2020中考专题1——几何模型之双子型
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[南瓜讲数学]系列之中考专题12020中考专题1——几何模型之双子型班级姓名.【模型解析】
◆条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，将△OCD旋转至右图位置◆结论：右图中①△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上.
【例题分析】例1.如图1，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于
点E．(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
图1
◆条件：△OAB,△OCD均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD◆结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；③∠AEB=∠AOB；④OE平分∠AED(或∠AED的外角）；⑤点E在△OAB的外接圆上.
1[南瓜讲数学]系列之中考专题
2例2.如图2-1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝56,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时,BDAE的大小有无变化？请仅就图2-2的情况给出证明．
图2-1图2-2例3．如图3所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．
图3图4例4.如图4，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝32，BC＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,
且∠DAC＝120°,则BD的长为________.【巩固练习】1.如图1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（）
A．12B．22C．1D．2
图1图22.如图2,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE.(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;(2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.
2[南瓜讲数学]系列之中考专题33.在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图3-1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图3-2，连接AA1,CC1．若△A1BA1的面积为4，求△CBC1的面积；
图3-1图3-24.【提出问题】（1）如图4-1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图4-2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图4-3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的
数量关系，并说明理由．
图4-1图4-2图4-3
3[南瓜讲数学]系列之中考专题
45.如图5，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；
图5备用图6.如图6-1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图6-2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．
（3）在C点运动的过程中，当3m时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．
图1图2
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57．【问题探究】（1）如图7-1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图7-2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．（3）如图7-3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
图7-1图7-2图7-38.(1)如图8-1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的长；
（3）如图8-3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝43,BD＝5,AD＝12，求BD
的长．
图8-1图8-2图8-3
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62020中考专题1——几何模型之双子型参考答案例1.解：①全等．理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，
∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．
例2.当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；
例3．解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，
，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，
由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．故答案为：．例4.解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，
在Rt△BED中，BD＝＝10，故答案为：10．【巩固训练】
6[南瓜讲数学]系列之中考专题71.解：设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC＝2，O为AC中点，∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，
，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝1，∴QD＝，∴线段OE的最小值是为．故选：B．
2.解：(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因此不存在.
(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PCcos60°=12.3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1
CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1
B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1
，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1
，
∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1
，
∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1
．
∴，
∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1
＝；
4.（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，
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