第1节 随机变量及其分布

F ( x) f ( x)
像离散型随机变量的统计规律可用分布律来描述一样， 连续型随机变量可用概率密度来描述其统计规律性。 因此概率密度与分布律具有类似的作用,也有类似的性质。 由性质3可知：对于连续型随机变量，可以用积分来计算 概率。概率的大小就是概率密度曲线下的面积。
注: 1)离散型随机变量的分布函数是右连续的,而连续 型随机变量的分布函数是连续的. 2)离散型随机变量取某一值的概率可能为0,也可能 不为0. 对于连续型随机变量 X 来说，它取任一实数 a 值的概率均为0，即 P{X a} 0 这也就说明概率为零的事件不一定是不可能事件。 因此，对连续型随机变量X,有
求其分布律。
§4 连续型随机变量及其概率密度
一 连续型随机变量的定义 定义： 如果对于随机变量 X 的分布函数 F (x) ， 存在非负函数 f (x)，使对于任意实数 x 有 x

F ( x)

f (t )dt
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数(简称概 率密度)。
求
A, B 和概率密度 f (x) 。
例2：教材57页15题。 例3：教材58页21、24、25、26题。
§5 随机变量函数的分布
将伯努利试验独立地重复(即每次试验发生的 概率都是 p 即P( Ai ) p , 且各次试验的结果互不 影响)进行n次，称为n重伯努利试验。
三、重要的离散型随机变量及其分布律 1、(0 - 1) 分布 如果 X 只能取0,1两个值,且设 P{X 1} p 称 X 服从参 数为 p 的(0-1)分布，又称二点分布，它的分布律为
二 几种常见的连续型随机变量的分布 1、均匀分布 定义2：若连续型随机变量 X 的概率密度为

第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 离散型随机变量、分布律 连续型随机变量、概率密度 概率分布函数 重伯努利实验、二项分布、泊松分布 均匀分布、正态分布、指数分布 随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次 数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生 的概率为
13
设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目

随机变量及其分布教案本教案以"随机变量及其分布"为主题，旨在帮助初学者理解随机变量的概念、特征和分布。

本文将介绍随机变量的基本概念、离散与连续随机变量的特征以及常见的概率分布模型。

通过教师引导和学生参与，帮助学生掌握随机变量及其分布的概念和基本性质。

一、引入随机变量是概率论中的重要概念，它可以看作是试验结果的函数。

为了更好地理解随机变量，我们可以先从试验和事件的概念入手。

试验是指具有不确定性的过程或现象，而事件是试验的某一结果或一组结果组成的集合。

随机变量则是将试验结果映射到数轴上的变量。

二、随机变量的定义随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量，例如掷一个骰子的结果。

连续随机变量则是可以取连续数值的随机变量，例如人们身高的测量值。

三、离散随机变量的特征离散随机变量有其特征，主要包括概率质量函数、期望和方差等。

概率质量函数描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况，期望则是对随机变量取值的加权平均值，方差则衡量了随机变量取值的分散程度。

四、连续随机变量的特征连续随机变量的特征与离散随机变量类似，不同之处在于连续随机变量使用概率密度函数来描述其概率分布情况。

期望和方差的计算方法也有所不同。

五、常见的概率分布模型在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布模型可以用来描述随机变量的分布情况。

例如，离散型随机变量的概率分布模型有伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续型随机变量的概率分布模型有均匀分布、正态分布和指数分布等。

本教案将对其中部分常用的概率分布进行简要介绍，并通过实例演示如何应用这些分布模型进行概率计算。

六、总结与延伸通过本节课的学习，我们了解到随机变量及其分布的基本概念和特征，以及常见的概率分布模型。

随机变量在概率论和统计学中具有广泛的应用，对于我们理解和解决实际问题有着重要的作用。

在以后的学习中，我们将进一步深入研究随机变量及其分布的性质和应用，为进一步理解概率论和统计学打下坚实基础。

金融保险) 例2.2.4: (金融保险 金融保险 根据生命表知道， 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险， 人的概率。 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。 解: 分析 分析, 人中死亡的人数， 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~b (104，0.005 ) ，需要计算 { X ≤ 60 } 。 需要计算P P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ]
例2.1.1
抛掷均匀硬币两次， 抛掷均匀硬币两次，用X 表示正面 H 出现的次数。 出现的次数。
X
=
0 ，
1 ，
2， ，
3
试验结果 = 相应概率 =
{TTT} ， {HTT,TTH,THT}， {HHT,THH,HTH}, {HHH} , ， , 1/8 ， 3/8 ， 3/8, 1/8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 的概率分布也可以表格的形式表示： 的概率分布也可以表格的形式表示： X p 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8
离散随机变量概率分布的表达形式
1.
X pk
x1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k ⋅ ⋅ ⋅ p1 p2 p3 ⋅ ⋅ ⋅ pk ⋅ ⋅ ⋅
2.
x1 X ~ p1
x2 ⋅ ⋅ ⋅ p2 ⋅ ⋅ ⋅
xn pn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
离散型随机变量X的分布律具有以下性 离散型随机变量 的分布律具有以下性 质: 1.
有下面四个约定
1). 每次试验至多出现两个可能结果之一 或 A 每次试验至多出现两个可能结果之一:A或 2). A在每次试验中出现的概率 保持不变 在每次试验中出现的概率p保持不变 在每次试验中出现的概率 3). 各次试验相互独立 4). 共进行 次试验 共进行n次试验