2019年上海高中数学 第47讲 抛物线

抛物线的定义与性质要求层次重难点抛物线的定义及标准方程 C由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质 C直线与抛物线的位置关系要求层次重难点 抛物线的定义与性质 C判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长直线与抛物线的位置关系C1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是(0)2p，，准线方程是2px =-，其中p 是焦点到准线的距离．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）：⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：标准方程图形对称轴 焦点坐标 准线方程知识内容高考要求模块框架抛物线.知识框架5．抛物线)标准方程：22(0)y px p =>； 焦点：02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，通径2AB p =；准线：2p x =-；焦半径：12pCF x =+， 过焦点弦长121222p pCD x x x x p =+++=++，2212124p x x y y p ==-，6．0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．7．弦长公式同椭圆和双曲线．。

高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。

2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。

3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。

4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。

高考数学复习技巧1、训练想像力。

有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。

同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。

现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。

所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。

2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。

为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。

3、审题。

有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。

把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。

高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。

高中数学抛物线两个结论的推导一两个结论结论1：如图1，F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于坐标轴的直线，则法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2。

结论2：如图2，M、N、P三点在抛物线的准线上，M、N在P点异侧，F是抛物线的焦点，过P向抛物线引两条切线PA、PB，则PA、PB平分∠FPM，∠FPN。

上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

二通性通法分析比较这两个结论可以看出它们的共同特征：（1）条件：抛物线上的切线问题，给定抛物线C：y2=2px。

结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT，结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。

切点为A、B；（2）研究的问题相近：切线平分角的问题，涉及直线与焦点有关。

查阅高考试题及有关高中的数学资料，可以找到诸多与此相似的问题，由于抛物线方程可以看作为函数的表达式，因而研究的思路更加宽阔、活跃，在高考试题中频频出现。

求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是：设出切点坐标，用导数表示切线的斜率写出切线方程，利用已知点在切线上展开思路。

（2）联立方程研究位置关系。

利用已知设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，利用判别式为0展开思路。

（3）待定所求直线方程，通常用斜截式。

联立直线方程与抛物线方程，用韦达定理列出切点坐标，再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。

用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求，在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。

三解题思路和策略两个结论都先从导数的几何意义入手，将切点坐标设出来。

结论1是根据两垂直直线斜率之积等于-1，根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线方程，计算出此直线与抛物线轴的交点坐标N，计算出|FN|和|FM|的长度，判断出△FNM是等腰三角形，再根据ME∥轴线推出内错角相等，即证。

高中数学抛物线教案6篇本文题目：空间几何体的三视图和直观图高一数学教案第一课时1.2.1中心投影与平行投影 1.2.2空间几何体的三视图教学要求：能画出简单几何体的三视图;能识别三视图所表示的空间几何体. 教学重点：画出三视图、识别三视图.教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.教学过程：一、新课导入：1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体工程师如何制作工程设计图纸2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形; 直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.二、讲授新课：1. 教学中心投影与平行投影：① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③ 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2. 教学柱、锥、台、球的三视图：定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图讨论：三视图与平面图形的关系画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面(自前而后)、侧面(自左而右)、上面(自上而下)三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果. 正视图、侧视图、俯视图.③ 试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. (④ 讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)哪些数量(长、宽、高)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3.3 抛物线-人教A版高中数学选择性必修第一册（2019版）教案课程背景和目标本节课是高中数学选择性必修第一册的第三章第三节，主要内容是抛物线。

学生已经学过了函数的基本概念和性质，现在需要将函数应用到经典的函数类型中，掌握抛物线的性质和公式，为后面的学习打下基础。

本节课的主要目标是：1.了解抛物线的定义和常用性质；2.掌握抛物线的标准式和一般式；3.掌握如何求解特定抛物线的焦点、顶点和轴；4.学会画出特定的抛物线。

教学过程导入（5分钟）1.引入本节课的主题，让学生通过贴近生活的实例感受抛物线。

2.提醒学生先将上节课的习题完成并自己找出抛物线内容中的问题和疑惑。

3.明确本节课的目标。

讲解和演示（35分钟）1.讲解抛物线的定义：平面内到定点距离等于到定直线距离的点轨迹。

2.讲解抛物线的性质：对称性、单调性、变化率、极值、最值等。

3.引入抛物线标准式和一般式，通过演示和解释对两者进行区分和比较。

4.探讨如何求解特定抛物线的焦点、顶点和轴，引导学生基于公式进行计算。

5.介绍如何画出特定的抛物线，提醒学生注意坐标系和图形的比例。

6.给出典型的抛物线实例，让学生进行练习和思考。

7.随堂测试巩固学生的学习成果。

练习（20分钟）1.学生在老师的引导下，根据自己掌握的知识完成抛物线的作业。

2.学生相互交流和讨论自己的解题思路，发现问题和提出疑问。

总结（5分钟）1.回顾本节课的主要内容和目标，呈现学生的学习成效和进步。

2.提出课后学习的任务和建议，巩固和拓展自己的知识。

教学反思本节课的教学效果较好，学生积极参与，对抛物线的性质和公式掌握得比较熟练，能够独立完成作业。

教师在教学中需要注意以下几点：1.根据学生的实际情况使用生动的例子和实际操作提高学习兴趣和效果。

2.强调重点、难点和易错点，引导学生认真听讲、做笔记、梳理思路。

3.给学生一定的自主学习和交流的机会，培养学生的团队意识和探究精神。

抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。

此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。

例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。

此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。

例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。