送货路线设计问题
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。
现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市多处，请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。送货员的平均速度为24公里/小时。假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。请完成以下问题。
1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。给出结果。要求标出送货线路。
2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。
3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。
以上各问尽可能给出模型与算法。
图1 快递公司送货地点示意图
O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米
表1 各货物号信息表
货物号送达地点重量(公斤) 体积(立方米) 不超过时间
1 13 2.500.03169：00
2 18 0.500.03549：00
3 31 1.180.02409：30
4 26 1.560.035012：00
5 21 2.150.030512：00
6 14 1.720.010012：00
7 17 1.380.010912：00
8 23 1.400.042612：00
9 32 0.700.048112：00
10 38 1.330.021910：15
11 45 1.100.02879：30
12 43 0.950.022810：15
13 39 2.560.059512：00
14 45 2.280.03019：30
15 42 2.850.019010：15
16 43 1.700.078210：15
17 32 0.250.041212：00
表2 50个位置点的坐标
表3 相互到达信息
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时， 汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这 种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的 影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 四、模型建立
在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。 最简树结构模型 在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。 (a)分片 准则1利用最短树的长度可大致的估算出路程长，在具体操作中，各片中 的最短路程长度不宜相差太大。 准则 2 尽可能将最短树连成一个回路，这可保证局部上路程是较短的。 (b)片内调整 a2 a3 a4 a5 a6假设a3 a4有路相连 细准1对于右图的最短树结构，最好的走法是a 若a3 a4 进去重复走的话，它与上述的走法路程差w(a3, a2)+w(a2 ,a5)+w(a4, a5)—w(a3, a4)。由两点间最小原则上式是大于0的优劣可见 细准2若有如图所示结构，一般思想是：将中间树枝上的点串到两旁树枝，以便连成回路。 五、模型求解 问题一该问题完全可以用均衡模型表述 用算法模型 1 经过局部优化手工多次比较我们能够给出的最佳结果为第一组路径为 0—P—28—27—26—N—24—23—22-17—16—1—15—1—18—K—21—20—25— M--0 长191.1 经5 镇6 村 第二组路径为 0—2—5—6—L—19—J—11--G—13—14—H—12—F—10—F—9—E—8—E—7—6—5—2—0 长216.5 经6 镇11 村第三组路径为O—2—3—D—4—D—3—C—B—1—A—34—35—33—31—32—30—Q—29 —R 长192.3 经6 镇11 村总长S=599.9 公里 由算法2 给出的为 1组0—P—29—R—31—33—A—34—35—32—30—Q—28—27—26—N—24—33—22—23—N—2 6—P—0 5 乡13 村长215.2 公里 2组0—M—25—21—K—17—16—I—15—I—18—K—21—25—20—L—19—J—11—G—13—14 —O 5 乡11 村长256.2 公里 3组 O—2—5—6—7—E—9--F—12--H--—12—F—10—F—9—E-8—4—0—7—6—M—5-2—3—L —13—1—0 8 乡11 村长256.3 公里 总长727.7 公里
快递员配送路线优化模型 摘要 如今，随着网上购物的流行，快递物流行业在面临机遇的同时也需要不断迎接新的挑战。如何能够提高物流公司的配送效率并降低配送过程中的成本，已成为急需我们解决的一个问题。下面，本文将针对某公司的一名配送员在配送货物过程中遇到的三个问题进行讨论及解答。 对于问题一，由于快递员的平均速度及在各配送点停留的时间已知，故可将最短时间转换为最短路程。在此首先通过Floyd求最短路的算法，利用Matlab 程序将仓库点和所有配送点间两两的最短距离求解出来，将出发点与配送点结合起来构造完备加权图，由完备加权图确定初始H圈，列出该初始H圈加点序的距离矩阵，然后使用二边逐次修正法对矩阵进行翻转，可以求得近似最优解的距离矩阵，从而确定近似的最佳哈密尔顿圈，即最佳配送方案。 对于问题二，依旧可以将时间问题转化为距离问题。利用问题一中所建立的模型，加入一个新的时间限制条件，即可求解出满足条件的最佳路线。 对于问题三，送货员因为快件载重和体积的限制，至少需要三次才能将快件送达。所以需要对100件快件分区，即将50个配送点分成三组。利用距离矩阵寻找两两之间的最短距离是50个配送点中最大的三组最短距离的三个点，以此三点为基点按照准则划分配送点。 关键字：Floyd算法距离矩阵哈密尔顿圈二边逐次修正法矩阵翻转
问题重述 某公司现有一配送员，，从配送仓库出发，要将100件快件送到其负责的50个配送点。现在各配送点及仓库坐标已知，货物信息、配送员所承载重物的最大体积和重量、配送员行驶的平均速度已知。 问题一：配送员将前30号快件送到并返回，设计最佳的配送方案，使得路程最短。 问题二：该派送员从上午8：00开始配送，要求前30号快件在指定时间前送到，设计最佳的配送方案。 问题三：不考虑所有快件送达的时间限制，现将100件快件全部送到并返回。设计最佳的配送方案。配送员受快件重量和体积的限制，需中途返回取快件，不考虑休息时间。 符号说明 D：n个矩阵 n V：各个顶点的集合 E：各边的集合 e：每一条边 ij w:边的权 ()e G：加权无向图 , v v：定点 i j C：哈密尔顿圈 () f V：最佳哈密尔顿圈 i
实训0501：配送线路优化设计实训 实训目标： 1、能根据给出的配送中心与单个客户之间的路线图及图中各节点之间的综合成本数值， 找到配送中心与单个客户之间的成本最小路线并计算出此路线成本的数值。 2、能够在配送中心现有送货车辆能力及实际送货成本限定的前提下，规划出配送中心 往各个客户送货综合成本最低的送货网络路径图。 实训内容： 1、某配送中心与某单个客户之间成本最小路线规划及最小成本数值计算 2、在配送中心现有车辆送货能力及车辆单趟送货成本有限定的前提下，为配送中 心向多个客户送货规划若干条送货线路，并使各条线路的总成本数最小。 环境要求：普通多媒体机房教室 情境描述： 实训第1部分情境：某连锁超市的配送中心位于城市边缘的郊区，但超市的一家门店位于繁华的城市中心区，因此负责送货路线规划的计划调度员要规划出配送中心到这个门店的送货成本最低的路线。最初按交通图所示里程最短的线路进行送货，见下图： 图中O代表配送中心，A代表门店，V1—V4代表要经过的关键节点（如主要道路的交叉路口、立体交叉互通枢纽等），连线边上的数值代表每一路段的里程，图中绿线连接的O-V1-V4-A为里程最短线路。 但很快发现里程最短并不意味着成本最低，因为里程最短这条路有一条新建的大桥（图中V4点与A点之间黑色加粗部分）来回都要收取通行费，这条路是城区主干道且建成时间较长通行条件较差，越往城中心走道路拥堵越严重，每趟送货产生的油耗、车辆送货时间占用、送货人员工作时间等综合成本超出了正常水平，并且多次发生没按门店的要求时间送达的情况。因此计划调度员对每一条能从O到A的线路都进行了实地勘察记录，并综合考虑每条送货线路的里程、时间、车辆耗损，得出了每条线路每一个路段的送货运行成本，汇总出了一张从配送中心到此门店的送货路径数据图。现在计划调度员要依据此图，找出配送中心与该门店之间送货成本最低路径。 实训第2部分情境：该配送中心除为该门店送货外，还为其他地区的9个门店送货，按照实训第1部分的方法，计划调度员找到了配送中心到每个门店的成本最低线路，但配送中心的送货资源有限，不能为每个门店单独送货，只能一辆车一趟为几个门店循环送货。这样从一个门店到另一个门店之间也要找到成本最低的线路，因此同样采用实训第1部分的方法，找到了两两门店之间的成本最低线路并计算出了数值。现在，计划调度员要规划从配送中心出发为各个门店循环送货后最终回到配送中心的送货路线总规划图并且总送货成本要
第1章 优化设计 Chapter 1 Optimization Design 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (optimize, optimization ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。(Optimization deals with how to do things in the best possible manner) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 (Arithmetic ) 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。(Optimization theory plus computer program) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为5cm 3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗 材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
铺路问题的最优化模型 摘要 本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。 根据A地与B地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。 问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用C语言实现，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。 问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为160度，模型二也是如此。非线性规划模型所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。遍历模型所得最优解为最小花费为750.821154万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。 问题三：因为管线一定要经过一确定点P，我们将整个区域依据P点位置分成两部分，即以A点正东30km处为界，将沙土层分成两部分。非线性规划模型最小花费为752.6432万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km。遍历模型最小花费为752.649007万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。 关键词：非线性规划逐点遍历穷举法
数学建模路线优化问题
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小 时，汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线 的影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 符号表示意义 Ti 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 Vi Ti的点集Si Ti的长度 Hi(v) 在V上定义的特殊函数仅当V被第i 人走过且停留时 Hi(v)=1,否则为0
基于节约里程法连锁超市配送路线优化设计 【摘要】随着连锁超市经营市场竞争的加剧，进一步降低配送物流成本，建立一套科学完善的物流配送体系成为连锁超市经营成败的关键，节约里程法作为一种物流运筹启发算法在进行连锁超市配送路线优化设计、降低配送物流成本具有良好的适用性与实际意义。 【关键词】连锁超市；节约里程法；路线优化 一、引言 随着连锁经营在中国的快速发展，连锁超市经营通过“统一采购、统一核算、统一配送”的经营模式，凭借良好的规模经济与物流成本优势成为流通领域最主要的零售业态。然而，随着市场竞争的加剧，连锁超市经营必须具备一套高效的物流配送体系，进行科学合理的配送路线优化设计，将配送商品以最短的时间、最快的速度、最低的物流成本送到到指定门店或消费者手中，节约里程法是一种解决连锁超市配送路线优化问题的有效方法。 二、节约里程法基本思想与操作方法 （一）节约里程法的基本思想 节约里程法又称节约算法，是用于解决一个配送中心向多个指定客户巡回送货的最优路线优化问题的启发式算法，目标是以最短的配送距离、最少的货运车辆与司机、最短的送货时间、最少的物流成本完成指定配送任务。设P是某超市配送中心所在地，A和B为客户所在地，PA距离为a，PB距离为b，AB距离为c，送货时最直接的方法是利用两辆车分别给两个客户送货，总行程距离为2a+2b，若进行节约里程法进行配送路线优化，采用共同巡回送货的方式送货，那么总行程为a+b+c，节约的里程数为（2a+2b）-（a+b+c）=a+b-c，根据“三角形两边之和大于第三边”原理，可知a+b-c>0，其差值即为优化路线后节省的运输距离。 （二）节约里程法的操作步骤 1、确定相关已知条件，如客户位置、各客户订货量、配送中心车辆类型与数量等。 2、计算确定配送中心与客户及客户之间的距离，一般可以通过DijkStra等算法解决网络中两点间的最短路问题。 3、根据节约里程法基本原理计算各配送点巡回优化配送比单独往返配送节约里程数，并根据节约里程数从大到小排序列表。
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析 3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这
一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,, ,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件
1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩， 求目标函数f=110x1+75x2+60x3 在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 正则模型: 决策变量: x 1,x 2 ,…,x n . 目标函数: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n . 约束条件: a 11 x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束. 若有 a i1x 1 +…+a in x n ≤b i , 则引入 x n+i ≥ 0, 使得 a i1 x 1 +…+a in x n + x n+i =b i 若有 a j1x 1 +…+a jn x n ≥b j , 则引入 x n+j ≥ 0, 使得 a j1 x 1 +…+a jn x n - x n+j =b j .
楚雄师范学院 2011年数学建模培训第二次测试论文 题目玩转云南之旅游路线优化模型 姓名李雯刘正权叶万颂 系（院）数学系 专业信息与计算科学 2011年5月15日
一、摘要 云南风光旖旎，四季如春，是旅游的天堂。本论文就是以到云南旅游的交通方式以及路线选择为背景，通过构建模型。实现以经济的方式玩转云南的各大旅游景点。 旅游的交通方式一般有自驾游览和乘坐公共交通工具两种方式。本论文通过比较用公共交通出行方式下所有旅游路线的费用，得出最佳的旅游路线。 为了方便进行进行比较，文中引入了带权图和最小生成树的模型，为比较提供了可以参考的标准，模型中既要考虑路线最短，又要在规定的时间范围完成旅程,且通过预订旅游近点数最多，费用较少。 该模型以云南各大旅游景点为带权图的点，以采用交通方式来进行旅游过程中在具体的两个旅游景点的途中花去的费用为权值，这样，在该种旅游方式下的花费就是各对应的权值之和。当然，选择了公共交通的旅游方式，可能走的旅游路线也不尽相同。这样就产生了同一个旅游方式下的多条路线费用的比较，通过比较大小，就得到了较为经济的相应旅游方式下的最佳路线了。 本文作者充分调查了云南省目前的各种交通方式的收费情况，并查找了相关的旅游路线，有利地确保了论文的真实性和可靠性。
关键字：最小生成树、最佳路线、时间、路程。 二、问题 某旅客携带着家人想到云南旅游观光，并且想玩遍云南的各大旅游景点。请为这一行旅客设计旅游路线，并为他们提供一个合理的旅游交通方式的建议。 三、符号说明 把各景点用数据代替如下： 昆明市⑴楚雄市⑵大理市⑶丽江市⑷香格里拉⑸怒江⑹保山⑺德宏⑻临沧⑼ 普洱市⑽西双版纳⑾玉溪市⑿红河⒀文山市⒁石林⒂曲靖⒃昭通⒄ 权值表示景点之间的车票价
送货路线设计问题 现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。 现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。 假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。送货员的平均速度为24公里/小时。假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。 现在送货员要将100件货物送到50个地点。请完成以下问题。 1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。给出结果。要求标出送货线路。 2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路。 3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。
以上各问尽可能给出模型与算法。 图1 快递公司送货地点示意图 O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米 货物号送达地点重量(公斤) 体积(立方米) 不超过时间 1 13 2.500.03169：00 2 18 0.500.03549：00 3 31 1.180.02409：30 4 26 1.560.035012：00 5 21 2.150.030512：00 6 14 1.720.010012：00 7 17 1.380.010912：00 8 23 1.400.042612：00 9 32 0.700.048112：00 10 38 1.330.021910：15 11 45 1.100.02879：30
盈利最大化的产品生产方案 摘 要：本问题是一个优化问题，它解决了大多数企业所面临的在生产设备有限的情况下要实现利润最大化的问题。根据盈利产品生产利润i b *生产数量i x ，我们建立目 标函数3 1i i i Z x b ==∑，又因为i 产品的生产数量i x 又受有限生产设备的限制，所以得到约束 条件：3 1(1,2,3)i ij j i x Y W j =≤=∑。用软件，建立模型求解，我们得到：当生产产品Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的件数分别为22.5、23.2、7.3时，利润可实现最大化为135.2667千元。 在此基础上，我们做灵敏性分析得到借用设备B 每月60台时是不合算的这一结论；对于问题（3）、（4）可以建立相类似模型，得到对于新产品Ⅳ，Ⅴ的投产在经济上是合算的；当对产品工艺重新进行设计，改进结构，相应的生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的件数分别为22.8、25.3、0时，利润可实现最大化为153.1618千元；我们对此问题做了引申，当该厂生产的产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即1x 、2x 、3x 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件，用求解得到了新的生产方案。 问题二回答：对问题一做灵敏性分析：租用设备B 一台时花费是300元，由上面灵敏性分析表可得一个台时的B 设备的影子价格约为267元，也就是说租用B 设备一个台时其能制造的利润为267元。很显然成本高于利润，商家无利可图而且还会造成亏损。 问题五回答：当该厂生产的产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即1x 、2x 、3x 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件， 关键词：利润最大化；优化问题；生产方案；灵敏性分析 一、问题的提出 知某工厂计划生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，各产品需要在A 、B 、C 设备上加工，有
最佳路径选择方案的优化模型 摘要 本文对乘公交、看奥运这一实际问题进行了深入的研究，首先对公交乘客进行了心理分析，得出影响乘客出行的三个主要因素分别为：换乘次数、出行时间、出行费用，通过调查研究，得出换乘次数最少是乘客出行考虑的最主要因素，其次是出行时间和出行费用。然后利用公交乘客的出行过程抽象为站点—线路的交替转换的思想，建立了站点—线路序列模型，从而确定了出行者对路线的所有选择方案。 针对问题一：仅考虑公汽的情况下，以换乘次数最少为第一目标、出行时间为第二目标建立了优化模型一，再以换乘次数最少为第一目标、出行费用为第二目标建立了优化模型二，从而满足了两类不同乘客的需求。并依靠站点—线路序列模型采用图论中计算方法，分别得到了公交乘客的最少换乘次数，所经过的站点，出行时间、出行费用以及相应的算法。 针对问题二：在问题一的基础上再考虑地铁线路，建立了对应的两组优化模型，并推导出相应的改进算法。 针对问题三：在问题一、二的基础上，考虑出行者可以通过步行到达相邻的公交站点的情况，同样建立了两组相应的优化模型，并给出了相应的计算方法。 然后利用基于换乘次数最少的最优路径改进算法思想，借助MATLAB软件编程分别对问题一和二进行了求解，得到的结果见模型的求解（正文第21、22页）。 最后对所求得的结果进行了对比分析和检验，根据各参数的变化关系，进行了灵敏性分析，本模型主要抓住了乘客的心理需求，实用性强，具有较强的现实意义。 关键词：站点—线路序列最优路径改进算法公交
一、问题的提出 1.1基本情况 我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择（包括不同线路上的换乘交通工具的路径选择等）问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。 1.2基本参数设定： 1）相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)：3分钟； 2）相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)：2.5分钟； 3）公汽换乘公汽平均耗时：5分钟(其中步行时间2分钟)； 4）地铁换乘地铁平均耗时：4分钟(其中步行时间2分钟)； 5）地铁换乘公汽平均耗时：7分钟(其中步行时间4分钟)； 6）公汽换乘地铁平均耗时：6分钟(其中步行时间4分钟)； 7）公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元。 地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）。 注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。 1.3相关信息（详见附件） 【附件1】公汽和地铁线路信息数据文件格式说明； 【附件1.1】公汽线路及相关信息； 【附件1.2】地铁线路及相关信息； 【附件2】地铁换乘公汽信息数据文件格式说明； 【附件2.1】地铁T1线换乘公汽信息； 【附件2.2】地铁T2线换乘公汽信息。 1.4需解决的问题 为了设计这样一个公交线路选择的自助查询计算机系统，其核心是线路选择的模型
第17讲应急设施的优化选址问题 问题（AMCM-86B题）里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。图17-1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数。在北边的L形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。 图17-1 1985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目（I）假定需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。 （II）假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。 §1 若干假设 1、图17-1所标出的1985年每个长方形街区应急事件的次数具有典型代表性，能够反映该街区应急事件出现的概率的大小。 2、应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶时间，其他因纱（如转弯时间等）可以忽略不计。 3、两个应急设施的功能完全相同。在应急事件出现时，只要从离事件发生地点最近的应急设施派出应急车辆即可。 4、执行任何一次应急任务的车辆都从某一个应急设施出发，完成任务后回到原设施。不出现从一个应急事件点直接到另一事件点的情况。（这是因为，每一个地点发生事件的概率都很小，两个地点同时发生事故的概率就更是小得可以忽略不计）。
§2 假定（I ）下的模 在假定（I ）下，应急需求集中在每个街区中心。我们可以进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达了该街区，可以开始工作了。按假定（I ），每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个。两个应急设施的位置的可能的组合至多只有66×65/2=2145个。这个数目对计算机来说并不大，可用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及对应的选址方案。具体算法是： 建立直角坐标系，以该镇的西北角为原点，从北到南为X -轴正方向，从西到东为Y -轴正方向，在南北、东西方向上分别以一个街区的长作为单位长，则街角的坐标),(Y X 是满足条件50,100≤≤≤≤Y X 的整数。而每个街区中心的坐标具有形式)5.0,5.0(++j i ，其中j i ,是满足条件：40,90≤≤≤≤j i 的整数。如果不考虑障碍和水塘的影响，同应急车辆从设在),(Y X 点的应急设施到以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的行驶时间等于 )5.05.0(20)5.05.0(15),,,(---+---=j Y i X j i Y X t )5.17)5.0(20)5.0((15-+-++-=j Y i X 秒 记),(j i p 为以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的事故发生频率（即在图上该街区所标的数字）。如果应急设施设在),(),,(2211Y X Y X 这两点，总不妨设21X X ≤，则该设置方案的总响应时间为 ),,,(2211Y X Y X T ∑∑===904 02211)},,,(),,,,(min{),(i j j i Y X t j i Y X t j i p 让1X 取遍0—10，2X 取遍101-X ，21,Y Y 分别独立地取遍0—4。依次对四数组),,,(2211Y X Y X 的每一个值算出对应的总响应时间的最小值及对应的四数组。 以上算法不难用计算机编程实现。由于数组的个数不算多（只有两千多个），计算机可很快得出答案。答案是： 两个应急设施分别设在点（2，3），（6，3）时最优。 这是在不考虑L 形障碍区域和水塘的影响的假定下得出的最优解，但从这两个点到