重庆市2017年秋高三(上)期末测试卷 文科数学

i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在（, 1 ⎫A ． ，⎪B ． 0， ⎪⎭ D ． 0， ⎪⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛⎝ 12 ,0 ⎪4 ⎭C ． 2B ． -8B ．x 2 + a 的图象可能是（河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数 z = -2i + 3 - i）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 A ， B 是全集 I = {1,2,3,4 }的子集， A = {1,2}，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数是（A ．5B ．4C ．3D ．23．抛物线 y = 3x 2的焦点坐标是（）0 ⎝ 4 ⎭⎝ ⎝ 12 ⎭4．设向量 a = (-1,2 ) ， b = (m ,1) ，若向量 a + 2b 与 2a - b 平行，则 m = （））A ． - 71 2 C ． 3 2 D ．525．圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx - 3 有公共点的充分不必要条件是（）A ． k ≤ -2 2或k ≥ -2 2B ． k ≤ -2 2C ． k ≥ 2D ． k ≤ -2 2或k ≥ 26．设等比数列 {a n }的前 n 项和为 Sn，若 a = 3 ，且 a32016+ a2017= 0 ，则 S 等于（101）A ．3B ．303C ．﹣3D ．﹣303 7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的 S 值为（）A ． - 11 8 C ．1 16D ． 1328．函数 f (x ) = x）1 25555:1A ．(1)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4)9．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， P A ⊥ 底面 ABCD ， P A = AB = 4 ， E ， F ， Q 分别是棱 PB ， BC ， PD 的中点，则过 E ， F ， H 的平面截四棱锥 P ﹣ABCD 所得截面面积为（）A ． 2 6B ． 4 6C ． 5 6D ． 2 3 + 4 610．设 F ，F 是椭圆 E 的两个焦点，P 为椭圆 E 上的点，以 PF 为直径的圆经过 F ，若 tan ∠PF F =12 1 2则椭圆 E 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6 5 4 32 5 15，11．四棱锥 P - ABCD 的三视图如图所示，四棱锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E 、 F 分别是棱 AB ， CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表面积为（）A ．12 πB ． 24πC ． 36πD ． 48π12．已知抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点为 F ，定点 A (0,- 2 )，若射线 F A 与抛物线 C 交于点 M ，与抛物线C 的准线交于点 N ，则 MN : FN 的值是（）A ．( 5 - 2)5 B ． 2 : 5 C ．1: 2 5D ． 5 : ( + 5 )）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知直线 l : (m + 1)x + 2 y + 2m - 2 = 0 ， l : 2 x + (m - 2 ) y + 2 = 0 ，若直线 l ∥l ，则 m = ________．121214．在 △ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 A = 3C ，c = 6 ，(2a - c )cosB - b cosC = 0 ，则 △ABC 的面积是________．y ≥ 0 15．若不等式组 ⎨表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的取值范围是________． 1] ），且 S = 2n 2 + n ， n ∈ N * ，数列 {b }满足 a = 4log b n + 3 ， n ∈ N * ．18．设 f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．(1)求 f (x ) 在 ⎢0, ⎥ 上的最大值和最小值； = 1(a > b > 0)的短轴长为 2，离心率为 ，直线 l 过点 (-1,0 ) 交椭圆 E 于 A 、 B ⎧ x ≥ 1 ⎪ ⎪⎪2 x + y ≤ 6 ⎪⎩ x + y ≤ a16．已知函数 f (x ) = e x + ae x， (a ∈ R ) 在区间 [0，上单调递增，则实数 a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的 n 项和为 S nn n n 2(1)求 a ， b ；nn (2)求数列 {a b nn}的前 n 项和 T n．⎛ π ⎫ ⎝2 ⎭⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦(2)把 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移2π 3个单位，得到函数 y = y = f (x )的图像，求 y = f (x ) 的单调减区间．19．如图所示的几何体 Q PABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，∠DAB = 60︒ ，AD ⊥ DC ，AB ⊥ BC ，QD ⊥ 平面 ABCD ， P A ∥QD ， P A = 1 ， AD = AB = QD = 2 ．(1)求证：平面 PAB ⊥ 平面 QBC ； (2)求该组合体 QPABCD 的体积．20．已知椭圆 E : x 2 y 2 6 +a 2b 2 3两点， O 为坐标原点．(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 △OAB 面积的最大值．21．已知函数 f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ， a ∈ R ，且 a ≠ 0 ．极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ - ⎪ ．(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，设点 P  0， ⎪⎪ ，求 P A + PB ．⎫(1)若函数 f (x ) 在区间[1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g (x ) = (3a +1)x - (a 2 + a )x 2 ，当 x > 1 时， f (x ) < g (x ) 恒成立，求 a 的取值范围．[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ ⎪22．已知直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ x = t 2+ 3t 2 （ t 为参数），若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为⎛π ⎝4 ⎭(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程；⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f (x ) = 2 x + 1 - x - 2 ．(1)求不等式 f (x ) > 2 的解集；(2) ∀x ∈ R ，使 f (x ) ≥ t 2 - 11t ，求实数 t 的取值范围．2）⎥⎦ = = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4 2n - 2 ⎤⎦ = (4n - 5) 2n + 5河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷答 案一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．1~5．BBDBB6~10．ABCCD 11~12．AD二、 填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．﹣214．18 3 15．（3，5）16． a ∈ [-1,1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由 S = 2n 2 + n 可得，当 n = 1 时， a = S = 3n11当 n ≥ 2 时， a = S - Snnn -1= 2n 2+ n - 2 (n - 1)2 - (n - 1) = 4n - 1而 n = 1 ， a = 4 - 1 = 3 适合上式，1故 a = 4n - 1 ，n又∵ a = 4log b n + 3 = 4n - 1n2∴ b = 2n -1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a b = (4n - 1) 2n -1n nT = 3 ⨯ 20 + 7 ⨯ 2 +n2T = 3 ⨯ 2 + 7 ⨯ 22 +n+ (4n - 1) 2n -1+ (4n - 5) 2n∴ T n = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4(2 + 22 + + 2n -1)⎤⎦⎡= (4n - 1) 2n - ⎢3 + 4⎢⎣2 (1 - 2n -1 )⎤ ⎥ 1 - 2()18．解：(1) f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．sin 2x - ⎪ = 1 时， f (x ) 取得最大值 4 + 3 ； sin 2x -⎪ = -1 时，函数 f (x ) 取得最小值 4 - 3 ． (2)把 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 4sin x - ⎪ + 3 的π ⎫ 3 ⎭ 个单位，得到 y = 4sin x + ⎪ + 3 的图象． g (x )= 4sin x + ⎪ + 3 ． 由 2k π + π7π ⎤( ) ∴ g (x) 的单调减区间是 ⎢2k π + ,2 k π + ⎥ k ∈ Z ．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝3 ⎭⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭图象．再把得到的图象向左平移 2π⎛ π ⎫3 ⎝ 3 ⎭∴⎛ π ⎫ ⎝ 3 ⎭π 3π π 7π≤ x + ≤ 2k π + ⇒ 2k π + ≤ x ≤ 2k π + ． 2 3 2 6 6⎡π ⎣66 ⎦19．证明：(1)∵ QD ⊥ 平面 ABCD ， P A QD ，∴ P A ⊥ 平面 ABCD ，又∵ BC ⊂ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ， P A ⊂ 平面 PAB ⊥ ， AB ⊂ 平面 PAB ⊥ ， P A∴ BC ⊥ 平面 PAB ，又∵ BC ⊂ 平面 QBC ， 解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥ AD 于 O ，∵ P A ⊥ 平面 ABCD ， BO ⊂ 平面 ABCD ，AB=A，又BO⊥AD，AD⊂AD平面P ADQ，P A⊂平面P ADQ，P A AB=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60，∴ABC是等边三角形，∴BO=3．∴VB-P ADQ1=S3梯形P ADQ1132∵∠ADC=∠ABC=90∴∠CBD=∠CDB=30︒，又BD=AB=2，∴BC=CD=233，6/22BO=⨯⨯(1+2)⨯2⨯3=3．= ⨯ 2 ⨯ ⨯ sin30︒ ．= ． ⎩ + y = 2mm 2 + 3 m 2 + 323= -3 - ⎪ + ， 1 1 6 1 -2a 2 x + ax + 1 - (2ax + 1)(ax - 1)①当 a = 0 时， f '(x ) = > 0 ，∴ SBCD 1 2 32 3∵ QD ⊥ 平面 ABCD ，∴ V Q -BCD 1 = S 3 BCD 1 3 2 3QD = ⨯ ⨯ 2 =3 3 9 ．∴该组合体的体积V = V Q -BCD+ V 11 39⎧ c 6 ⎪ =20．解：(1)由题意得 b = 1 ，由 ⎨ a 3 得 a = 3 ， c = 2 ， b = 1 ，⎪a 2 = 1 + c 2x 2∴椭圆 E 的方程为 + y 2 = 1 ；3(2)依题意设直线 l 的方程为 x = my - 1 ， 联立椭圆方程，得 (m 2 + 3)y 2 - 2my - 2 = 0 ，设 A (x , y )， B (x , y1122)，则 y1 ， y y =-2 1 2 2，S△AOB 1= ⨯1⨯ y - y =1 2 3m 2 + 6(m 2+ 3)，设 m 2 + 3 = t (t ≥ 3)，则△SAOB⎛ 1 1 ⎫23 ⎝ t 2 ⎭ 41 1∵ t ≥ 3 ，∴ 0 < ≤ t 3，∴当 = ，即 t = 3 时， OAB 面积取得最大值为 ，此时 m = 0 ．t 3 321．解：(1)∵ f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ，其定义域为（0，+∞），∴ f '(x ) = - 2a 2 x + a = =x x x1 x∴ f (x ) 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．．a．此时f(x)的单调递减区间为 ，∞⎪．⎛1⎫⎪≤1此时f(x)的单调递减区间为⎝2a,+∞⎪．2a≤1解之，得a≤-1⎩1⎤[综上所述，实数a的取值范围是 -∞,-⎥1,+∞)．()x-1<0h′x）=②当a>0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>1+⎝a⎭⎧1依题意，得⎨a⎪⎩a>0解之，得a≥1．③当a<0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>-1 2a⎛1⎫⎭．⎧1⎪-依题意，得⎨⎪a<02．⎛⎝2⎦(2)∵g(x)=(3a+1)x-a2+a x2，∴f(x)-g(x)=ln x-(2a+1)x+ax2<0，即ln x-x<2ax-ax2，在[1,+∞)恒成立，设h(x)=ln x-x，则h'(x)=1（1x﹣1＜0恒成立，∴h(x)在(1,+∞)为减函数，∴h(x)<h(1)=-1，∴ax2-2ax-1<0，在(1,+∞)上恒成立，设ϕ(x)=ax2-2ax-1当a=0时，-1<0，符合题意，当a>0时，显然不满足题意，当a<0，由于对称轴x=1，则ϕ(1)<0，即a-2a-1<0，解得-1<a<0，综上所述，a的取值范围为(-1,0]．由曲线 C 的极坐标方程得到： ρ 2 = 2ρcos θ - ⎪ ，利用 ρ 2 = x 2 + y 2 ，得到曲线 C 的直角坐标方程为x - + y - 2 ⎪⎭ 2 ⎪⎭(2)点 P  0， ⎪⎪ 在直线 l 上且在圆 C 内部，所以 P A + PB = AB ， ⎪⎪ 到直线 l 的距离 d = 6 ．所以 AB = 10 ，即 P A + PB = 10 所以圆心 - x - 3, x < - 2 23．解：(1) f (x ) = ⎨3x - 1,- ≤ x < 2 2{ }= - ，若 ∀x ∈ R ， f (x ) ≥ t 2 -22．解 (1)直线的斜率为 3 ，直线 l 倾斜角为π3⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎛ 2 ⎫2 ⎛ 2 ⎫2= 1⎝⎝⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭直线 l 的直角坐标方程为 y = 2 2+ 3x⎛ 2 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 2 2⎧1 ⎪ ⎪⎪1⎪⎪ x + 3, x ≥ 2 ⎪ ⎩当 x <- 1 2， - x - 3 > 2 ， x < -5 ，∴ x < -5当 - 1 2≤ x < 2 ， 3x - 1 > 2 ， x > 1 ，∴1 < x < 2当 x ≥ 2 ， x + 3 > 2 ， x > -1 ，∴ x ≥ 2综上所述 x x > 1或x < -5 ．(2)由(1)得 f (x ) min5 2 11 2t 恒成立，则只需 f (x ) min 5 11 1= - ≥ t 2 - t ⇒ 2t 2 - 11t + 5 ≤ 0 ⇒ ≤ t ≤ 5 ，2 2 2综上所述 1 2≤ t ≤ 5 ．河北省衡水中学2017届高三上学期四调数学（文科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则若向量=（﹣1+2m，4），2与2=（﹣2﹣m，3），平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得 m=﹣ ；故选：B ．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线 kx ﹣y ﹣3=0 的距离 d=，即，∴k 2+1≥9，即 k 2≥8，∴k或 k ，∴圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的充分不必要条件是 k，故选：B ．6．【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 S 101．【解答】解：∵等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=3，且 a 2016+a 2017=0，∴，解得 a 1=3，q=﹣1，∴a 101==3×（﹣1）100=3．故选：A ．7．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos ，n=1 不满足输出的条件，则 n=2，S=cos•cos ；当 n=2，S=cos•cos 时，不满足输出的条件，则 n=3，S=cos •cos•cos；当 n=3，S=cos•cos•cos 时，满足输出的条件，故 S=cos•cos•cos=sin= = =sinsinsin•cos•cos•cos•cos÷sin•cos•cos÷sin÷sin÷sin=故选：B8．【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故(4)正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故(3)正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±当f′（x）＞0，即x∈（﹣，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣，）时，函数单调递增，），（，+∞）时，函数单调递减，故(2)正确函数f（x）=的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H 的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，P A=AB=4，∴EF=HG= PC=2EH=FG= BD=2且 EF ∥HG ∥PC ，且 EH ∥FG ∥BD ，故四边形 EFGH 为矩形，面积是 4 ，△EIH 中，EI=HI=故△EIH 的面积为，故 EH 上的高 IJ=，，即平面 EFGHI 的面积为 5，故选：C ．10.【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF 1|、|PF 2|用 a ，c 表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以 PF 1 为直径的圆经过 F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，又 tan ∠PF 1F 2= ，∴，则由|PF 1|+|PF 2|=2a ，得|PF 1|=，，在 △Rt PF 2F 1 中，得 ，即 ，解得：或（舍）．∴椭圆 E 的离心率为．故选：D．11．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG，即正方体面对角线长也是2，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴△Rt OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．△Rt MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线 C ：y 2=4x 的焦点为 F （1，0），点 A 坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为 l ：x=1，直线 AF 的斜率为 k=2，过 M 作 MP ⊥l 于 P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵△Rt MPN 中，tan ∠NMP=k=2，∴得|MN|=，可得|PN|=2|PM|，|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+ ），故选：D ．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于 m 的方程，解出即可．【解答】解：直线 l 1：（m+1）x+2y+2m ﹣2=0，l 2：2x+（m ﹣2）y +2=0，m=2 时，l 1：3x+2y+2=0，l 2：x+1=0，不合题意，m≠2 时，若直线 l 1∥l 2，则= ≠ ，即（m+1）（m ﹣2）=4，解得：m=3（舍）或 m=﹣2，故答案为：﹣2．14．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数，利用三角形内角和定理可求 A ，C ，进而利用正弦定理可求a ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a ﹣c ）cosB ﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，∴S△ABC=故答案为：acsinB=．=．15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，）由 f′（x ）＜0 解得 e 2x ＜a ，即 x ＜ lna ，此时函数单调递减，若 f （x ）在区间[0，1]上单调递增，则 lna≤0，解得 0＜a≤1，即 a ∈（0，1]当 a=0 时，f （x ）=|e x + |=e x 在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当 a ＜0 时，y=e x + 在 R 单调递增，令 y=e x +=0，则 x=ln，则 f （x ）=|e x + |在（0，ln]为减函数，在[ln ，+∞）上为增函数则 ln≤0，解得 a≥﹣1综上，实数 a 的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a ∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，可求 a 1=3，当 n≥2 时，由 a n =s n ﹣s n ﹣1 可求通项，进而可求 b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，【解答】解：（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，a 1=s 1=3 当 n≥2 时，a n =s n ﹣s n ﹣1=2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1 而 n=1，a 1=4﹣1=3 适合上式， 故 a n =4n ﹣1，又∵a n =4log 2b n +3=4n ﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和2T n =3×2+7×22+…+（4n ﹣5）•2n ﹣1+（4n ﹣1）•2n∴，=（4n ﹣1）•2n=（4n ﹣1）•2n ﹣[3+4（2n ﹣2）]=（4n ﹣5）•2n +518．【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】(1)利用三角函数的单调性与值域即可得出．(2)利用坐标变换得到 性即可得出．【解答】解：(1)f （x ）=4sin （2x ﹣的图象．可得 ．再利用三角函数的单调）+ ．sin （2x ﹣ ）=1 时，f （x ）取得最大值 4+；sin （2x ﹣ ）=﹣1 时，函数 f （x ）取得最小值 4﹣ ．(2)把 y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） 得到象．的图再把得到的图象向左平移∴由个单位，得到．的图象．．∴g （x ）的单调减区间是．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】(1)推导出 PA ⊥BC ，BC ⊥AB ，从而 BC ⊥平面 PAB ，由此能证明平面 PAB ⊥平面 QBC ．(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，该组合体的体积 V=V B ﹣P ADQ +V Q ﹣BCD ．由此能求出结果．【解答】证明：(1)∵OD ⊥平面 ABCD ，PA ∥QD ，∴PA ⊥平面 ABCD ，又∵BC ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BC ，又 BC ⊥AB ，PA ⊂平面 PAB ，AB ⊂平面 PAB ，PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面 PAB ，又∵BC ⊂平面 QBC ，∴平面 PAB ⊥平面 QBC ．解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，∵PA ⊥平面 ABCD ，BO ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BO ，又BO⊥AD，AD⊂平面P ADQ，PA⊂平面P ADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∴∵QD⊥平面ABCD，．∴该组合体的体积．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；(2)依题意设直线 l 的方程为 x=my ﹣1，联立椭圆方程，得（m 2+3）y 2﹣2my ﹣2=0， 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2= ，y 1y 2=﹣，S △AOB = |y 1﹣y 2|= ，设 m 2+3=t （t≥3），则 S △AOB =，∵t≥3，∴0＜ ≤ ，∴当 = ，即 t=3 时，△OAB 面积取得最大值为，此时 m=0.21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 a 的取值范围，(2)当 x ＞1 时，f （x ）＜g （x ）恒成立，转化为 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，构造函数 h （x ）=lnx ﹣x ，利用导数求出函数最值，得到 ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出 a 的取值范围．【解答】解：(1)∵f （x ）=lnx ﹣a 2x 2+ax ，其定义域为（0，+∞），∴f′（x ）= ﹣2a 2x+a= = ．①当 a=0 时，f′（x ）=＞0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当 a ＞0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≥1．．③当 a ＜0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞﹣此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≤﹣ ．．20 / 22．所以|AB|=综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）．(2)∵g （x ）=（3a+1）x ﹣（a 2+a ）x 2， ∴f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣（2a+1）x+ax 2＜0，即 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，设 h （x ）=lnx ﹣x ，则 h′（x ）= ﹣1＜0 恒成立，∴h （x ）在（1，+∞）为减函数，∴h （x ）＜h(1)=﹣1，∴ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设 φ（x ）=ax 2﹣2ax ﹣1当 a=0 时，﹣1＜0，符合题意，当 a ＞0 时，显然不满足题意，当 a ＜0，由于对称轴 x=1，则 φ(1)＜0，即 a ﹣2a ﹣1＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a 的取值范围为（﹣1，0]．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】(1)直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣ ），利用 ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．(2)将|P A|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解 (1)直线的斜率为 ，直线 l 倾斜角为 …由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣2+（y ﹣ ）2=1…），利用 ρ2=x 2+y 2，得到曲线 C 的直角坐标方程为（x ﹣）(2)点 P （0，）在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线 l 的直角坐标方程为 y=x+ …所以圆心（， ）到直线 l 的距离 d= ，即|P A|+|PB|=…21 / 22[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】(1)根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，(2)由(1)得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，可，求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)恒成立，只须即当当当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．，∴x＜﹣5，∴1＜x＜2(2)由(1)得，若∀x∈R，恒成立，则只需综上所述．，22/22。

四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷答 案1~5．DACDB 6~10．ABDDA 11~12．BD 13．1714．2 15．[)2,+∞ 16．()[),01,-∞+∞U17．解：（1）函数()()()sin cos cos sin sin f x m n x x x x x x ωωωωωω==+-+u r rg gπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴====224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△18．解：（1）由茎叶图得众数是：8.6，中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d 所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ． 又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥ 可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ； ∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN 12MNF S =⨯=△设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到：()2224384120,kx kmx m -+++=因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++所以AB 中点M 2243,,4343kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km mk k -⨯+⨯=++因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-==当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,af x x''=+>故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值； （2）()2,2af x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402af b '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+=由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=>所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解， 令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x ax x h x x--=--='令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-①当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．②当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减， ∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=；（2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷解析1．【考点】集合的表示法．【分析】求出∁U A={x|x≤0或x≥1}，即可得出结论．【解答】解：∵∁U A={x|x≤0或x≥1}，B={0，1}，∴B⊆∁U A，故选D．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．3．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．故选：C．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，∵+++…+=1﹣=，故==，故p=5．故选：B．6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°，∴向量在方向上的投影为==﹣，故选：A．7．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．8．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．9．【考点】几何概型．【分析】他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，即可求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率，【解答】解：他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，∴他能收看到这条新闻的完整报道的概率是=，故选D．10．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．11．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故选：B．12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB由∠BAC的平分线交边BC于点D 的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得k即可．【解答】解：如图所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AB•ACcosA=7k2．⇒BC=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2﹣2AB•BCcosB⇒cosB=．∵∠BAC的平分线交边BC于点D∴，∴DB=．在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1，解得k=经验证D满足，故选D．13．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：17．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为：2．15．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[)2,+∞16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ），即g ′（x ）=g （x ），则g （x ）=ce x ，∵f （1）=1，∴g （1）=f （1）=1，即g （1）=ce =1，则c =，则g （x ）=xf （x ）=•e x ，则f （x ）=，（x ≠0），函数的导数f ′（x ）==，由f ′（x ）＞0得x ＞1，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0得x ＜0或0＜x ＜1，此时函数单调递减，即当x =1时，函数f （x ）取得极小值，此时f （1）==1，即当x ＞0时，f （x ）≥1，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，且f （x ）＜0，综上f （x ）≥1或f （x ）＜0，即函数的值域为（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：()[),01,-∞+∞U17．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数f （x ）==（sinωx +cosωx ） （cosωx ﹣sinωx ）+2cosωx •sinωx =cos2ωx +sin2ωx =2sin （2ωx +），由f （x ）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围； （2）当ω=1时，，求得A ，由余弦定理、不等式的性质，得bc 的最大值，【解答】解：（1）函数()()()πsin cos cos sin sin f x n x x x x x x ωωωωωω=•=+-+•r rπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈ 22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴==== 224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =,,NM MF MF ⊥=△1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△ 18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图能求出众数和中位数．（2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为A ，B ，幸福指数为“极幸福”的4人设为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出所有结果． （ii ）利用列兴举法求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件个数，由此能求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得众数是：8.6， 中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】由三视图可知：平面ABCD ⊥平面ABFE ，AD ⊥平面ABFE ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，底面ABFE 是边长为2的正方形，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．（1）取BF 的中点P ，连接MP ，NP ．又M ，N 分别为AF ，BC 的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP ∥平面CDEF ，即可证明MN ∥平面CDEF ．（2）利用等体积法，求点B 到平面MNF 的距离．【解答】（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ．又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ；∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN12MNF S =⨯△ 设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c 值，由离心率可得a 值，再由b 2=a 2﹣c 2可得b 值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把直线l 2：y =kx +m 代入椭圆方程得到：（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB 中点横坐标，代入l 2得纵坐标，由中点在直线l 1上可求得k 值，用点到直线的距离公式求得原点O 到AB 的距离为d ，弦长公式求得|AB |，由三角形面积公式可表示出S △OAB ，变形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到： ()2224384120,k x kmx m -+++= 因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++ 所以AB 中点M 2243,,4343km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km m k k -⨯+⨯=++ 因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-== 当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）先求导得到f ′（x ）=2x ﹣+b ，由，f （1）=1+b =0，得到a 与b 的值，继而求出函数的解析式， （3）令g （b ）=xb +x 2﹣alnx ，b ∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x 0∈（1，e ）使得x 2﹣x ﹣alnx ＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a ≥0，1﹣a ＜0，看是否存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜h （1）=0，进而得到结论．【解答】解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,a f x x''=+> 故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值；（2）()2,2a f x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402a fb '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+= 由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=> 所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解，令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x a x x h x x--=--=' 令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-① 当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．② 当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减，∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用x =ρcosθ、y =ρsinθ把圆O 1，圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB |．【解答】解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=； （2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=。

全国卷1高考文科数学2017年试题及答案
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高考这个关出国留学网小编陪你一起过，以下是全国卷1高考文科数学2017年试题及答案解析，以供参考。

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2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。