连续型随机变量及其密度函数

PX G f xdx (此公式非常重要)
G
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
指数分布常用于可靠性统计研究 中，如元件的寿命.
若X 服从参数为 θ 的指数分布, 则其分布函数为
F(x)PXຫໍສະໝຸດ x 1 e x /
,
0,
x0 其它
事实上 ,
F
x
x
f
t
dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
x
0dt
当
x 0 时, F x
x f t dt
0
0dt
x
1
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
bx
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
1
1 x
2
x
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab

cos x C
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他

(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m


(t )
m 1

( t )m
e

dt 1 e

( x )m

(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：

⑹ 连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不可能事件.
Kx 2 例1 设 X ~ f ( x ) Kx 0
0 x2 2 x 3 求常数K 其它
解
由性质 得

2


f ( x )dx 1,
3 2

2
0
Kx dx Kxdx 1
0 F ( x) 1
不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 .
要点重申
⑶ 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与 分布函数 F (x) 的相互关系是
F ( x)
x

dF ( x ) f (t )dt , f ( x ) dx
1
1
0
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 13 9x . 18 3 0 27
3
1
P{ X 2}


2
f ( x )dx
3 3
3
2
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 2 9x . 36 3 2 27
2. 连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以 连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量. 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间， 对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样， 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布， 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其 概率分布.
下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 — 连续型随机变量的描述方法.
【练习】 设随机变量 X 具有概率密度
0 x 3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4. 2 其它 0,