向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识

向量形式下的三角形四心相关结论
向量形式下的三角形四心相关结论三角形是几何学中的重要概念之一，其四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。

在向量形式下，我们可以得出一些有关这四个点的重要结论。

重心是三角形内部三条中线的交点，用向量表示为G=(A+B+C)/3，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。

重心具有平衡的作用，对于任意一点P，PG的向量和PA、PB、PC 的向量和为零。

外心是三角形外接圆的圆心，用向量表示为O=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三个边长。

外心具有唯一性，且到三角形三个顶点的距离相等。

内心是三角形内切圆的圆心，用向量表示为I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度。

内心到三角形三个边的距离相等，且与三角形的角度有关。

垂心是三角形三条高的交点，用向量表示为H=A+B+C。

垂心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形的角度有关。

综上所述，向量形式下的三角形四心具有一些重要的性质。

研究这些结论不仅可以帮助我们更好地理解三角形的几何特性，还可以应用于解决一些与三角形相关的问题。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。

一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔=++若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故=++,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明：+=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴=++⇒=++，即++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心二、垂心1、O 是ABC ∆的垂心⇔OC OA OC OB OB OA •=•=•若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故0tan tan tan =++OC C OB B OA A2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．图1A例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、内心1、O 是ABC ∆的内心的充要条件是=⎫⎛•=⎫⎛•=⎫⎛•引进单位向量，使条件变得更简洁。

向量的童心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心：中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：中、每个角的角平分线的交点（XX的圆心）；外心：中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。

一、重心1、是的重心若是的重心，则故，为的重心.2、P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC勺重心.证明：PG 二PA AG 二PB BG = PC CG = 3PG 二（AG BG CG）（PA PB PC）TG是厶ABC的重心•••,即由此可得•（反之亦然（证略））3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.例1 若为内一点，，则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心二、垂心1、是的垂心若是（非直角三角形）的垂心，则故2、H是面内任一点，点H是厶ABC勺垂心.由,同理，. 故是勺垂心. （反之亦然（证略））3、是所在平面上一点，若，则是勺垂心.由，得，即，所以.同理可证，.•••是的垂心.如图1.4、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的垂心.例2 P 是厶ABC 所在平面上一点，若，则 P 是厶ABC 的 ()A .外心 B.内心 C.重心 D.垂心三、内心1、是的内心的充要条件是如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成- ► 9------- ► - * ---- ► ------- F- --- 4 9- —►0A ・ 8 (3 =0B ・ e e21=OC ・ e2 飞31=02、是的内心的充要条件也可以是。

OA • AB AC阿阿 =0B *BA BC BC BA 引进单位向量，使条件变得更简洁。

图1B=0C • CA CBC3、若是的内心，则故或者;4、已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．T,,则由题意得，・・T与分别为和方向上的单位向量，•••与平分线共线，即平分.同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图。

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。

一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故0=++OC OB OA ,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1、O 是ABC ∆的垂心⇔OC OA OC OB OB OA •=•=•若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故0tan tan tan =++OC C OB B OA A2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心图1A1、O是ABC∆的内心的充要条件是=⎫⎛•=⎫⎛•=⎫⎛•CBCAOCBCBAOBACABOA引进单位向量，使条件变得更简洁。