变换：主要用于S形或反S形曲线得直线化、正态性检验,尤其适
用于剂量反应曲线得直线化。
⑷百分数得loｇit变换：主要用于S形或反S形曲线得直线化。
⑸反双曲正切变换:用于两直线相关系数得比较与合并。

4、 两因素方差分析（双因素多个样本均数得比较）
将试验对象按性质相同或相近者组成配伍组,每个配伍组有三个或三个以上试验对象,
然后随机分配到各个处理组。这样,分析数据时将同时考虑两个因素得影响，试验效率较高。

例5 某市为了研究一日中不同时点以及不同区域大气中氮氧化物含量得变化情况,
该市环保所于某年１月１5～19日，在市区选择了7个采样点,对大气中氮氧化物得含量进行
测定。表—9为各个采样点每个时点五天得平均含量，试分析不同时点、不同区域氮氧化物
含量之间有无显著性差异。

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5、 多因素方差分析(多因素多个样本均数得比较)
在环境科学研究中,所研究得事物或现象往往就是比较复杂得多因素问题，而各
种因素本身尚有程度得差别,其间往往又存在交互作用。当研究得因素在三个或三个以上时，
可以用正交试验法。
正交试验就是一种高效、快速得多因素试验方法。正交试验得设计与分析见另外章节。
“多因素多个样本均数得比较”不仅可以用于正交试验,也可以用于拉丁方试验分析与析
因试验分析等。

6. 多个样本均数间得两两比较(多重比较)
经方差分析后，如果各总体均数有显著性差异时，常需进一步确定哪两个总体均数间
有显著性差异,哪两个之间无显著性差异。因此,可以利用方差分析提供得信息作样本均数间
得两两比较。

以例５为例:(每组样本含量相等)经方差分析后,认为不同时点以及不同区域得氮氧化物
含量之间均有高度显著性差异。现在需要进一步检验不同时点得氮氧化物含量均数两两之间
有无显著性差异。检验步骤如下:

１、检验假设:各时点得氮氧化物含量均数之间两两相等。

⑷q值得计算方法与上例相同。

３、确定P值与判断结果如表—13所示。

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