全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题14排列组合真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为.
【答案】498
【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！
2、0相邻的不同8位数：.
1、9相邻的不同8位数：.
2、0与1、9均相邻的不同8位数：
故所求的8位数个数为：.
2．【2011年全国联赛】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）.
【答案】15000
【解析】
由题意知满足条件的方案有两种情形：
1.有一个项目有3人参加，共有种方案；
2.有两个项目各有2人参加，共有种方案.
故所求的方案数为.
故答案为：15000
3．【2017年全国联赛】将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。
【答案】56
【解析】
记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。
此时,共有56条分隔边，即L=56。
其次证明:L≥56。
将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。行中方格出现的颜色数
记为,列中方格出现的颜色个数记为。三种颜色分别记为，对于一种颜色为含有色方格的行数与列数之和。
定义
类似地定义.
所以
由于染色的格有个,设含有色方格的行有a个、列有b个,则色的方格一定在这a行和b
列的交叉方格中。
从而,
所以①
由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。
类似地,在列中,至少有条分隔边。
则②
③
下面分两种情形讨论。
1.有一行或一列所有方格同色。
不妨设有一行均为色则方格表的33列中均含有色的方格，又色方格有363个，故至少有11行含有色
方格.于是，④
由式①、③、④得
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色.
则対任意均有
从而，由式②知;
综上，分割边条数的最小值为56.
4．【2016年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.
【答案】15
【解析】
以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图G.
下面证明：图G的边数不超过15.
设图G的顶点为，共有k条边，用表示顶点的度.
若均成立，则.
假设存在顶点满足.不妨设，且均相邻.于是，
之间没有边，否则，就形成三角形.从而，之间恰有n条边.
对每个至多与中的一个顶点相邻（否则，设
相邻，则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条
件矛盾）.从而，之间的边数至多为
.
在个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有条边.因此，图G 的边数为
.
如图所示给出的图共有15条边，且满足要求.
综上，所求边数的最大值为15.
5．【2010年全国联赛】一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
【答案】当为奇数时，有种；当为偶数时，有种.
【解析】
对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上；若颜
色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上.于是，对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有的边都是偶数条.
所以，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记使得标有的边都是偶数条的方法数的4倍.
设标有的边有）条，标有的边有）条.
选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记.
由乘法原理知共有种标记方法.
对求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
.①
这里，约定.
当为奇数时，，此时，
.②
代入式①中得
.
当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则正边形的所有边都标记，此时，只有一种标记方法.于是，所有不同的密码设置的方法数为
.
综上，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种.
1．【2018年广西】把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为__________.（用数字作答）
【答案】216.
【解析】
将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：
16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，
16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，
16=2+3+5+6.
故符合条件的不同分配方法数为9=216.
2．【2018年安徽】把1，2，…，按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格，第一行是1，2，…，n.例如：.设2018在的第i行第j列，则（i，j）=___________.
【答案】（34，95）
【解析】
设，则的第k行第k列元素是.
因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.
故答案为：（34，95）
3．【2018年湖南】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数
的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个.
【答案】24
【解析】
可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.
因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成的形式.
又，所以其顶点坐标是.
若顶点在第一象限，则有.故.
因此，这样的二次函数有个.
若顶点在第三象限，则有.故.这样的二次函数有个.
由加法原理知，满足条件的二次函数共有个.
故答案为：24
4．【2018年湖南】的展开式中常数项为_____.
【答案】-20
【解析】
因为.所以.
故答案为：-20
5．【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_______.
【答案】3
【解析】
记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两个球”为事件C，则
.
依题意得，即.所以，从而为完全平方数.又由
，得.
所以.
解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）.
故符合题意的数组（m，n）有3个.
故答案为：3
6．【2018年河南】将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录
个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个．
【答案】8
【解析】
“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种．
一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个．
另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．
故该圆中等分点的个数最多可有8个．
7．【2018年浙江】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.
【答案】36
【解析】
在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有种；
在7，11，13中任取两个整数也构成既约分数，共有中.
合计有36种不同的既约分数.
8．【2016年吉林】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.
【答案】42
【解析】
分两类：
（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.
（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.
故共有42种方法.