2024年中考第一次模拟考试（成都卷）数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.1．2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（）A．12024B．2024-C．2024D．12024-【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：2024的相反数是2024-，故选：B．2．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的是主视图进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，是主视图，故选：B ．3．俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记数法如何表示（）A ．82.75810⨯B ．92.75810⨯C ．102.75810⨯D ．11275810.⨯【答案】C【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】解：275.8亿用科学记数法表示为102.75810⨯．故选：C ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．4．若关于x 的方程230x mx -+=的一个根是11x =，则另一个根2x 及m 的值分别是（）A ．234x m ==-，B ．214x m ==，C ．224x m ==-，D ．234x m ==，【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解，把11x =代入方程先求出m 的值，从而确定出方程，再解方程即可求出2x ，理解方程的解并准确计算是解题的关键．【详解】解：∵11x =是方程230x mx -+=的一个根，∴130m -+=,∴4m =，∴方程为2430x x -+=，解得11x =，23x =，∴另一个根2x 为3，m 的值为4，故选：D ．5．关于x 的方程112 22x x x-=---，下列做法正确的是（）A ．方程两边都乘以2x -得：()1122x x -=--B ．2x =是方程的解C ．方程两边都乘以2x -得：()1122x x -=--D ．2x =是方程的增根【答案】D【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：A 、方程两边同乘以()2x -，得：()1122x x -=---，故本选项不符合题意；B 、解方程得2x =，当2x =时分母20x -=，2x =是方程的增根，故本选项不符合题意；C 、方程两边同乘以()2x -，得：()1122x x -=--，故本选项不符合题意；D 、解方程得2x =，当2x =时分母20x -=，2x =是方程的增根，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点()23B ，，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为（）A ．()20-，B ．()02-，C ．302⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．302⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF OC ∥，DE OP ∥是解题的关键．根据位似图形的概念得到EF OC ∥，DE OP ∥，进而证明CED CPO POD PAB ∽，∽，根据相似三角形的性质求出OP ，得到答案．【详解】解：∵四边形OABC 为矩形，()23B ，，∴32AB OC OA ===，，∵矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，∴EF OC ∥，DE OP ∥，∴CED CPO POD PAB ∽，∽∴CD DECO OP=，PO OD PA AB =∴31323OD OP OD OP OP -==+，，解得：2OP =，32OD =∴点P 的坐标为()20-，，故选：A ．7．每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为0.34，学生答题情况统计如表：选项留空多选ABCD人数11224209393420571390占参考人数比（%）0.090.1936.2133.8517.711.96根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可．【详解】解： 题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷该题的满分，∴最后一道单选题参考人数得分的平均分=题目难度系数⨯该题的满分0.345 1.7=⨯=，如果正确答案应为A ，则参考人数得分的平均分为：36.21%5 1.8⨯≈，如果正确答案应为B ，则参考人数得分的平均分为：33.85%5 1.7⨯≈，如果正确答案应为C ，则参考人数得分的平均分为：17.7%50.9⨯≈，如果正确答案应为D ，则参考人数得分的平均分为：11.96%50.6⨯≈，故选：B ．【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键．8．对于抛物线2y ax bx c =++，y 与x 的部分对应值如下表所示：x (3)-1-034…y…102-5-2-3…下列说法中正确的是（）A ．开口向下B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．对称轴为直线1x =D ．函数的最小值是5-【答案】C【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题．【详解】解：把()1,2--，()0,5-，()3,2-代入2y ax bx c =++，得：25932a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得∶125a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴()222516y x x x =--=--，∴10a =>抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,6-，即当1x =时，函数取最小值6-，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的倍．【答案】1.2【分析】设被称物的重量为a ，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a ，砝码的重量为1，依题意得，2.531a =⨯，解得 1.2a =，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．10．若关于x 的一元二次方程2210x x k +-+=没有实数根，则k 的值可以是．（写出一个即可）【答案】1-（答案不唯一）【分析】本题考查了一元二次方程根的情况求参数．根据题意得()2=24110k ∆-⨯⨯-+<，进行计算即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210x x k +-+=没有实数根，∴()2=24110k ∆-⨯⨯-+<，∴0k <，∴k 的值可能是1-（答案不唯一），故答案为：1-（答案不唯一）．11．如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD 表示赤道，点P 表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬()23262326BOD ''︒∠=︒，太原市的纬度是北纬()37323732POD ''︒∠=︒，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O ），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角α的度数是．【答案】292'︒【分析】设PQ 与OM 交于点K ，先由三角形内角和定理求出．292OKP '∠=︒，再根据平行线的性质求解即可．【详解】如图，设PQ 与OM 交于点K ，∵2326BOD '∠=︒，3732POD '∠=︒，∴6058POM POD BOD '∠=∠+∠=︒，在OPK 中，180POK OPK OKP ∠+∠+∠=︒，90OPK ∠=︒，∴292OKP '∠=︒，∵PN OM ∥，∴292OKP α'∠=∠=︒，故答案为：292'︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．12．已知11(,)M x y ，22(,)N x y 两点都在反比例函数5y x-=的图象上，且120x x >>，则1y 2y （填“>”“<”或“=”）．【答案】<【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵11(,)M x y ，22(,)N x y 两点都在反比例函数5y x-=的图象上，50k =-<，且120x x >>，∴该图象在第二、四象限上，且每个分支上y 随x 的增大而增大，12,00y y <>，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题的关键．13．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 和BC 于点P ，Q ；分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧交于点H ，作射线BH 交边AD 于点E ：分别以点A ，E 为圆心，大于12AE 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 交边AD 于点F ，连接CF ，交BE 于点G ．若4CD DE =，则EGGB的值为．【答案】25【分析】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出AE 平分ABC ∠，MN 垂直平分AE ，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，4AB CD DE ∴==，AD BC ∥，AD BC =，AEB CBE ∴∠=∠，由作图得：AE 平分ABC ∠，MN 垂直平分AE ，ABE CBE ∴∠=∠，AF EF =，AEB ABE ∴∠=∠，4AB AE CD ED ∴===，2EF DE ∴=，5BC AD DE ∴==，AD BC ，EFG BCG ∴ ∽，∴25EG EF GB BC ==，故答案为：25．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（满分12分）（1）计算：1312cos 301327sin 453-⎛⎫︒--+-+︒ ⎪⎝⎭；（2）解一元一次不等式组：()33215126x x x x ⎧+>-⎪⎨+-≤-⎪⎩．【答案】（1）212+；（2）1x ≤-【分析】（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、化简二次根式，再去绝对值符号、计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找大大小小找不到确定不等式组的解集；【详解】（1）1312cos301327sin 453-⎛⎫︒--+-+︒⎪⎝⎭()322313322=⨯--+-+（4分）2331332=-++-+（5分）212=+；（6分）（2）将()332x x +>-去括号得：336x x +>-（7分）解得：92x <；（8分）将15126x x+-≤-去分母得：()()3165x x +≤--（9分）去括号得：3365x x +≤-+（10分）解得：1x ≤-；（11分）故方程组的解集为：1x ≤-．（12分）【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、实数的运算，特殊角三角函数，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．15．（满分8分）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G 基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示请根据图中信息，解答下列问题：(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是万台．(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A ，B ，C ，D 的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的概率．【答案】(1)①见解析；②2(2)16【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；（1）①由星星充电10万台充电桩占比20%求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为1020%50÷=（万台），∴“国家电网”的公共充电桩数量为5015105222 1.510.538----------=（万台），“国家电网”的公共充电桩的市场份额为8100%=16%50⨯；如图，（2分）②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．（4分）（2）画树状图为：（6分）共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的结果数为2，（7分）所以抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的概率21126==．（8分）16．（满分8分）“日照间距系数”反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数()1:L H H =-，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，1H 为北侧楼房底层窗台至地面高度，如图②，山坡EF 朝北，EF 长为15m ，其坡度为1:0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为24.3m 的楼房AB ，底部A 到E 点的距离为5m ．欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为1.1m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远?【答案】要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少30m 远【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点E 作EH CF ⊥，垂足为点H ，根据EF 的坡度为1:0.75，设4m EH x =，则3m FH x =，求得3x =，进而求得1,,L H H 的长，根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式141.2536.3 1.1CF +≥-，解不等式即可．【详解】解：过点E 作EH CF ⊥，垂足为点H （1分）90H ∴∠=︒，在Rt EFH △中，EF 的坡度为1:0.75，43EH FH ∴=，（2分）设4m EH x =，则3m FH x =，2222(4)(3)5m EF EH FH x x x ∴=+=+=，（3分）15m EF =Q ，515m x ∴=，3x =，39m FH x ∴==，412m EH x ==．（4分）9514L CF FH EA CF CF ∴=++=++=+，（5分）24.31236.3H AB EH =+=+=，1 1.1H =，（6分）由题意得：14 1.2536.3 1.1CF +≥-解得：30CF ≥（7分）答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少30m 远（8分）17．（满分10分）如图1，AB 是O 的一条弦，BC 是O 的切线．AD 是O 的直径．E 是AB 上一动点，过点E 作直线EF AD ⊥于点G ，交BC 于点H ．(1)求证BH EH =．(2)如图2，若E 是AB 的中点．8AB =，103BH =，求AG 的长．【答案】(1)见解析(2)163AG =【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质和判定和切线的性质，连接OB ，利用切线性质和等角的余角相等，再结合题干的条件证明HBE HEB ∠=∠，即可解题．（2）本题考查等腰三角形性质、勾股定理和相似三角形的性质和判定，作HM BE ⊥于点M ，利用等腰三角形性质、勾股定理和题干的条件，求得HM 、BM 、EM 、AE ，再证明AGE HME ∽△△，利用相似比，即可解题．【详解】（1）解：连接OB ，如图所示：BC 是O 的切线．90OBH ∴∠=︒，90HBE OBA ∴∠+∠=︒，（1分）直线EF AD ⊥于点G ，有90A GEA ∠+∠=︒，（2分）GEA HED ∠=∠ ，90A HEB ∴∠+∠=︒，（3分）OA OB = ，A OBA ∴∠=∠，HBE HEB ∴∠=∠，BH EH ∴=．（4分）（2）解：作HM BE ⊥于点M ，如图所示：90HMB HME ∴∠=∠=︒，（5分）BH EH = ，BM EM ∴=，（6分） E 是AB 的中点，8AB =，4AE BE ∴==，2BM EM ∴==，（7分）103BH = ，2283HM BH BM ∴=-=，（8分）90AGE HME ∠=∠=︒ ，则AEG HEM ∠=∠，AGE HME ∴∽△△，（9分）AE AG ME HM ∴=，有4823AG =，解得163AG =．（10分）18．（满分10分）如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．【答案】(1)8y x =；(2)存在，点Q 的横坐标为3732+或3732-+，理由见解析；(3)5412-+或10．【分析】（1）过F 作FH x ⊥轴于H ，由矩形的性质得90BCO FHO ∠=∠=︒，根据相似三角形的判定和性质得4OH =，根据三角函数的定义得到2FH =，求得()4,2F ，代入即可；（2）分情况①当Q 在OB 下方时，②当Q 在OB 上方时讨论即可得解；（3）分45DOE ∠=︒和45OED ∠=︒两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出k 的值即可．【详解】（1）如图，过F 作FH x ⊥轴于H ，∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC=，（1分）∵2OF BF =，点()6,E m ，∴6OC =，∴263OH =，∴4OH =，∵1tan 2FH BOC OH ∠==，∴2FH =，∴()4,2F ，∴428k =⨯=，∴反比例函数解析式为8y x=；（2分）（2）存在，理由：①当Q 在OB 下方时，满足:2:1OBC OBQ S S = ，则需平行OB 且过OC 中点的直线，找OC 中点P ，过1PQ OB 交反比例函数图象于点1Q ，由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，∴设直线1PQ 为12y x a =+，∴1032a =⨯+，解得：32a =-，∴直线1PQ 为1322y x =-，（3分）联立13228y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得37327334x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或37327334x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩（舍去）∴点1Q 的横坐标为3732+；（4分）②当Q 在OB 上方时，满足:2:1OBC OBQ S S = ，则需平行OB 且过OA 中点的直线，找OA 中点M ，过2MQ OB ∥交反比例函数图象于点2Q ，同（1）理：直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴30,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线2MQ 为1322y x =+，（5分）联立13228y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得37327334x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或37327334x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩（舍去）∴点2Q 的横坐标为3732-+，综上可知：点Q 的横坐标为3732+或3732-+；（6分）（3）∵()2,1B ，(),1D k ，2,2k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①如图，当45DOE ∠=︒时，作EM OE ⊥，交OD 延长线于点M ，作MN BC ⊥，交CB 延长线于N ∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，∵90OEC EOC ∠+∠=︒，90OEC MEN ∠+∠=︒，∴EOC MEN ∠=∠，又∵90OCE ENM ∠=∠=︒∴()AAS OCE ENM ≌，∴EN OC =，MN EC =，（7分）∴2,222k k M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设直线OD 的解析式为y gx =，∴1kg =，解得：1g k =，∴直线OD 的解析式为x y k =，∴12222k k k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：5412k -+=或5412k --=（负值舍去），（8分）②当45OED ∠=︒，作OG OE ⊥，交ED 延长线于点G ，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（9分）设直线DE 的解析式为y sx t =+，∴62122k s t ks t k s t ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解得：10124k s t =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或43734k s t ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩（不合题意，舍去）综上，符合条件的k 的值为5412-+或10．（10分）【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.B 卷（共50分）一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）19．如果2320a a +-=，那么代数式2231393a a a a -⎛⎫+⋅ ⎪-+⎝⎭的值为．【答案】12/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把2a 3a +的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：22313()93a a a a -+⋅-+2333(3)(3)a a a a a +--=⋅+-23(3)(3)a a a a a -=⋅+-1(3)a a =+213a a =+，2320a a +-= ，232a a ∴+=，∴原式12=，故答案为：12．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，()()()()211111a a a a a a -=-+-=-+．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解31a -==．【答案】()()()2111a a a a a -+-+-()()211a a a -++【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：()()()()()()2111111111a a a a a a a a a a a ⨯⨯-+⨯⨯⨯---+⨯=+-+-；原式两边提取1a -，可得原式()()211a a a =-++．故答案为：()()()2111a a a a a -+-+-；()()211a a a -++．【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．21．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A ，B ，C 三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m ，n ，34n m -，则估计图中a 的值为【答案】1【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．【详解】解：A 区域面积为22π24πcm ´=，B 区域面积为()22π224π=12πcm ´+-，C 区域面积为()()()2222π22π22=8ππcm a a a ´++-´++，又 落在这三个区域中的豆子数依次为m ，n ，34n m -，4π112π3m n \==，即3n m =，238ππ44πn m a a m -+\=，解得：121,9a a ==-（不合题意，舍去），故答案为：1．22．如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于,A B 两点，抛物线上点C 的横坐标为5，D 点坐标为()3,0，连接,AC CD ，点M 为平面内任意一点，将ACD 绕点M 旋转180︒得到对应的A C D '''△（点,,A C D 的对应点分别为A '，C '，D ¢），若A C D '''△中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C '的坐标为（点C '不与点A 重合）【答案】533,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-【分析】根据题意，分别求出点,A C 的坐标，设(,)M m n ，根据旋转的性质，可用含,m n 的式子表示出对应点,,A C D '''的坐标，分类讨论，①当点,A C ''在抛物线213222y x x =--上时；②当点,A D ''在抛物线213222y x x =--上时；③当点,C D ''在抛物线213222y x x =--上时；列二元一次方程组并求解即可．【详解】解：抛物线213222y x x =--与x 轴交于,A B 两点，令0y =，∴2132022x x --=，解得，11x =-，24x =，∴(1,0)A -，(4,0)B ，∵点C 的横坐标为5，∴213552322y =⨯-⨯-=，即(5,3)C ，∵将ACD 绕点M 旋转180︒得到对应的A C D '''△（点,,A C D 的对应点分别为A '，C '，D ¢），且(1,0)A -，(5,3)C ，()3,0D ，∴设(,)M m n ，根据旋转的性质，则点A 与点A '关于点M 中心对称，点C 与点C '关于点M 中心对称，点D 与点D ¢关于点M 中心对称，∴()21,2A m n '+，()25,23C m n '--，(23,2)D m n '-，①当点,A C ''在抛物线213222y x x =--上时，如图所示，()()()()22132121222213252522322m m n m m n ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪----=-⎪⎩，解方程组得，232m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C '的坐标为(1,0)-，与点A 重合，不符合题意；②当点,A D ''在抛物线213222y x x =--上时，如图所示，()()()()2213212122221323232222m m n m m n ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解方程组得，54916m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点59,416M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C '的坐标为533,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，符合题意；③当点,C D ''在抛物线213222y x x =--上时，如图所示，()()()()22132525223221323232222m m n m m n ⎧----=-⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解方程组得，720m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点7,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C '的坐标为()2,3-，符合题意；综上所示，点C '的坐标为533,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-，故答案为：533,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-．【点睛】本题主要考查二次函数图形与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，旋转的性质求点坐标，解二元方程组是解题的关键．23．在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AD 边上一动点(不与端点重合)，将ABE 沿BE 翻折，点A 落在点H 处，直线EH 交CD 于点F ，连接BF ，BE ，BF 分别与AC 交于点P 、Q ，连接PD ，PF ．则以下结论中正确的有________(写出所有正确结论的序号)．①PB PD =；②2EFD FBC ∠=∠；③PQ AP QC =+；④BPF △为等腰直角三角形；⑤若连接DH ，则DH 的最小值为424-．【答案】①②④⑤【分析】①正确．由正方形ABCD 的性质可证明SAS BCP DCP ≌（），可得结论；②正确．证明CFB EFB ∠=∠，推出90CBF CFB ∠∠=︒＋，推出22180CBF CFB ∠∠=︒＋，由2180EFD CFB ∠∠=︒＋，可得结论；③错误．可以证明PQ PA CQ <＋；④正确．利用相似三角形的性质证明90BPF ∠=︒，可得结论；⑤正确．求出BD ，BH ，根据DH BD BH ≥-，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CB CD =，190452BCP DCP ∠=∠=⨯︒=︒，在BCP 和DCP 中CB CD BCP DCP CP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BCP DCP ≌△△，∴PB PD =，故①正确；∵ABE 沿BE 翻折，点A 落在点H 处，直线EH 交CD 于点F ，∴ABE BHE ≌，则BH AB BC ==，90BHF BCF ∠=∠=︒，∵BF BF =，∴()HL BHF BCF ≌，则HBF CBF ∠=∠，∵ABE HBE ∠=∠，∴190452EBF HBE HBF ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∵45QCF EBF ∠=∠=︒，PQB FQC ∠=∠，∴PQB FQC ∽，则BQ PQ CQ FQ =，BPQ CFQ ∠=∠，∴BQ CQ PQ FQ=，∵PQF BQC ∠=∠，∴PQF BQC ∽，则QPF QBC ∠=∠，∵90QBC CFQ ∠+∠=︒，∴90BPF BPQ QPF ∠=∠+∠=︒，∴45PBF PFB ∠=∠=︒，∴PB PF =，则BPF △为等腰直角三角形，故④正确；∵90BPF BPQ QPF ∠=∠+∠=︒，∴90EPF ∠=︒，∵90EDF ∠=︒，∴P ，E ，D ，F 四点共圆，∴PEF PDF ∠=∠，∵PB PD PF ==，∴PDF PFD ∠=∠，∵180AEB DEP ∠∠=︒＋，180DEP DFP ∠∠=︒＋，∴AEB DFP ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠，∵BH EF ⊥，∴90BAE BHE ∠=∠=︒，∵BE BE =，∴()AAS BEA BEH ≌，∴AB BH BC ==，∵90BHF BCF ∠∠=︒，BF BF =，∴()Rt Rt HL BFH BFC ≌，∴BFC BFH ∠=∠，∵90CBF BFC ∠∠=︒＋，∴22180CBF CFB ∠∠=︒＋，∵2180EFD CFH EFD CFB ∠∠=∠∠=︒＋＋，∴2EFD CBF ∠=∠，故②正确，将ABP 绕点B 顺时针旋转90︒得到BCT ，连接QT ，∴ABP CBT ∠=∠，∴90PBT ABC ∠=∠=︒，∴45PBQ TBQ ∠=∠=︒，∵BQ BQ =，BP BT =，∴()SAS BQP BQT ≌，∴PQ QT =，∵QT CQ CT CQ AP <=＋＋，∴PQ AP CQ <＋，故③错误，连接BD ，DH ，∵224442BD =+=，4BH AB ==，∴424DH BD BH ≥-=-，∴DH 的最小值为424-，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．24．（满分8分）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A 、B 两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A 型机器人和1台B 型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B 型机器人先工作5小时后，再加入1台A 型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各处理垃圾多少吨？分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．由图可得如下的数量关系：①1台A型10小时的垃圾处理量1+台B型10小时的垃圾处理量5=吨；②________+________5=吨．（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如下表：型号A型B型报价（万元／台）2014若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？【答案】（1）1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量（2）1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨（3）当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；（2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨，由题意得到关于x、y的二元一次方程组并解方程组即可；（3）设采购A型机器人t台，由题意可以用t表示B型机器人的台数，并求得t的取值范围．然后用t表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：1台A型8小时的垃圾处理量1+台B型13小时的垃圾处理量5=吨；故答案为：1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量；（2分）（2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨，则：101058135x yx y+=⎧⎨+=⎩，解之可得：0.30.2xy=⎧⎨=⎩，（3分）经检验，0.30.2xy=⎧⎨=⎩是原方程组的解，且符合题意，答：1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；（4分）（3）设采购A 型机器人t 台，则采购B 型机器人200.3100 1.50.2t t -=-（台），则：()100 1.5800.3200.2100 1.520t t t t ⎧-+≤⎪≤⎨⎪-≤⎩，解之可得：4066t ≤≤（t 为整数），（5分）由题意可知，采购费用为：()2014100 1.51400w t t t =+-=-+，（6分）∵10-<，∴w 随t 的增大而减小，∴当66t =时，采购费用最低，为1400661334-=（万元），（7分）此时100 1.51t -=台，即采购A 型机器人66台，B 型机器人1台，答：当采购A 型机器人66台，B 型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．（8分）【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键．25．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于B C ，两点（B 在C 的左边），交y 轴正半轴于点3A OA OB OC ==，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在抛物线上，E 在抛物线的对称轴上，以A B D E ，，，为顶点的四边形是平行四边形，且AB 是此平行四边形的一条边，求点D 的坐标；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点G F ，在对称轴上，且在第二象限，2FG BC =，不平行于y 轴的直线l 分别交线段BF CF ，（不含端点）于M N ，两点，直线l 与抛物线只有一个公共点，求证：MF NF +的值是个定值．【答案】(1)223y x x =--+(2)D 的坐标为()4,5--或()2,5-；(3)证明见解析【分析】（1）先求解A 的坐标，再求解B ，C 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（2）设()1,E t -，()2,23D n n n --+，而AB DE ∥，分两种情况讨论：当平行四边形为平行四边形ABDE ，当平行四边形为平行四边形ABED ，再结合平行四边形的性质可得答案；（3）先求解()1,8F -，直线FB 为412y x =+，直线FC 为44y x =-+，设直线MN 为y kx e =+，由()2230x k x e +++-=有两个相等的实数根，可得()21234e k =++，求解直线MN 为()21234y kx k =+++，再求解M ，N 的坐标，结合勾股定理进行计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++，当0x =时，3y =，即3OA =，()0,3A ，∵3OA OB OC ==，∴1OC =，3OB =，∴()3,0B -，()1,0C ，（1分）∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线为：223y x x =--+；（2分）（2）∵抛物线223y x x =--+，∴对称轴为直线()2121x -=-=-⨯-，设()1,E t -，()2,23D n n n --+，而AB DE ∥，()0,3A ，()3,0B -，（3分）由平行四边形ABDE 的性质可得：2013233n t n n +=--⎧⎨=--++⎩，解得：42n t =-⎧⎨=-⎩，∴()4,5D --，（4分）由平行四边形ABED 的性质可得：231323n t n n -=-⎧⎨+=--+⎩，解得：28n t =⎧⎨=-⎩，∴()2,5D -；综上：D 的坐标为()4,5--或()2,5-；（5分）（3）∵抛物线223y x x =--+，∴对称轴为直线()2121x -=-=-⨯-，∵4BC =，2FG BC =，∴8FG =，即()1,8F -，设直线FB 为y mx n =+，∴308m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得：412m n =⎧⎨=⎩，∴直线FB 为412y x =+，（6分）同理可得：直线FC 为44y x =-+，设直线MN 为y kx e =+，∴223y kx e y x x =+⎧⎨=--+⎩，∴结合题意可得：223x x kx e --+=+即()2230x k x e +++-=有两个相等的实数根，∴()21234e k =++，∴直线MN 为()21234y kx k =+++，（7分）。
