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三角形的重心外心和内心在几何学中，三角形是最基本且最常见的几何形状之一。
三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称。
它们具有重要的几何性质和应用价值。
本文将会详细介绍三角形的重心、外心和内心的概念、性质以及相关应用。
重心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。
重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形各顶点与对应中点的线段。
重心在中线上的位置为距离两个端点的距离与中点距离的比例为2:1。
由于三角形的三条中线都经过重心，因此重心是三角形的一个几何中心。
在重心处，三角形被等分为六个面积相等的三角形。
此外，重心的几何位置使得重心到三个顶点的距离之和最小，即满足最小总距离条件。
外心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母O表示。
外心位于三角形的外部，且与三个顶点都相切。
外接圆是以三角形的三个顶点为切点的圆，外心就是外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心到三边的距离也相等。
三角形的三条中垂线都经过外心，因此外心也是三角形的一个几何中心。
外心是三角形内接圆和外接圆的交点之一。
内心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。
内心位于三角形的内部，且与三条边都相切。
内接圆是以三角形的三边为切线的圆，内心就是内接圆的圆心。
内心到三条边的距离都相等，而且内心到三个顶点的距离之和最小。
三角形的三条角平分线都经过内心，因此内心也是三角形的一个几何中心。
三角形的重心、外心和内心在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑和工程领域，三角形的重心可以用于确定建筑物的结构平衡。
在航空航天领域，外心可以用于确定飞机或者火箭的重心和稳定性。
在地理测量和导航领域，内心可以用于计算地图上各个地点的方向和距离。
总结起来，三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称，它们具有重要的几何性质和应用价值。
重心是三条中线的交点，外心是外接圆的圆心，内心是内接圆的圆心。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
通过研究和理解三角形的重心、外心和内心，可以帮助我们更好地认识和应用几何学知识。
模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．解：∵BD 、CE 是△ABC 的中线，∴S △ABD ＝S △BCE ，∴S △ABD ﹣S △BEF ＝S △BCE ﹣S △BEF ，即S 四边形AEFD ＝S △BCF ＝6，故答案为：6．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．解：∵△ABC是等腰直角三角形，CO⊥AB，∴OC是△ABC斜边AB上的中线，∴OA＝OC，∵AE是△ABC的中线，∴点F是△ABC的重心，∴OF：OC＝1：3，∴＝，故答案为：．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．解：∵OB＝BC，点M为△OBC的重心，∴BM⊥CO，∴∠OMH＝90°，∵点B（﹣2，3），∴点M（﹣2，1），即MH＝1，HO＝2，①△OBC绕着点O顺时针旋转90°，如图①，过点M′作M′D⊥x轴，∴∠MOM′＝∠M′DO＝90°，∴∠MOC+∠M′OD＝∠M′+∠M′OD＝90°，∴∠M′＝∠MOC，∵∠OMH＝∠M′DO＝90°，OM＝OM′，∴△MOH≌△M′OD（AAS），∴OD＝MH＝1，M′D＝OH＝2∴M′（1，2）；②△OBC绕着点O逆时针旋转90°，如图②，过点M″作M′E⊥y轴，同理可得M″（﹣1，﹣2），综上所述：旋转后三角形的重心的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）．故答案为：（﹣1，﹣2）或（1，2）．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．解：连接OA，作△ABC的外接圆⊙O，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝17°，∴∠AOB＝180°﹣2×17°＝146°，∴∠C＝∠AOB＝73°，故答案为：73．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．解：∵|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，∴（b+1﹣4+4）+（a2﹣10b+25）+|c﹣4|＝0，∴（﹣2）2+（a﹣5）2+|c﹣4|＝0，∴﹣2＝0，a﹣5＝0，c﹣4＝0，解得，a＝5，b＝3，c＝4，∴AC＝3，BC＝5，AB＝4，∵52＝32+42，∴BC2＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，BC为斜边，∴△ABC的外接圆的半径为BC＝．故答案为：．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有＝＝，即（4﹣x）2+（6﹣y）2＝（2﹣x）2+（4﹣y）2＝（2﹣x）2+y2，化简后得x＝6，y＝2，因此圆心坐标为（6，2）．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8；根据勾股定理AB＝＝10；四边形OECF中，OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF；∴CE＝CF＝（AC+BC﹣AB）；即：r＝（6+8﹣10）＝2．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13解：如图；解方程x2﹣13x+30＝0，得：x＝10，x＝3，∴AD＝AF＝10，BD＝BE＝3；设CE＝CF＝x，则AC＝10+x，BC＝3+x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，即132＝（10+x）2+（3+x）2，解得：x＝2（负值舍去），∴AC＝12，BC＝5；＝AC•BC＝×5×12＝30．因此S△ABC故选：A．【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．解：Rt△ABD中，BD＝10，由勾股定理，得：AB2+AD2＝AB2＝100…①；设△ABD内切圆的半径为R，则有：R＝＝2，即AB+AD＝14…②；联立①②得：，解得．故AB的长为6，AD的长为8．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．解：∵BE和AD为△ABC的高，∴∠AEH＝∠BDH＝∠BEC＝90°，∵∠AHE＝∠BHD，∴∠EAH＝∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴AE＝BE，∵∠AEB＝90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，故答案为：45°．变式训练【变式4-1】．在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．解：设AE＝x，BD＝y，则EC＝7﹣x，DC＝6﹣y，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，即25﹣x2＝36﹣（7﹣x）2，解得：x＝；在Rt△ABD和Rt△ADC中，AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即25﹣y2＝49﹣（6﹣y）2，解得：y＝1；在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，∴AD＝2；又∵△AHE∽△ACD，∴＝，即＝，解得：AH＝．故答案为：．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连接AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°解：∵∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，∴∠C＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∴∠AOB＝2∠C＝130°．故选：C．2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．解：∵AB＝BC＝AC＝3，＝，∴S△ABC∵△ABC≌△A′B′C′，∴每个小三角形的边长与大三角形边长之比为：1：3，即相似比为：1：3，∴小三角形与大三角形面积之比为：1：9，∴每一个小三角形的面积是，∴阴影部分的面积是．故选：A．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：由题意画图如下，则△ABC为等边三角形，且内接于⊙O，∴AB＝AC＝BC＝6cm，∠A＝60°．过点O作OD⊥BC于点D，则BD＝CD＝BC＝3cm，连接OB，OC，则OB＝OC，∵OD⊥BC，∴∠DOB＝∠BOC．∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠DOB＝60°．在Rt△OBD中，∵sin∠DOB＝，∴．∴OB＝2．故选：A．4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°解：连接OD，OF，则∠ADO＝∠AFO＝90°；由圆周角定理知，∠DOF＝2∠E＝104°；∴∠A＝180°﹣∠DOF＝76°．故选：B．5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．解：如图，连接AC交BD于E，过点B作BF⊥CD于G，交AC于点F，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∵∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BCD＝60°，BC＝DC，∴△BCD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∴点E是△BAD的外心，点F是△BCD的内心，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝5，∴BD＝10，∴BE＝DE＝5，在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°，BE＝5，∴BF＝2EF，∵BE2+EF2＝BF2，∴（5）2+EF2＝（2EF）2，∴EF＝5．∴△ABD外心与△BCD内心的距离为5．故选：A．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD＝30°，OD＝R；AD＝＝R，即AB＝2R；同理可求得A1B1＝R；∴＝＝．故选：A．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．56解：设三边分别为7a，24a，25a，则：（24a+24）÷2+（7a+7）÷2+（25a+25）÷2+7a×24a÷2＝24×7÷2，解得：a＝，∴构成的三角形的三边分别是，16，，∴周长＝+16＝．故选：C．8．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．解：∵点G是△ABC的重心，∴AG：DG＝2：1，AD是BC边上的中线，：S△DGC＝2：1，∴S△ACG∵△DGC的面积为4，＝8，∴S△ACG＝4+8＝12，∴S△ACD又∵AD是BC边上的中线，＝2S△ACD＝2×12＝24．∴S△ABC故答案为：24．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，AB＝，∴∠ADC＝90°，AD＝＝＝4；在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴＝，即2R＝＝＝5；∴⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．解：延长CD交AB于H，如图，∵点D是等腰Rt△ABC的重心，∴CH为斜边AB上的中线，CD＝2DH，∴CH⊥AB，CH＝AB，∴CD＝CH＝AB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴CD＝AC，∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴△CDE为等腰直角三角形，∴△CDE∽△CAB，∴△DCE的周长：△ABC的周长＝CD：CA，∴△DCE的周长＝×6＝4．故答案为：4．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．解：连接OC，OE，∵⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，∴AD＝AF，CE＝CF，BD＝BE，∵OE＝1，∠C＝60°，∴∠OCE＝30°，∴CE＝，OE＝1，∴CE+CF＝2，∴AD+BD＝AF+BE＝AB＝5，∴AB+BE+AF＝10，∴△ABC的周长为10+2．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．解：如图，延长CP交AB于G，∵点P是△ABC的重心，∴CP：PG＝2：1，∵DE∥AB，∴，，∴，，∵ED∥AB，DF∥BC，∴△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC，∴S，S＝4，＝S△ABC﹣S△CED﹣S△AFD∴S四边形BEDF＝36﹣16﹣4＝16，故答案为：16．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，而∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝160°，∴∠BAC＝180°﹣160°＝20°．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．解：解方程x2﹣7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，当4为直角边长时，斜边长＝＝5，则此直角三角形外接圆的半径为，当4为斜边长时，此直角三角形外接圆的半径为2，综上所述：此直角三角形外接圆的半径等于或2，故答案为：或2．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．解：过点C作CD⊥AB，垂足为．设AD＝x，则BD＝8﹣x．由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．∴72﹣x2＝52﹣（8﹣x）2．解得：x＝5.5．∴CD＝＝．由△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×r可知：．解得：r＝．故答案为：．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．解：如图所示，连接CG并延长，交AB于F，连接AG并延长，交BC于H，连接FH交DE于N，则FH是△ABC的中位线，∴FH∥AC，∵BD＝BC，∴BD＝BH＝CH，∵NH∥EC，∴＝＝，即EC＝NH，∵NH∥AE，∴＝＝，即AE＝2NH，∴＝＝，∴＝．故答案为：．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．解：连接OA，设EF＝x∵△ABC是⊙O的内接等边三角形∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°∴△AEF为等边三角形∴AO⊥EF∴OF＝＝1∴EF＝2OF＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12；∴AC＝13，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、E，过O2作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于F、G、H；∵∠B＝90°，∴四边形O1NBE是正方形；设圆的半径为r，根据切线长定理5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2，∴BE＝BN＝2，同理DG＝HD＝CF＝2，∴CG＝FO2＝3，EF＝12﹣4＝8；过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝EF＝8，FM＝BN＝2，∴O2M＝1，在Rt△O1O2M中，O1O2＝＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，∴AO＝2OD，OB＝2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝5，∴AB＝＝．故答案为．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是解：如图，延长CF交△ABC的外接圆于M，连接BM，AM，∴△ABC的外接圆的半径等于△ABM的外接圆的半径是2，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△ABM的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFC＝∠BEC＝90°，∴∠CAB+∠ACF＝90°，∠ABE+∠CAB＝90°，∴∠ACF＝∠ABE，∵∠ACF＝∠ABM，∴∠ABE＝∠ABM，同理：∠BAH＝∠BAM，在△AHB和△AMB中，，∴△AHB≌△AMB（ASA），∴△AHB的外接圆的半径等于△AMB的外接圆的半径，∵△ABM的外接圆半径为2，∴△ABH的外接圆的半径为2，故答案为2．22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．解：设初始位置的等边三角形为△ABC设第一次等边三角形落在l上的三角形的内心为O′，连接OC，O′C，过点O作OD⊥BC于点D，如图，∵点O，O∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∠O′CB＝∠BCA＝30°，∴∠OCO′＝120°．∴点O移动一次的轨迹为以等边三角形的一个顶点为圆心，OC的长为半径，圆心角的度数为120°的弧，∵OD⊥BC，△ABC为等边三角形，BC＝2，∴CD＝BC＝1．∴OC＝＝．∴点O移动一次的弧长为．∴当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为：9×＝4，故答案为：4．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．解：如图，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，CF，AH，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∵HE⊥BC，∵点H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∴点A，H，E三点共线，连接CH并延长交AB于G，∵点H是△ABC的垂心，∴CG⊥AB，∴∠AGC＝90°＝∠BAF，∴AF∥GC，∵AH⊥BC，CF⊥BC，∴AH∥FC，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝90°＝∠BCF，∴OD∥FC，∵点O是BF的中点，OD是△BCF的中位线，∴CF＝2OD＝4，∴AE＝AH+HE＝4+3＝7．故答案为：7．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．解：如图；Rt△O1BD中，∠O1BD＝30°；∴＝cos30°＝；∴＝＝，＝S△ABC＝；∴S△O1BP1＝S△O1BP1＝×S△ABC＝（）2×8；同理可求得S△O2BP2＝（）n×8＝；依此类推，S△OnBPn当n＝2009时，△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．解：连结AP，延长AP交x轴于点Q，作AM⊥x轴于点M，作PN⊥x轴于点N，则AM//PN，∴△PNQ∽△AMQ，∴，∵P为△AOB的重心，∴，∴，∴A，P的纵坐标之比为3：1，设A（a，3m），P（x P，m），则3ma＝x P•m，∴x P＝3a，P（3a，m），设直线AP为y＝kx+b，∴，∴，∴，令，∴x＝4a，∴B（8a，0），设直线AB为：y＝px+q，∴，∴，∴，∴，得：3ax2﹣24ax+21a2＝0，整理得：x2﹣8ax+7a2＝0，解得：x1＝a（舍去），x2＝7a，∴C，∴，∴故答案为：3：1，6．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．解：如图，连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，∵点H是△ABC的垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，即∠AFC＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠CHE＝90°﹣∠ACF＝60°，∴∠BHC＝180°﹣∠CHE＝120°，连接OB，OC，∵点O是△ABC的外心，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵O是△ABC的外心，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∴∠BOC＝∠BHC，∴B、C、H、O四点共圆，∴∠OHB＝∠OCB＝30°，∴∠PHE＝∠OHB＝30°，∴∠CHP＝∠CHE﹣∠PHE＝30°，∴∠OHC＝180°﹣∠PHC＝150°，∵∠OCB＝30°，∴∠OCP＝180°﹣∠OCB＝150°＝∠OHC，∵∠COH＝∠POC，∴△OHC∽△OCP，∴，∴OH•OP＝OC2＝4，故答案为：4．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．解：取AC的中点M，连接BM，MF，∵△ABC与△EBD为全等的直角三角形，∴AB＝BF，BD＝BC，∴∠BAF＝∠BFA，∠BCD＝∠BDC，∵∠ABC＝∠DBF＝90°，∴∠ABF＝∠CBD，∴∠BAF＝∠BCD，∴∠BAF+∠BCF＝180°，∴A、B、C、F四点共圆，∵∠ABC＝90°，∴AC的中点M为圆心，BM为半径，∴F点在以M为圆心BM为半径的圆上，∵AB＝2，BC＝1，∴AC＝，∴0≤BF≤，故答案为：0≤BF≤．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到F使BF＝BC，∵BF＝BC，点D为线段CO′的中点，∴BD是△CFO′的中位线，∴BD＝FO′，∵将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，∴点O′在以A为圆心、AO为半径的圆上运动，当点F、A、O′在同一条直线上时，FO′最长，此时BD的值最大，∵AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，∴BE＝EC＝BC＝8，AE⊥∴AE＝＝＝6，∴AO＝AO′＝AE＝4，∵BF＝BC＝16，∴FE＝FB+BE＝16+8＝24，∴AF＝＝＝6，∴FO′＝FA+AO′＝6+4，∴BD＝FO′＝×（6+4）＝3+2，故答案为：3+2．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．解：如图，连接OB和OC，过点O作OH⊥DE于H，∵△ABC是等边三角形，点O为三条中线的交点，∴OB＝OC，∠DBO＝∠ECO＝30°，∠BOC＝120°，∵∠DOE＝120°，∴∠DOB＝∠EOC，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OD＝OE，∵∠DOE＝120°，∴∠OEH＝30°，设OH＝x，则OE＝2x，EH＝x，∴DH＝EH＝x，∴DE＝2x，∴，∴当OE最小时，DE最小，∵当OE⊥BC时，OE最小，此时△BDE是等边三角形，∴DE的最小值为BC的一半，即．故答案为：2．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴OM＝．故答案为．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．解：如图1，连接AG并延长，交BC于点F，连接OF，OB，过G作GE∥OF，交x轴于点E，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOF＝45°，∴△BOF是等腰直角三角形，∵OB＝3，∴OF＝BF＝，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，∵EG∥OF，∴＝，△AGE∽△AFO，∴GE＝，∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（1，0），当D、G、E三点共线时，DG的长最小，∴DE＝＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．解：（1）如图1，设AC的中点为E，连接BE，∵半圆D经过AC的中点，AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC且BE平分AC，∴点B到点A，C的距离相等，∴BC＝AB＝4，（2）①当CB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥CB于点H，如图2，设BH＝x，则72﹣（4+x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴CH＝，AH＝，∴tan C＝，②当CB＝CA时，内心、外心与顶点C在同一条直线上，作AH⊥CB于点H，如图3，设BH＝x，则72﹣（7﹣x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴CH＝，AH＝，∴tan C＝，综上，tan C＝或tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．解：（1）当然是GH不变，重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变，PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；则GH＝（OP）＝（×6）＝2；（2）延长OG交PH于点K，延长HG交OP于点F，∵△PGH为Rt△，FG＝GH＝1，PF＝OP＝3，∴PG＝2，∴PH＝，∴KG＝∴OG＝∴OG：PG：HG＝：2：2＝：：1；（3）△PGH是等腰三角形有3种可能性，①当GP＝PH时，PH＝，②当GP＝GH时，PH＝0（不存在），③当PH＝GH时，PH＝2，∴PH＝或PH＝2．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH＝DG＝GF，H为半圆的圆心，不妨设GH＝a，则GF＝2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF＝．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a＝：2；②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD＝x，AD＝y，则BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；在直角三角形AEB中，∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，于是得到ED2＝AD•BD，即102＝x•y②．解①式和②式，得x+y＝21，即半圆的直径AB＝21．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣4，∵点D与点G关于坐标原点对称，∴G（﹣2，6），把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x﹣4，得：y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6，∴G（﹣2，6）在此抛物线上；（2）设直线DG的解析式为y＝mx+n，∵D（2，﹣6），G（﹣2，6），∴，解得，∴直线DG的解析式为y＝﹣3x，假设此抛物线上存在这样的点P（x，x2﹣3x﹣4），使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线DG上，∵M（x，﹣x2+3x+4），N（﹣x，x2﹣3x﹣4），∴x2﹣3x﹣4＝3x，解得，故所求点P的坐标为或；（3）如图1，连接BI．OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过点M作MH⊥y轴于点H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝2，∴MI＝OM＝2，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝2，∴CH＝OH+OC＝2+4＝6，∴CM＝＝2，∵CI≥CM﹣MI，∴当且仅当C，M，I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为．。
三角形的内心外心与垂心三角形是几何学中常见的形状，具有许多重要的性质和特点。
其中，内心、外心和垂心是三角形的三个重要点，它们在三角形的研究和应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍并探讨三角形的内心、外心和垂心的定义、性质以及在几何学和实际生活中的应用。
一、内心内心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条边相切。
具体来说，内心是三角形的三条角平分线的交点，记作I。
对于任意三角形ABC，其内心I满足以下性质：1. 内心到三角形三边的距离相等，即IA = IB = IC。
2. 三角形的内心是内切圆的圆心，该圆称为内切圆。
内切圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为内心I。
3. 内心是三角形内角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI，∠CBI =∠ABI，∠ACI = ∠BCI。
内心的性质使得它在几何学和实际生活中具有重要的应用。
例如，在导航系统中，我们可以利用内心与三个信号源的距离来确定自身的位置，从而实现定位的功能。
二、外心外心是三角形外部的一个特殊点，它与三角形的三个顶点都相切。
具体来说，外心是三角形的三条中垂线的交点，记作O。
对于任意三角形ABC，其外心O满足以下性质：1. 外心到三角形的三顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 三角形的外心是外接圆的圆心，该圆称为外接圆。
外接圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为外心O。
3. 外心是三角形三条中垂线的交点，即AO ⊥ BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
外心的性质使得它在许多几何学问题的解决中发挥了重要的作用。
例如，在设计建筑物或道路的过程中，我们需要确定三个支撑点的位置，使得它们能够稳定地支撑结构物。
此时，我们可以利用外心的位置来确定这三个支撑点的最佳位置。
三、垂心垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条高线相交。
具体来说，垂心是三角形的三条高线的交点，记作H。
对于任意三角形ABC，其垂心H满足以下性质：1. 垂心到三角形的三个顶点的距离相等，即HA = HB = HC。
曲老师推荐中考数学专题之:三 角 形 的“四 心"所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质:1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质:性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2。
三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3。
CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ,△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2。
重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=。
4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ;（2）)(31PC PB PA PG ++=，5。
§3~3三角形的外心、內心與重心(1)三角形三邊的垂直平分線交於一點，此點稱為三角形的外心(外接圓的圓心)；外心到三頂點的距離相等。
(2)外心性質的簡單計算題。
(3)三角形的三個內角的平分線交於一點，此點稱為三角形的內心(內切圓的圓心)；內心到三邊等距離。
(4)內心性質的簡單計算題。
(5)三角形的三中線交於一點，此點稱為三角形的重心；重心到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的兩倍。
(6)重心性質的簡單計算題。
(7)正三角形中，外心、內心、重心，三心重合。
例1.A、B、C三點不共線，若O為AB、BC之垂直平分線交點，且OA+=？【答：40】OB=20，則OC解：例2.設I為∆ABC的內心，若AB= 4，BC=5，AC=6，且∆ABC的面積為15，則I到AB的距離為？【答：2】解：例3.一三角形三邊長為5、12、13，求外心到三頂點的距離和。
39】解：【答：2例4.如圖：L 為PQ 的中垂線。
(1)試證明PR SR SQ +=；(2)若RT =8，PT=6，RS =5，則SQ =？ 【答：(1)略(2)15】解：例5.如圖：L 為AB 的中垂線，且L 交AC 於P 點。
(1)試證明PB =AC -PC ；(2)若BC =7，AC =9，PC =5，則BC -PB =？【答：(1)略(2)3】 解：例6.正ΔABC 中，O 為外心，若OA =1，則AC =？ 【答：3】解：PLQT RSABLCP例7.ΔABC中，O為外心，若OA=13，BC=24，則ΔABC的面積為？【答：60】解：例8.ΔABC之三中線AD、BE、CF相交於G，若AG=8公分，EG=6公分，CG=6公分，求AD+BE+CF的長。
【答：39】解：例9.設G為正ΔABC的重心，若AG=6，則AB=？ΔABC的面積=？解：【答：63、273】例10.∆ABC中，∠A，∠B之平分線相交於I，(1)若∠ C=800，∠ B=600，則∠ AIB=？(2)若∠AIB=1400，則∠C=？【答：(1)1300(2)1000】解：1.設O為ΔABC的外心，則OA：OB：OC=？解：2.設O為ΔABC的外心，若OB=10公分，則OCOBOA++=？解：3.如圖：L是PQ之中垂線，M為PQ之中點，若RM=6，PQ=16，SR=4，則PR+SR=？解：QR MPSL4.正ΔABC中，O為外心，若OA=2，則ΔABC之周長為？解：5.直角ΔABC中，∠C=900，O為外心，G為重心，若AC=10，BC=24，求OC、OG的長。
