2011-2012学年第二学期高等数学(理工A类)期末试卷

河南理工大学 2011-2012 学年第 2 学期《高等数学b 》试卷（A 卷）1. 已知1=a，2=b，a 与b 的夹角为4π，则=+b a（ ）.（A ）5 （B ） 21+ （C ） 2（D ） 12．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==22x z yx 上点()1,1,1-处的法平面方程为（ ）. （A ） 342-=--z y x （B ） 0542=---z y x （C ） 0742=-+-z y x （D ） 0542=+--z x y3．积分()⎰⎰θπρρθρθρθcos 020sin ,cos d f d 可以写为（ ）. （A ） ()⎰⎰-y y dx y x f dy 2010, （B ）()⎰⎰-21010,y dx y x f dy （C ）()⎰⎰1010,dy y x f dx （D ） ()⎰⎰-210,xx dy y x f dx4．若D ：4122≤+≤y x ，则=⎰⎰Ddxdy （ ）.（A ） π4 （B ） π15 （C ）π （D ） π35．下列级数中条件收敛的是（ ）.（A ） ()∑∞=+-111n nn n（B ）()∑∞=-111n nn（C ） ()∑∞=-1211n nn （D ）()∑∞=-111n nnn6. 方程x e y y y x 2cos 2=-'-''的特解形式为（ ）.（A ） x a x e x 2c o s （B ） x b x e x a x e xx 2s i n 2c o s + （C ） x be x ae xx2sin 2cos + （D ） x e bx x e ax xx2sin 2cos 22+ 1．设函数y x z =，则函数yx z =的全微分=dz .2．点()0,1,2到平面0543=++z y x 的距离=d . 3．若()z y u 3sin +=，而z 由方程342-=--z y x 确定，则=∂∂==01y x xu .4．已知∑：22y x z +=（10≤≤z ），则=+⎰⎰∑ds z 41 .5. 级数()∑∞=-13n nnx 的收敛域是 .1.（本题8分）求过点()4,3,1-M 且与直线L ：21331zy x =-=+垂直相交的直线方程.一、选择题(每小题4分,共24分)三、试解下列各题 (共51分)2. （本题8分）已知函数()22ln z y x u ++=（1）求该函数在点()1,0,1A 处的梯度；（2）求该函数在点()1,0,1A 处沿从点()1,0,1A 到点()2,2,3-B 的方向的方向导数.3. （本题8分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω是由三坐标面及平面12=++z y x 所围成的闭区域.4．（本题8分）设连续函数()x ϕ满足方程()()⎰+=+xx tdt t x x 01sin 2cos ϕϕ，求()x ϕ.5. （本题9分）计算()()()⎰Γ-+-+-dz y x dy z x dx y z ，其中Γ是有向曲线⎩⎨⎧=+-=+2122z y x y x ，从z 轴正向往z 轴负向看，Γ的方向为逆时针.6. （本题10分）设周期为π2的函数()⎩⎨⎧≤≤<≤-=.0 ,;0,0ππx x x x f 的傅里叶级数为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ，求： （1）系数n a （0≥n ）；（2）求傅里叶级数的和函数()x s 在ππ≤<-x 时的表达式.。

2011-2012学年第二学期全校经管类等专业《高等数学三（下）》期末试卷一、基本题（共6个小题，每小题6分，共36分） 1. 设 0lim =∞→n n a ，求级数∑∞=+-11)(n n na a的部分和n S 、和S .12n n S u u u =+++= 12231n n a a a a a a +=-+-++- 11n a a +=-111lim lim n n n n S S a a a +→∞→∞==-=2. 设 10055++=x y x x ，求差分x y ∆、x y 2∆.=-=∆+x x x y y y 1155(1)100(55100)435x x x x x ++++-++=⨯+=∆∆=∆)(x x y y 21455(455)165x x x +⨯+-⨯+=⨯3. 判断正项级数∑∞=-⋅⋅1!)12(531n n n 的敛散性. 正项级数比值审敛法，121limlim 211n n n nu n u n ρ+→∞→∞+===>+，所以发散4. 改变二次积分⎰⎰210),(xdy y x f dx 的积分次序.D 是X 型区域且012x x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ Y 型区域表示为12D D +，1D ：010y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 2D 1201y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩120(,)xdx f x y dy =⎰⎰100(,)ydy f x y dx ⎰⎰+2110(,)dy f x y dx ⎰⎰ 5. 求微分方程232y xdx dy =满足条件1)0(=y 的特解. 分离变量得到232y dy xdx = 两端积分得 32y x C =+ 这就是原方程的通解由条件1)0(=y 得到 1C =，故321y x =+是满足条件的特解6. 求差分方程9101=-+x x y y 的通解.原方程对应的齐次方程 1100x x y y +-= 齐次方程的通解为10xY C =因为101a =-≠-，所以设特解ya = ，代入 原方程 对比系数可以得到1a =- 因此 原方程的通解为101xy Y yC =+=-二、（共4个小题，每小题9分，共36分）1. 求过点)1,2,1(-M 且与直线 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+012012z y x z y x 垂直的平面方程.最主要是求出平面的法向量n ，即直线的方向向量s，常用方法：直线通过两个已知平面，方向向量s，12,n s n s ⊥⊥，所以取12112{3,1,1}121i j ks n n =⨯=-=--所以平面方程为3(1)(2)(1)0x y z +--+-= 整理得340x y z -++=2. 设函数 ),(y x e e xy f z +=，其中f 具有连续一阶偏导数，求x z ∂∂，yz ∂∂，与dz . 12x z yf e f x ∂''=+∂，12y zxf e f y∂''=+∂， 则z zdz dx dy x y∂∂=+=∂∂12()x yf e f dx ''++12()y xf e f dy ''+ 3. 设 )sin(22y x z +=，求x z ∂∂，y z ∂∂，与y x z∂∂∂2. x z ∂∂222cos()x x y =+ yz∂∂222cos()y x y =+ yx z∂∂∂2()zx y∂∂∂=∂224sin()xy x y =-+ 4. 设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和50元 ，某消费者消费x 单位A 商品和y 单位B 商品所获得的效用为 )ln ln (21),(y x y x u +=，求该消费者在这两种商品的预算消费支出为2000元时所获得的最大效用，以及各商品的消费数量.已知条件 10502000x y +=，即105020000x y +-= 目标函数：)ln ln (21),(y x y x u +=求目标函数在已知条件下的最大值问题，利用拉格朗日乘数法： 设(,,)ln ln (10502000)F x y x y x y λλ=+++-求解方程组11001500105020000x y F x F y F x y λλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪⎪=+-=⎪⎩求解得到5100,x y == 即当100,20x y ==时，总效用达到最大。

2011 ―― 2012学年第一学期期末考试数学试卷09高职(1)班、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，请将答案填入下表。

A. {2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {3}D. {5}2•已知a为实数，且a, 2a, 4成等比数列，贝U a=4A. 0B. 2C. 1D.-31,b是实数)的图像过点(1,7)与(0,4),贝U f(x)的解析式是4 .下列向量中与向量a (2, 3)平行的是A. (-4, 6)B. (4, 6)5.函数f (x) xlg(1 x2)是A.奇函数C. 偶函数x 26 .已知集合A {x|d二0}，则A =3 xA . ( , 2]B . (3,)7.设函数y f (x)在区间(0,)内是减函数，则a f (sin ) , b f (sin ) ,c f (sin ) 6 4 3的大小关系是A . c b aB . b c aC . b a cD . a b c8 .设a, b, c均为实数，则“ a b ”是“ a c b c”的A.充分非必要条件 B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分也非必要条件9.已知9, a, b, 243是等比数列，则a, b的值分别是A、27, 81B、27 .3 , 81C、-27, 81D、-27.3 , 813.已知函数f(x) a x b(a 0,且aA. f(x) 5x 2B. f(x) 4x 3 C . f(x) 3x 4 D. f(x) 2x 5C. (-3, 2) D . (3, 2)B .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数C . [ 2,3)D . [ 2,3]10. log a (:'■一 a )的值是7487A.-B.— C . D .—477811.已知函数f (x) x2 bx3(b为实数)的图像以x 1为对称轴，则f(x)的最小值为A. 1 B . 2 C . 3 D . 412.设0 2 ，如果sin0，且cos0 ,那么的取值范围是C . 33 A.— B .-D .2222 13.函数y3x 1 、2 3x的定义域为区间为1 2 AH,]3 31 2B (?3)C (1,2)D[1,2]14.设S n为等差数列{ a n } 的前n项和，且a3 a7 10: ,则S9A. 45 B . 50 C . 55 D . 9015.将函数y sinx的图像按向量a (1,1)平移得到的图像对应的一个函数解析式是A. y 1 sin(x 1) B . y 1 si n(x1)C. y 1 sin (x 1) D . y 1 sin(x1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.16•某服装专卖店今年5月推出一款新服装，上市第1天售出20件，以后每天售出的件数都比前一天多5件，则上市的第7天售出这款服装的件数是__________________ .17. _____________________________________________ 已知向量a (3, 4)，则向量a 的模|a| _________________________________________ .18. 不等式log 2(5 x) log 2(3x 1)的解是 ____________________ .19 .在ABC中，如果A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足等式a2 c2 b2 ac，贝U B_____________________________________ .20. 若f(2x) 2x，则f (log 2 3) _______ ;三、解答题：本大题共4小题，第21〜23题各12分，第24题14分，满分50分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.21. (本小题满分12分)1设sin( )—，且是锐角.2 4。

（2 分）
P 1 1 1 2 [1 y 2 f ( xy)] [2 yf ( xy) xy 2 f ( xy)] 2 f ( xy) xyf ( xy) y y y y
（2 分）
Q P ,故曲线积分 I 与路径无关。 x y
（1 分）
3
（1 分）
F
1 2 x 0 x 1 Fy 2y 0 y 3 Fz 2z 0 z 2 x y 2 z 2 5R 2 0 Fx
(2 分)
解出 x y R,
Z 3R
(2 分) （2 分）
则 u 的最大值为 ln( 3 3R 5 ) 2. 添加 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) ，取法向量朝上，则
xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy 0
1
(2 分)
根据奥高公式，
xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
1 1 ，此时极限为 8 8
（4 分）
由于 ( x, y) 沿不同路径趋于 (0,0) 时 f ( x, y ) 极限结果不一样，故 ( x, y) (0,0) 时
f ( x, y ) 的极限不存在。
2.
（1 分）
Q [ y 2 f ( xy) 1] xy 3 f ( xy) 1 f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 x y y

1
6dv

(3 分)
6
2

3
（2 分） (2 分) （2 分）
3. P( x) cos x, Q( x) e sin x ， P( x)dx sin x