九上数学 第27讲 第六章 6.2反比例函数性质和图像

第27讲 《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。

【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。

【同步达标练习】A 组1．如图1所示，在反比例函数y=kx（k>0）的图像上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、y •轴圈成的矩形的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（ ） A ．S 1>S 2>S 3 B ．S 1<S 2<S 3 C ．S 1<S 2<S 3 D ．S 1=S 2=S3(1) (2)(3)2．如图2,设P（a，b），M（c，d）是反比例函数y=1x在第一象限内的图像上关于直线y=x•对称的两点，过P、M作坐标轴的垂线，垂足为Q、N，若∠MON=•30•°，•则b da c=________．3．如图3所示，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=4x（x>0）的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是___________．4. 如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．5．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？6．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P •是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a ，b ），由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN （点M 、N •为垂足）分别与直线AB 相交于点E 和点F ． （1）设交点E 和F 都在线段AB 上（如图所示），分别求点E 、点F 的坐标（用a 的代数式表示点E 的坐标，用b 的代数式表示点F 的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 的代数式表示）．（3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．B 组1．如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S > 2．如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2B 、m-2C 、mD 、41题图 2题图3．市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )4．已知点A 是反比例函数3y x=-图象上的一点．若AB 垂直于y 轴，垂足为B ，则AOB △的面积= ．5.如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝________．.5题图 6题图 6.如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．7.如图，直线经过A （1，0），B （0，1）两点，点P 是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM •⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．PM 与直线AB 交于点E ，PN 的延长线与直线AB 交于点F ．（1）求证：AF ●BE=1；（2）若平行于AB 的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．课后作业《6.2反比例函数的图象与性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2C．4 D．32．A,b是实数,点A（2，a）,B（3，b）,C（-1，c）在反比例函数y=-的图象上,则（）A．a＜b＜0＜c B．b＜a＜0＜c C．a＜0＜b＜c D．b＜0＜a＜c3．如图，将直线y=x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y=（k＞0，x ＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2=10，则k的值是（）A．5 B．10 C．15 D．204．如图，矩形OABC的顶点B（7，6），顶点A、C在坐标轴上，矩形内部一点D在双曲线y=上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若四边形DEBF为正方形，则点D的坐标是（）A.（2，6）B.（3，4）C.（4，3）D.（6，2）5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（）A.（-2，2）B.（3，2）C.（-3，2）D.（-6，1）6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（）A．2 B．3 C．4 D．67．如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴上，点C在反比例函数y=﹣的图象上，则菱形OABC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．38．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y29．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y=的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（）A．4 B．2 C．1 D．10．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OA＜OC＜OB，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．11．如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，CA的延长线交y轴于点E，连接BE．若S△ABE=2，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，点A为反比例函数y=﹣图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A．4 B．﹣2 C．2 D．无法确定二．填空题（共8小题）13．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为；14．如图，点A是反比例函数y1=（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=（x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为2，则k的值为．15．如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则矩形ABCD的周长为．16．若反比例函数y=的图象在二、四象限，则常数a的值可以是．（写出一个即可）17．如图，在直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）与双曲线y=相交于A、B两点，过A 作AM⊥x轴，过B作BN⊥y轴，则图中阴影部分的面积为．18．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为．19．如图，直线AB与双曲线y=（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1，△COE的面积为S2，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为．20．如图，双曲线y=与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，且F是CB的中点，则在结论：①E是AB的中点；②S阴影部分=8中，正确的有．＜4；③S矩形ABCD三．解答题（共6小题）21．如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y=与一次函数y=﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO=．（1）直接写出这两个函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）根据图象直接写出：当x为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．22．已知y是x的反比例函数，且当x=﹣2时，y=，（1）求这个反比例函数关系式和自变量x的取值范围；（2）求当x=3时函数y的值．23．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（2，3），B（6，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积．24．已知反比例函数与矩形ABCD交于点M、N，连接OM，ON，M（3，2），S四边形OMBN=6，求反比例函数的解析式及B点、N点的坐标．25．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（2，m），B（﹣1、n），求一次函数的解析式．26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．（1）k的值为；（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．参考答案课后作业一．选择题1．B．2．A．3．A．4．C．5．C．6．B．7．A．8．D．9．C．10．B．11．D．12．C．二．填空题13．y=．14．5 15．12．16．a＜3．17．318．9．19．﹣6＜x＜﹣2．20．①．三．解答题21．解：（1）设点A（x，y），则xy=k∵S△AOB=∴（﹣x）×y=∴k=﹣3∴反比例函数解析式y=一次函数解析式y=﹣x+2（2）由解得，∴A（﹣1，3）、C（3，﹣1）∵一次函数y=﹣x+2与y轴的交点坐标为（0，2）∴S△AOC=×2×（3+1）=4（3）由图象可得：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例图象的上方．22．解：（1）设y=（k≠0），把x=﹣2，y=代入得：=﹣．（1分）得：k=﹣．（1分）∴函数解析式为y=﹣．（1分）自变量的取值范围是x≠0．（1分）（2）把x=3代入得y=﹣=﹣．（2分）23．解：（1）∵反比例函数y2=的图象过A（2，3），B（6，n）两点，∴m=2×3=6n．∴m=6，n=1，∴反比例函数的解析式为y=，B的坐标是（6，1）．把A（2，3）、B（6，1）代入y1=kx+b．得：，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+4．（2）如图，设直线y=﹣x+4与x轴交于C，则C（8，0）．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=×8×3﹣×8×1=12﹣4=8．24．解：∵设反比例函数的解析式为y=，把M（3，2）代入y=，得k=6，∴反比例函数的解析式为y=，∴S三角形OMA=S三角形ONC=3，∵S四边形OMBN=6，∴S矩形OABC=6+3+3=12，∵OA=3，∴AB=4，∴B（3，4），第11 页共12 页2018年 初三数学上册教师：第 12 页 共 12 页∵OC•CN=6， ∴CN=， ∴N（，4）．25．解：（1）x 2﹣4x+3=0， （x ﹣3）（x ﹣1）=0， x ﹣3=0或x ﹣1=0， 所以x 1=3，x 2=1；（2）把A （2，m ），B （﹣1、n ）分别代入y=得2m=4，﹣n=4，解得m=2，n=﹣4，∴A （2，2），B （﹣1、﹣4）， 把A （2，2），B （﹣1、﹣4）代入y=kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y=2x ﹣2．26．解：∵OA=6，OC=3，点D 为BC 的中点， ∴D （3，3）． ∴k=3×3=9， 故答案为9；（2）S △OCD =S △OBE ，理由是：∵点D ，E 在函数的图象上， ∴S △OCD =S △OAE =， ∵S △OAB=×6×3=9， ∴S △OBE =9﹣=， ∴S △OCD =S △OBE ．。